2023.8.13 DP套DP + 动态DP

[TJOI2018] 游园会

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首先很容易想到 $f_{i,0/1/2}$ 表示考虑兑奖串的前 $i$ 位 $\mathtt{\text{NOI}}$的出现情况为 $0/1/2$ 的方案数

考虑转移 结果发现因为不知道奖章串现在匹配到了哪一位 所以不好转移

我们考虑 $O(n^2)$ 的 $LCS$ 求法
设 $g_{x,y}$ 表示考虑 $S$ 串的前 $x$ 位 $T$ 串的前 $y$ 位的 $LCS$
那么显然有 $g_{x,y}=max(g_{x-1,y},g_{x,y-1},gx-1,y-1+(S_x==T_y))$

那么假如说我把这个 $g$ 数组放到 $f$ 数组的第三维 转移的时候考虑枚举 $y$ 然后从 $g$ 中转移过去不就可以了吗 因为我们把 $g$ 拉出来就相当于我们知道了奖章串的匹配情况

进一步的 我们发现 对于同一个 $x$ 而言 它的 $y$ 每一位最多只差 $1$
又因为 $y$ 显然只有 $15$ 个 我们考虑将其差分 然后用 $f_i$ 的第 $j$ 位表示这个差分数组 那我们就可以状压这个差分数组

每次转移的时候 枚举兑奖串的第 $i+1$ 位 然后用状压的状态转移即可

upd：如果实在感觉难以理解的话 我的理解是将原来那个 $g_{x,y}$ 对应到现在的 $f_{x,···,\mathrm{第}y\mathrm{位}}$

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[NOIP2018 提高组] 保卫王国

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动态 $DP$ ：黑科技 考虑将转移变成一个魔改版矩乘的形式

首先原来的 $DP$ 很显然
然后我们考虑如何以矩乘的形式来进行转移

然后我们用重链剖分 使每个点的答案为它到它所在的重链末端的转移矩阵乘积
那么每次修改点权 我们就修改该点的 $g$ 数组 然后修改 $f{a}_{to{p}_i}$ 的 $g$ 数组 一直跳到根节点即可