2025.02.22 CW 模拟赛 A. 怎么又是先增后减

A. 怎么又是先增后减

题意

给定一个序列 \(A\), 每次操作只能交换相邻两个元素, 求使得序列 \(A\) 先增后减的最小操作次数.

思路

我们每次考虑当前未被处理的最小的 \(x\), 其一定被移动到序列的最左边或者最右边. 若它向左移动, 那么移动次数即为左边比它大的数的个数; 向右也同理, 为右边比它大的数的个数.

由于我们要最小化操作次数, 所以我们贪心地选择将 \(x\) 移动到操作次数最小的一边, 这样一定是最优的.

在实现上, 我们需要不断地查询, 更新 \(x\) 左右两侧比起大的数, 用树状数组 / 线段树可以做到 \(\mathcal{O}(n \log n)\) 的复杂度.

#include "iostream"

#define int long long

#define pii pair<int,int>

using namespace std;

constexpr int N = 1e5 + 10, V = 1e5;

int n, a[N], pre[N], suf[N];

inline int lowbit(int x) {
	return (x & (-x));
}
struct BIT {
	int c[N];
	inline void modify(int p) {
		for (int i = p; i <= V; i += lowbit(i))
			++c[i];
	}
	inline int query(int p) {
		int res = 0;
		for (int i = p; i; i -= lowbit(i))
			res += c[i];
		return res;
	}
	inline int queryRight(int p) {
		return query(V) - query(p);
	}
} c1, c2;

signed main() {
	cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> a[i];
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		pre[i] = c1.queryRight(a[i]);
		c1.modify(a[i]);
	}
	for (int i = n; i >= 1; i--) {
		suf[i] = c2.queryRight(a[i]);
		c2.modify(a[i]);
	}
	int ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		ans += min(pre[i], suf[i]);
	cout << ans << '\n';
	return 0;
}