最长上升子序列（记忆化递推）

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    • 样例输出
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      • 状态转移方程
      • 核心代码
    • 代码

1759:最长上升子序列

描述

一个数的序列bi，当b1 < b2 < … < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, …, aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, …, aiK)，这里1 <= i1 < i2 < … < iK <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).

你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

输入

输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给出序列中的N个整数，这些 整数的取值范围都在0到10000。

输出

最长上升子序列的长度。

样例输入

7
1 7 3 5 9 4 8

样例输出

4

分析

作为一道动态规划题，在做之前就应该想好要用记忆化搜索或是记忆化递推。在这道题中，我们用的是记忆化递推。

用b[i]来表示以第i个数结尾的最长上升子序列数，如果a[j]比a[i]小，就将b[i]与b[j]+1作比较，看谁更大。最后，输出最大的b[i]。

状态转移方程

|b[i]=max(b[i],（b[j]+1）|a[j]<a[i])$$|b[i]=max(b[i],（b[j]+1）|a[j]<a[i])$$

|b[i]=max(b[i],1|i==j)$$|b[i]=max(b[i],1|i==j)$$

核心代码

for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            if(i==j&&b[i]==0)
                b[i]=1;
            if(a[j]<a[i]&&b[j]+1>b[i])
                b[i]=b[j]+1;
        }

代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<climits>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
int a[1005],b[1005];
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            if(i==j&&b[i]==0)
                b[i]=1;
            if(a[j]<a[i]&&b[j]+1>b[i])
                b[i]=b[j]+1;
        }
    cout<<*max_element(b+1,b+n+1)<<endl;
    return 0;
}