[DP][递推][洛谷 P1006][NOIp 2008]传纸条

题目描述

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个 \(m\) 行 \(n\) 列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标 \((1,1)\)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标 \((m,n)\) 。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用 \(0\) 表示），可以用一个 \(0−100\) 的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这 \(2\) 条路径上同学的好心程度之和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的 \(2\) 条路径。

输入格式：

输入文件，第一行有 \(2\) 个用空格隔开的整数 \(m\) 和 \(n\) ，表示班里有 \(m\) 行 \(n\) 列。

接下来的 \(m\) 行是一个 \(m \times n\) 的矩阵，矩阵中第 \(i\) 行 \(j\) 列的整数表示坐在第 \(i\) 行 \(j\) 列的学生的好心程度。每行的 \(n\) 个整数之间用空格隔开。

输出格式：

输出文件共一行，包含一个整数，表示来回 \(2\) 条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

输入样例

3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

输出样例

34

首先让我们把问题转化一下，小渊给小轩传纸条，小轩也要给小渊传纸条，而且路径不能一样，其实就是相当于 小渊选择两个不同的路径，给小轩传两张纸条 。
所以让我们来开一个四维数组f[i][j][p][q]，表示两张纸条传到\((i,j)\)，\((p,q)\)的最大总价值。
一张处于\((i,j)\)的纸条一定是从\((i-1,j)\)或\((i,j-1)\)传过来，因为要最大，所以\(f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1])\)。
于是我们可以写一个四重循环，时间复杂度为\(O(n^4)\)。
但是有一个地方需要注意！当\(i=p\)，\(j=q\)时，一定要特殊处理一下，不然就会出错。
代吗：

#include<iostream>
using namespace std;
int max(int a,int b){\\手写max函数
	return a>b?a:b;
}
int mp[50][50]={0};
int f[52][52][52][52]={0};
int main(){
	int n,v,m;
	cin>>m>>n;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			cin>>v;
			mp[i][j]=v;
		}
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){//下面开始四重循环
		for(int j=1;j<=n;j++){
			for(int p=1;p<=m;p++){
				for(int q=1;q<=n;q++){
					f[i][j][p][q]=max(max(f[i-1][j][p-1][q],f[i][j-1][p-1][q]),max(f[i-1][j][p][q-1],f[i][j-1][p][q-1]))+mp[i][j]+mp[p][q];
					if(i==p&&j==q) f[i][j][p][q]-=mp[p][q];//特殊处理，不然会多加
				}
			}
		}
	}
	cout<<f[m][n][m][n]<<endl;
        return 0;//完美结束
}

顺便说一句，如果你这道题A了，那么P1004也就能A了，并且P1004(方格取数)的数据还比P1006弱。。。。。。