扩展欧几里得算法学习笔记

前置知识：裴蜀定理：方程 \(ax + by = gcd(a, b)\) 必定有解
算法流程：

code：

void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
	if (b == 0) {
		x = 1;
		y = 0;
		return;
	}
	exgcd(b, a % b, x, y);
	ll z = x;
	x = y;
	y = z - (a / b) * y;
}

同余方程：$ ax \equiv c \pmod{b}$

至此我们得到了这个方程的一个解

显然这个方程有 gcd(a, b) 个解
因为 我们要的 \(x = x_0 + i * \frac{b}{gcd(a, b)} \pmod{b}\) 我们从 0 开始枚举 i 发现枚举到 i = gcd(a, b) 时会出现 \(x = x_0 + b \pmod{b}\) 此时 b 被约掉解就循环了
那么 i 的取值就是 $\left[0,gcd(a, b)\right) $ 也就是 gcd(a, b)个解

P1082 [NOIP2012 提高组] 同余方程

输入数据保证有解 显然只能有 a b 互质
那么 \(\frac{b}{gcd(a,b)}\) 显然等于 b 然后一取模就没了
所以这个方程只有唯一正整数解 直接套扩欧就行
要注意扩欧求出来的 x 不一定是正整数 加个 b 再取模就行
code：

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
	if (b == 0) {
		x = 1;
		y = 0;
		return;
	}
	exgcd(b, a % b, x, y);
	ll z = x;
	x = y;
	y = z - (a / b) * y;
}

int main() {
	ll a, b, x, y;
	scanf("%lld%lld", &a, &b);
	exgcd(a, b, x, y);
	x = (x + b) % b;
	printf("%lld",x);
	
	return 0;
}