[20052006-ptz] Decoding Martian Messages

每日一练做到的, 做不来.

Decoding Martian Messages

算法

动态规划, 字符串.

思路

首先可以看出这是一道动态规划的题目.

这道题要求输出最终的字符串而非答案, 我们可以考虑先计算出答案数组再反推出最终的字符串.

先来考虑动态规划. 我们令 \(f_{i, j}\) 表示枚举到答案的第 \(i\) 位, 当前位填的是给定单词集合 \(\mathbb{D}\) 中的第 \(j\) 个字符串的"最后一位"的最大概率. 注意, 这里的"最后一位"在 \(i < k\) 时实际上是第 \(j\) 个字符串的第 \(i\) 位而并非真正的最后一位.

那么有转移方程:

\[f_{i, j} = \begin{cases} f_{i - 1, j} \times p_{i, s} & j < i \\ \max(f_{i - 1, k} \times p_{i, s}) & j \ge i, \textrm{check}(j, k) \ is \ legal \end{cases} \]

其中 \(p_{i, s}\) 表示在第 \(i\) 位填字符 \(s\) 的概率, 已经在输入中给出. 其中 \(\textrm{check}(j, k)\) 指的是单词集合中两字符串的关系是否如下图所示.

只有这样才能够合法地转移, 同时 \(\textrm{check}\) 可以 \(\mathcal{O}(d^2 k)\) 的复杂度内预处理出.

这样, 我们成功地处理出了 \(f\) 数组, 现在来思考如何推出答案.

假设 \(f_{n, pos}\) 为最终答案, 那么根据定义, 答案的最后一位即为第 \(pos\) 个字符串的最后一位.

再来倒序枚举每一位, 考虑什么时候第 \(n - 1\) 位合法? 枚举 \(\mathbb{D}\) 中每一个字符串, 首先 \(\textrm{check}\) 函数需要合法, 其次 \(f_{n - 1, k} \times p_{n, s} = f_{n, pos}\). 以此类推, 我们动态地维护一个 \(now\), 表示当前位是 \(\mathbb{D}\) 中第 \(now\) 个字符串的最后一位, 转移即可.

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#include "iostream"

using namespace std;

constexpr int N = 2e2 + 10, M = 1e3 + 10;

int d, k, t, n, flag[N][N];
char s[N][30], ans[M];
long double p[M][30], f[M][N];

void init() {
	cin >> d >> k >> t;
	for (int i = 1; i <= d; ++i)
		cin >> (s[i] + 1), f[0][i] = 1;
	for (int i = 1; i <= d; ++i)
		for (int j = 1; j <= d; ++j) {
			int t = 1;
			for (int l = 1; l ^ k; ++l)
				if (s[i][l] != s[j][l + 1]) {
					t = 0;
					break;
				}
			flag[i][j] = t;
		}
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		for (int j = 0; j ^ t; ++j) cin >> p[i][j];
}

void calculate() {
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		for (int j = 1; j <= d; ++j) {
			int nw = s[j][min(k, i)] - 'a';
			if (i <= k) {
				f[i][j] = f[i - 1][j] * p[i][nw];
				continue;
			}
			for (int l = 1; l <= d; ++l) if (flag[j][l])
				f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][l] * p[i][nw]);
		}
	long double mx = 0;
	for (int i = 1; i <= d; ++i)
		mx = max(mx, f[n][i]);
	if (mx == 0) return cout << "---", void();
	for (int i = 1; i <= d; ++i) if (f[n][i] == mx) {
		ans[n] = s[i][k];
		int nw = i;
		for (int j = n - 1; j >= k; --j) 
			for (int l = 1; l <= d; ++l)
				if (flag[nw][l] and f[j + 1][nw] == f[j][l] * p[j + 1][s[nw][k] - 'a']) {
					ans[j] = s[l][k];
					nw = l;
					break;
				}
		for (int j = k - 1; j; --j)
			ans[j] = s[nw][j];
		break;
	}
	for (int i = 1; i <= n; ++i) cout << ans[i];
}

void solve() {
	init();
	calculate();
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);
	int T = 1;
	while (T--) solve();
	return 0;
}