2025.03.06 CW 模拟赛 A. 岛屿

题面 & 题解

A. 岛屿

概率期望会不了一点.

思路

假设我们最开始有 \(a\) 个「蓝蓝 / 红红」链, \(b\)​ 个「蓝红」链.

我们考虑对于每一个「蓝红」链向外连边. 如图, 我们将红点向外连向一条「蓝蓝」链, 由于每一个点只能最多向外连一条边, 那么它们就「合成」了一条蓝蓝链 \((\)只有两段蓝点能够向外连边, 对于连向 「红红」和「红蓝」链, 同理可得\()\).

我们令 \(f_{a, b}\) 表示原来有 \(a\) 个「蓝蓝 / 红红」链, \(b\) 个「蓝红」链的期望连通块个数. 那么我们将一个「红蓝」链向外连至「蓝蓝 / 红红」链, 就可以从 \(\displaystyle f_{a, b - 1} + \frac{1}{2a + b}\) 转移而来, 后面加的 \(\displaystyle \frac{1}{2a + b}\) 是连向自己的概率. 注意, 当 \(b = 0\) 时, 我们可以将一条「蓝蓝」和一条「红红」合成一个「红蓝」链, 也就是 \(b = 0, f_{a, b} \gets f_{a - 1, b + 1}\).

易得 \(f_{0, 0} = 0\), \(\mathcal{O}(n)\) 转移即可.