2024.10.11 CW 模拟赛

T4

题面

---

地平线的视图可以被建模为一个平面直角坐标系，\(x\) 轴将陆地与海洋分开。每个山峰由一个点 \((x,y)\) 表示，山的两侧斜率分别为 \(+1\) 与 \(-1\) ，形成一个山顶在最高点的等腰直角三角形。\

你的角色只能看到视口中的山脉的外围部分。山脉的可见边缘，即不被其他山脉遮挡的部分，会以粗体显示。如果山脉重叠，重叠部分不会以粗体显示。山脉之间不需要相交即可重叠。\

不幸的是，由于图形故障，山脉可能会出现和消失。每次变化后，你都需要知道当前视口中所有粗体线条的总长度。

输入格式

输入的第一行包含两个整数 \(q\) 和 \(n\) ，\(q\) 为查询数量，\(w\) 为视窗宽度。视口的宽度从 \(0\) 延伸到 \(w\) 。视口在顶部是无限的。\

接下来 \(q\) 行中，每行包含两个整数 \(x\) ,\(y\) ,表示某座山峰的顶点 \((x,y)\) 。若 \((x,y)\) 是可见山峰的顶点，该山将消失。否则，该山将变得可见。

输出格式

输出 \(q\) 行。对于每个查询，按顺序输出一行，包含一个实数，表示渲染的粗体线条的总长度。如果你的答案与裁判答案的绝对或相对误差在 \(10^{-6}\) 以内，将被视为答案正确。

数据范围

• 对于 100% 的数据，\(1 \le q \le 2 \cdot 10^5,0 \le x \le w,1 \le x,y \le 10^9.\)

---

思路

一座山会覆盖 \((x-y,0)\) 到 \((x+y,0)\) 这一段区间，容易想到线段树维护，因为 \(1 \le x,y \le 10^9\) ,所以需要离散化到 \([1,10^5]\) 否则空间会炸。最后答案再乘上 \(\sqrt{2}\) 即可。