2024.10.24 CW 模拟赛 B. k 短路

k 短路

2024.10.24 CW 模拟赛 T2, 有些古老, 单独拿出来写.

题意

给定带边权的简单有向图, 满足:

• 每个点至多存在于一个简单环内;
• 任意两点之间至多存在一条简单路径.

求起点 \(S\) 到终点 \(T\) 的 \(k\) 短路长度.

其中 \(n \le 50, 1 \le w \le 9, 1 \le k \le 10^{12}\)​.

思路

先抛一个结论: 所有可以被 \(S\) 到达, 且可以到达 \(T\) 的环, 都与路径 \(p\) 有交. 其中 \(p\) 为 \(S\) 到 \(T\) 的唯一简单路径.

证明

找到 \( S \) 到 \( T \) 的唯一简单路径 \( p \)。

假设存在在路径 \( p \) 之外的，可以被 \( S \) 到达，且可以到达 \( T \) 的环 \( c' \)。考察离 \( S, T \) 最近的 \( c' \) 中的点 \( s' \) 和 \( t' \)。

若 \( S \) 到 \( s' \) 的路径与 \( t' \) 到 \( T \) 的路径有交，则存在包含交点、\( s' \) 和 \( t' \) 的环，从而 \( s' \) 处在至少两个环中，与题设矛盾；否则，\( S \rightarrow s' \rightarrow t' \rightarrow T \) 是一条简单路径，从而 \( S \) 到 \( T \) 存在两条简单路径，与题设矛盾。

所以整张图有用的部分, 由路径 \(p\) 和其上面挂的若干个环组成.

我们可以预处理出路径 \(p\) 上所有环的边权之和, 那么问题便转化为:

• 给定 \(m \le 25\) 个物品, 所有物品的权值和 \(\le 450\), 求第 \(k\) 小完全背包的权值.

来看 \(\textrm{Subtask}\). 给定性质等价于 \(m \le 2\), 我们不妨设 \(m = 2\).

设两个物品权值分别是 \(a, b\) 并且 \(a > b\), 那么答案即为可重集 \(\{ax + by | x, y \ge 0\}\) 的第 \(k\) 小数.

我们显然可以二分答案 \(mid\), 相当于求

\[\sum_{x, y \ge 0} [ax + by \le mid] = \sum_{0\le x \le \lfloor \frac{mid}{a} \rfloor} \lfloor \frac{mid - ax}{b} \rfloor \]

注意到权值 \(\le mid\) 的路径至多有 \(\displaystyle \binom{\lfloor \frac{mid}{a} \rfloor + m}{m}\) 条, 所以答案有上界 \(2a\sqrt k\), 直接枚举物品 \(a\) 出现次数即可.

再考虑 \(m \ge 3\) 的情况.

设所有物品的总权值和为 \(s\), 那么答案有上界 \(s\sqrt[m]{k} = 4.5 \times 10^6\), 直接进行背包 DP 即可.

代码

 void dfs(int u) {
    for (auto [v, w] : e[u]) {
        if (dep[v]) {
            val[v] = dep[u] - dep[v] + w;
            continue;
        }
        fa[v] = u, dep[v] = dep[u] + w;
        dfs(v);
    }
}

void init() {
    read(n, m, k, S, T);
    for (int i = 1, u, v, w; i <= m; ++i) {
        read(u, v, w);
        e[u].emplace_back(v, w);
    }
    dep[S] = 1, dfs(S), --k;
    int x = T;
    while (x) {
        if (val[x]) rng.push_back(val[x]);
        x = fa[x];
    }
}

void calculate() {
    if (rng.empty()) {
        if (k or !dep[T]) puts("-1");
        else print(dep[T] - 1);
    }
    else if (rng.size() == 1)
        print(dep[T] - 1 + k * rng.front());
    else if (rng.size() == 2) {
        ++k;
        int a = rng[0], b = rng[1];
        if (a < b) swap(a, b);
        long long l = 0, r = 1e18, mid, ans = r, s;
        while (l <= r) {
            mid = (l + r) >> 1;
            s = 0;
            for (int i = 0; i <= 2e6; ++i) {
                if (a * i > mid) break;
                s += (mid - a * i) / b + 1;
                if (s >= k) break;
            }
            if (s >= k) r = (ans = mid) - 1;
            else l = mid + 1;
        }
        print(ans + dep[T] - 1);
    }
    else {
        int ans = 0;
        f[0] = 1;
        for (int x : rng)
            for (int i = x; i <= M - 10; ++i) f[i] += f[i - x];
        for (int i = 0; i <= M - 10; ++i) {
            if (i) f[i] += f[i - 1];
            if (f[i] > k) {
                ans = i;
                break;
            }
        }
        print(ans + dep[T] - 1);
    }
}