P4027 [NOI2007] 货币兑换

[NOI2007] 货币兑换

算法

动态规划, 斜率优化, 李超线段树.

思路

注意到题末有两行小字:

必然存在一种最优的买卖方案满足:

每次买进操作使用完所有的人民币, 每次卖出操作卖出所有的金券.

考虑动态规划, 令 \(f_i\) 表示到第 \(i\) 天时最多拥有 \(f_i\) 元钱, 钦定 \(\displaystyle x_i = \frac{f_i \cdot Rate_i}{A_i \cdot Rate_i + B_i}, y_i = \frac{f_i}{A_i \cdot Rate_i + B_i}\), 表示第 \(i\) 天用 \(f_i\) 元买入的 A, B 券数量.

若第 \(i\) 天不买不卖, 那么 \(f_i = f_{i - 1}\);

若第 \(i\) 天要卖, 那么我们枚举买入时间 \(j\), 就有 \(\displaystyle f_i = \max_{j < i} A_i x_j + B_i y_j\), 将 \(B_i\) 提出来: \(\displaystyle f_i = \max_{j < i} B_i(x_j \frac{A_i}{B_i} + y_j)\).

这样问题就转化成: 每次插入斜率为 \(x_j\), 截距为 \(y_j\) 的直线, 求 \(x = \frac{A_i}{B_i}\) 时的最大值, 用李超线段树维护即可.

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#include "iostream"
#include "iomanip"
#include "algorithm"

using namespace std;

constexpr int N = 1e6 + 10;

#define int long long

int n, s;
double A[N], B[N], R[N];
double x[N], tmp[N];

void init() {
	cin >> n >> s;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		cin >> A[i] >> B[i] >> R[i], x[i] = tmp[i] = 1.0 * A[i] / B[i];
	sort(tmp + 1, tmp + n + 1);
}

#define lson rt << 1, l, mid
#define rson rt << 1 | 1, mid + 1, r
#define y(p, i) (k[i] * tmp[p] + b[i])

class Segment_Tree {
private:
	double k[N], b[N];
	int s[N << 2];
	
public:
	void add(int i, double f) {
		k[i] = f * (1.0 * R[i]) / (1.0 * A[i] * R[i] + B[i]);
		b[i] = f / (1.0 * A[i] * R[i] + B[i]);
	}
	
	void update(int rt, int l, int r, int t) {
		if (l == r) {
			if (y(l, t) > y(l, s[rt])) s[rt] = t;
			return;
		}
		int mid = (l + r) >> 1;
		if (y(mid, t) > y(mid, s[rt])) swap(s[rt], t);
		if (y(l, t) > y(l, s[rt])) update(lson, t);
		else update(rson, t);
	}
	
	double query(int rt, int l, int r, int u) {
		if (l == r) return y(u, s[rt]);
		int mid = (l + r) >> 1;
		return max(y(u, s[rt]), u <= mid ? query(lson, u) : query(rson, u));
	}
	
} st;

void calculate() {
	double ans = s;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		ans = max(ans, 1.0 * B[i] * st.query(1, 1, n, lower_bound(tmp, tmp + n + 1, x[i]) - tmp));
		st.add(i, ans), st.update(1, 1, n, i);
	}
	cout << fixed << setprecision(3) << ans << '\n';
}

void solve() {
	init();
	calculate();
}

signed main() {
	cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
	solve();
	return 0;
}