子集和(SOS, Sum Over Subsets) DP

前置知识

高维前缀和, 状压 DP.

高维前缀和

前缀和可以简单理解为「数列的前 \(n\) 项的和」, 是一种重要的预处理方式, 能大大降低查询的时间复杂度. -- OI Wiki

二维 / 多维前缀和

常见的多维前缀和的求解方式有两种:

1. 基于容斥原理, 时间复杂度 \(\mathcal{O}(2^n V)\), 其中 \(n\) 为维数, \(V\) 为值域.
   可以发现, 随着维数的增加, 时间复杂度呈指数级增长, 因此对于多维前缀和, 我们通常采用逐维拓展的方法来求.

2. 逐维前缀和, 以维为单位, 逐维拓展, 时间复杂度就会降为 \(\mathcal{O}(nV)\), 具体实现可以参考以下代码.

求二维前缀和:

for (int i = 1; i <= n; ++i)
    for (int j = 1; j <= n; ++j)
        a[i][j] += a[i - 1][j];
for (int i = 1; i <= n; ++i)
    for (int j = 1; j <= n; ++j)
        a[i][j] += a[i][j - 1];

求三维前缀和:

for (int i = 1; i <= n; ++i)
    for (int j = 1; j <= n; ++j)
        for (int k = 1; k <= n; ++k)
            a[i][j][k] += a[i - 1][j][k];
for (int i = 1; i <= n; ++i)
    for (int j = 1; j <= n; ++j)
        for (int k = 1; k <= n; ++k)
            a[i][j][k] += a[i][j - 1][k];
for (int i = 1; i <= n; ++i)
    for (int j = 1; j <= n; ++j)
        for (int k = 1; k <= n; ++k)
            a[i][j][k] += a[i][j][k - 1];

对于更高维的前缀和如法炮制即可.

概念

SOS DP(高位前缀和 / 子集 DP), 状压 DP 的一种, 主要用来解决子集方案数和贡献的问题.

问题引入

给定一个含 \(2^n\) 个整数的序列 \(a\), 我们需要求一序列 \(f\), 其中 \(f_{\mathbb{S}} = \sum_{i \in \mathbb{S}} a_i\).

更通俗地, 就是求解每个集合中所有子集元素之和的总和. 其中每个 \(a_i\) 只有 选(1) 和 不选(0) 两种状态, 所以 \(\mathbb{S}\) 其实是一个二进制串.

\(\tt{Solution}. 1\) 暴力

考虑最朴素的暴力, 枚举集合的内容和子集直接统计, 时间复杂度 \(\mathcal{O}(4^n)\).

时间复杂度十分之高, 我们发现大多时间都浪费在寻找子集上, 故我们需要一种方法只枚举子集(这里定义子集 \(\mathbb{T} \subseteq \mathbb{S}\), 是指 \(\forall i, t_i \le s_i\)).

\(\tt{Solution}. 2\) 优化后的暴力

假设现在有一个二进制串 \(\mathbb{S} = 1011\), 那么它有子集 \(1011, 1010, 1001, 1000, 0011, 0010, 0001, 0000\).
容易发现 \(\mathbb{S}\) 的子集数量其实是 \(2^{\rm{popcount}(\mathbb{S})}\).

当 \(\mathbb{T}\) 从 \(1011 \to 1010\), 可以发现直接减一即可.
但是对于 \(1000 \to 0011\), 似乎就不能这么干了, 因为 \(1000\) 减一会得到 \(0111\).
充分发挥人类智慧, 可以发现 \(\mathbb{S}\ \rm{and}\ 0111 = 0011\) ?!
为什么会这样? 原因是本来该是 0 的一位出现了 1, 所以我们进行一次与操作即可, 也就是 \(\mathbb{T} \gets (\mathbb{T} - 1) \ \rm{and}\ \mathbb{S}\).

时间复杂度是多少呢? 因为我们只枚举了有用的子集状态, 假设 \(\rm{popcount}(\mathbb{S}) = k\), 那么我们就会枚举 \(2^k\) 次, 那么状态总共有 \(\binom{n}{k}\) 个, 所以总的迭代次数为 \(\sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} 2^k = (2 + 1)^n = 3^n\) 个, 因此时间复杂度是 \(\mathcal{O}(3^n)\).

\(\tt{Solution}. 3\) 正解

SOS DP.

设 \(f_{\mathbb{S}}\) 表示集合为 \(\mathbb{S}\) 时元素之和的总和.
直接对于整体求解很难, 考虑从局部到整体: 令 \(f_{\mathbb{S}, i}\) 为在集合 \(\mathbb{S}\) 后 \(i\) 位确定时的总和 (假设最低位为 \(0\), 最高位为 \((n - 1)\)).

初始化 \(f_{S, -1} = a_S\), 对于每一个 \(S\), 对于其子集 \(T\), 有 \(\forall i \in [1, n - 1], T_i \le S_i\).
形式化地:

\[S\ 在第\ i\ 位的子集 = \begin{cases} S & S_i = 0/1 \\ S \oplus 2^i & S_i = 1 \end{cases} \]

计算贡献:

\[f_{S, i} = \begin{cases} f_{S, i - 1} & S_i = 0 \\ f_{S, i - 1} + f_{S \oplus 2^i, i - 1} & S_i = 1 \end{cases} \]

可以结合图片理解下.

这样, 时间复杂度被我们成功优化成了 \(\mathcal{O}(n \times 2^n)\).

好文

相关例题:
P6442 [COCI2011-2012#6] KOŠARE.
Maximum And Queries (hard version).