扩展欧几里得算法学习笔记

前置知识：裴蜀定理：方程 $ax+by=gcd(a,b)$ 必定有解
算法流程：

code：

void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
	if (b == 0) {
		x = 1;
		y = 0;
		return;
	}
	exgcd(b, a % b, x, y);
	ll z = x;
	x = y;
	y = z - (a / b) * y;
}

同余方程：$ax\equiv c(\mathrm{mod}b)$

至此我们得到了这个方程的一个解

显然这个方程有 gcd(a, b) 个解
因为 我们要的 $x=x_0+i\ast \frac{b}{gcd(a,b)}(\mathrm{mod}b)$ 我们从 0 开始枚举 i 发现枚举到 i = gcd(a, b) 时会出现 $x=x_0+b(\mathrm{mod}b)$ 此时 b 被约掉解就循环了
那么 i 的取值就是 $[0,gcd(a,b))$ 也就是 gcd(a, b)个解

P1082 [NOIP2012 提高组] 同余方程

输入数据保证有解 显然只能有 a b 互质
那么 $\frac{b}{gcd(a,b)}$ 显然等于 b 然后一取模就没了
所以这个方程只有唯一正整数解 直接套扩欧就行
要注意扩欧求出来的 x 不一定是正整数 加个 b 再取模就行
code：

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
	if (b == 0) {
		x = 1;
		y = 0;
		return;
	}
	exgcd(b, a % b, x, y);
	ll z = x;
	x = y;
	y = z - (a / b) * y;
}

int main() {
	ll a, b, x, y;
	scanf("%lld%lld", &a, &b);
	exgcd(a, b, x, y);
	x = (x + b) % b;
	printf("%lld",x);
	
	return 0;
}