数据结构做题记录

I. P3246 [HNOI2016] 序列

莫队

对于当前区间 \([l,r]\)，考虑右端点 \(r\gets r+1\) 的贡献。不难发现，就是 \(\displaystyle \sum_{i=l}^{r+1}\min_{j=i}^{r+1}\{a_j\}\)。

设区间最小值位置为 \(pos\)，则 \(a_{pos}\) 会贡献 \((pos-l+1)\) 次，剩下的部分是 \(\displaystyle \sum_{i=pos+1}^{r+1}\sum_{j=i}^{r+1} \min\{a_j\}\)。

发现剩下这部分答案满足可差分性，套路地设 \(\displaystyle f(r)=\sum_{i=1}^r\min_{j=i}^r\{a_j\}\)，于是这部分就是 \(f(r+1)-f(pos)\)。

思考如何求出 \(f(i)\)。设在 \(i\) 前面的第一个比 \(i\) 大的数的位置是 \(pre_i\)，注意到，\(f(r)=f(pre_r)+(r-pre_r)\cdot a_r\)，不难递推得到。

对称地，我们对左端点再次讨论即可。利用朴素的 ST 表维护区间最小值，时间复杂度 \(\Theta(n\log n+m\sqrt n)\)，其中 \(\Theta(n\log n)\) 是 ST 表预处理时间。

线段树

TODO。

II. P6604 [HNOI2016] 序列加强版

设 \([l,r]\) 最小值位置为 \(pos\)，它的贡献为 \((r-pos+1)(pos-l+1)\)。然后考虑 \([l,pos)\) 和 \((pos,r]\) 的贡献。

这两部分贡献可以用普通版中莫队的做法中推的式子，具体地说就是考虑端点从 \([pos,pos]\) 推到 \([pos,r]\)，除去 \(pos\) 的贡献，剩下那部分就是 \(\displaystyle \sum_{k=pos+1}^{r}\sum_{i=pos+1}^{k}\min_{j=pos+1}^i \{a_j\}\)，可以利用 \(f(i)\) 的二维前缀和表达。对于 \([l,pos)\) 的贡献同理。

综上，我们可以 \(\Theta(1)\) 回答每个询问。时间复杂度瓶颈在于朴素 ST 表的预处理，为 \(\Theta(n\log n+q)\)。

根据 Alex_wei 老师的说法，如上做法和 Cartesian 树是有关系的。相关题目：P6503 [COCI2010-2011#3] DIFERENCIJA。

III. #6376. 「HNOI2016」序列二次加强版

朴素 ST 表无法通过，只能考虑 \(\Theta(n)\sim \Theta(1)\) RMQ。

参见下一篇题解。

IV. P3793 由乃救爷爷

\(\Theta(n)\sim \Theta(1)\) RMQ。

事实证明确定性的分块+ST 表跑得要比非确定性的 Cartesian 树慢得多（）

我的实现中，ST 表+分块跑了 11.17s，而 Cartesian 树跑了 4.50s。

算法 1：ST 表+分块（确定性）

参考了 RI 的题解。RI 叫它二毛子（）。

考虑将序列分成若干块，每块大小为 \(B=\log n\)。我们对块间做 ST 表，时间复杂度是 \(\displaystyle\Theta\left(\frac{n}{B}\log \frac{n}{B}\right)=\Theta(n)\) 的。

为了处理零散的段，我们预处理块内前缀最大值、块内后缀最大值。额外地，对于两端点在同一段的情况，我们需要额外处理一个 \(val\) 数组，利用二进制压位，维护一个递减的子序列。

例如，\(A=\{1,5,4,3\}\)，那么 \(val=\{\{1\},\{2,1\},\{3,2\},\{4,3,2\}\}\)。

对于每次询问，如果两端点在同一块的情况，我们可以直接利用位运算找到最大值。

否则，先处理散块，再 ST 表查询整块。查询时间复杂度 \(\Theta(1)\)。

综上，我们在 \(\Theta(n)\sim \Theta(1)\) 内支持了 RMQ 的查询。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

// #define int long long 
using ull=unsigned long long;
constexpr int MAXN=2e7+64, B=64;

namespace GenHelper {
    unsigned z1,z2,z3,z4,b;
    unsigned rand_() {  }
}
void srand(unsigned x) {  }
int read() {  }
int a[MAXN], pre[MAXN], suf[MAXN];
int f[19][MAXN/B+1]; ull val[MAXN];
#define bel(x) ((x+63)>>6)
#define st(x) (((x-1)<<6)|1)
#define ed(x) (x<<6)
int n, m; int stk[MAXN], top;
void build() {
    int bnum=bel(n);
    for (int i=1; i<=bnum; ++i) {
        pre[st(i)]=a[st(i)]; suf[ed(i)]=a[ed(i)];
        for (int j=st(i)+1; j<=ed(i); ++j) pre[j]=max(pre[j-1],a[j]);
        for (int j=ed(i)-1; j>=st(i); --j) suf[j]=max(suf[j+1],a[j]);
        f[0][i]=pre[ed(i)];
    }
    for (int i=1; i<=__lg(bnum); ++i)
        for (int j=1; j+(1<<i)-1<=bnum; ++j)
            f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j+(1<<i-1)]);
    for (int i=1; i<=bnum; ++i) {
        top=0;
        for (int j=st(i); j<=ed(i); ++j) {
            if (j>st(i)) val[j]=val[j-1];
            while (top&&a[j]>=a[stk[top]]) val[j]^=1ull<<stk[top--]-st(i);
            val[j]|=1ull<<j-st(i); stk[++top]=j;
        }
    }
}
int ask(int l, int r) {
    int x=bel(l), y=bel(r);
    if (x==y) return a[l+__builtin_ctzll(val[r]>>l-st(x))];
    int ans=max(suf[l],pre[r]);
    if (x+1<y) {
        x++, y--;
        int t=__lg(y-x+1);
        ans=max({ans,f[t][x],f[t][y-(1<<t)+1]});
    }
    return ans;
}
ull ans=0;


signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);
    unsigned s;
    cin>>n>>m>>s; srand(s);
    for (int i=1; i<=n; ++i) a[i]=read();
    build();
    int l, r;
    while (m--) {
        l=read()%n+1, r=read()%n+1; if (l>r) swap(l,r);
        ans+=ask(l,r);
    }
    cout<<ans;
}

算法 2：Cartesian 树（依赖随机数据）

我们 \(\Theta(n)\) 建出 Cartesian 树。

我们知道，RMQ 问题可以转为 Cartesian 树上的 LCA 问题。本题中，由于数据随机，所以直接暴力跳 LCA 即可。时间复杂度期望 \(\Theta(1)\)。

V. [AGC028B] Removing Blocks

VI. P5443 [APIO2019] 桥梁

首先，在 \(i\) 号灯变量的时刻，我们设包含 \(i\) 的极长连通段为 \([l,i]\)，包含 \(i+1\) 的极长联通段为 \([i+1,r]\)，那么 \(\forall s\in [l,i],t\in [i+1,r]\)，都被连通了。发现我们可以对 \([l,i],[i+1,r]\) 做一个矩形加。

VII. P4314 CPU 监控

TODO。

VIII. P6242 【模板】线段树 3

IX. CF997E Good Subsegments

考虑套路地进行扫描线。

X. P5046 [Ynoi2019 模拟赛] Yuno loves sqrt technology I

XI. P5298 [PKUWC2018] Minimax

XII. P5048 [Ynoi2019 模拟赛] Yuno loves sqrt technology III

XIII. P6684 [BalticOI 2020 Day1] 小丑

XIV. P3247 [HNOI2016] 最小公倍数

操作分块+并查集。

具体地，将边按照 \(a\) 分块，块内按照 \(b\) 排序；

将询问对 \(b\) 排序，然后按照 \(a\) 挂到块中。

对于整块，由于我们已经按照 \(b\) 排序，所以直接处理即可；对于散块，暴力加入后撤销即可。

记块大小为 \(B\)，时间复杂度 \(\Theta\left(qB\log B+Bm\log m\right)\)。取 \(B=\sqrt {m\log m}\) 即可。

XV. P5072 [Ynoi2015] 盼君勿忘

XVI. P2479 [SDOI2010] 捉迷藏

XVII. P5324 [BJOI2019] 删数

XVIII. P4513 小白逛公园

线段树维护区间最大子段和的板子。

XIX. P5327 [ZJOI2019] 语言

TODO。

XX. P5012 水の数列

TODO。

XXI. P5283 [十二省联考 2019] 异或粽子

转为异或前缀和是平凡的。

Solution 1：Trie

不妨将 \(k\) 乘以 \(2\)，转为无序的问题。

我们维护四元组 \((i,k,v)\)，表示与 \(\mathrm{sum}_i\) 异或，第 \(k\) 大的值为 \(v\)。\(v\) 不难利用 Trie 上二分（考虑类似平衡树的二分方式）在 \(\Theta(\log V)\) 内找出。

于是，平凡地，我们对于 \(\forall i\in [0,n]\)，将 \((i,1,v)\) 插入大根堆中。每次取出最大的值 \((i,k,v)\) 后，将 \((i,k+1,v')\) 压入堆中。

时间复杂度 \(\Theta((n+k)\log V)\)，时空常数明显优于解法 2。

Solution 2：持久化 Trie

类比 XXIX 超级钢琴的套路，维护五元组 \((st,l,r,pos,v)\) 表示 \([l,r]\) 区间内，与 \(\mathrm{sum}_{st}\) 异或值最大的位置是 \(pos\)，最大的值是 \(v\)。

\(pos\) 不难利用持久化 Trie 求出。每次取出 \((st,l,r,pos,v)\) 后，我们将 \((st,l,pos-1,pos',v')\) 和 \((st,pos+1,r,pos'',v'')\) 压入堆中即可。

时间复杂度 \(\Theta((n+k)\log V)\)。

XXII. CF125E MST Company

经典结论：设点集内 dfs 序最小和最大的点分别为 \(u,v\)，则点集的 \(\mathrm{LCA}\) 为 \(\mathrm{lca}(u,v)\)。

于是维护区间最大/次大/最小/次小 dfs 序即可。时间复杂度 \(\Theta(m\log n)\)。

XXIII. P5926 [JSOI2009] 面试的考验

这是三倍经验的第一题，我们考虑利用分块在 \(\Theta(n+m)\sqrt n\) 的时间复杂度内解决。

XXIV. CF765F Souvenirs

这是三倍经验的第二题，我们考虑利用权值线段树在 \(\Theta(n\log^2 V)\) 的时间复杂度内解决。

XXV. CF1793F Rebrending

这是三倍经验的第三题，我们考虑利用根号分治在 \(\Theta(n\sqrt n+m)\) 的时间复杂度内解决。

XXVI. UVA1619 感觉不错 Feel Good

XXVII. [ABC311G] One More Grid Task

XXVIII. P2839 [国家集训队] middle

XXIX. P2048 [NOI2010] 超级钢琴

XXX. CF1192B Dynamic Diameter

考虑利用线段树维护 Euler 序。

不妨设 \(st_u\) 为 \(u\) 第一次出现的位置。

引理 1 \(u,v\) 的 LCA 是 \([st_u,st_v]\) 中深度最小的点。

引理 2 边权非负的时候，直径长度即为

\[\max_{u,v} \left\{\mathrm{dep}_u+\mathrm{dep}_v-2\mathrm{dep}_{\mathrm{lca}(u,v)}\right\} \]

也就是说，我们的答案就是

\[\max_{u\le w\le v}\left\{\mathrm{dep}_u+\mathrm{dep}_v-2\mathrm{dep}_{w}\right\} \]

这启示我们，在线段树的节点上维护：

\(\mathrm{mx}_1=\max\left\{\mathrm{dep}_u\right\}\)；
\(\mathrm{mn}_1=\min\left\{\mathrm{dep}_u\right\}\)；
\(\mathrm{lmx}=\max_{u\le v}\left\{\mathrm{dep}_u-2\mathrm{dep}_v\right\}\)；
\(\mathrm{rmx}=\max_{v\le u}\left\{\mathrm{dep}_u-2\mathrm{dep}_v\right\}\)；
\(\mathrm{ans}=\max_{u,v} \left\{\mathrm{dep}_u+\mathrm{dep}_v-2\mathrm{dep}_{\mathrm{lca}(u,v)}\right\}\)。

考虑合并两个节点 \(l,r\)。

\(\mathrm{mx}_1,\mathrm{mn}_1\) 的合并是平凡的。

\(\mathrm{lmx},\mathrm{rmx}\) 的合并

直接取四种情况的 \(\max\) 即可，是不难的。

\(\mathrm{ans}\) 的合并

取

\(\mathrm{ans}_l,\mathrm{ans}_r\)，
\(\mathrm{lmx}+\mathrm{mx}_2\)，
\(\mathrm{rmx}+\mathrm{mx}_1\)

的 \(\max\) 即可。

考虑如何修改。对应区间上，我们有

\(\mathrm{mx}_1\gets\mathrm{mx}_1+\Delta\)；
\(\mathrm{mn}_1\gets\mathrm{mn}_1+\Delta\)；
\(\mathrm{lmx}\gets\mathrm{lmx}-\Delta\)；
\(\mathrm{rmx}\gets\mathrm{rmx}-\Delta\)。

加上 tag 后直接做就可以了。

时间复杂度是 \(\Theta((n+q)\log n)\) 的。

XXXI. P8078 [WC2022] 秃子酋长

莫队的 \(\Theta(n\sqrt {m\log n})\) 是平凡的。由于 \(n,m\leq 5\times 10^5\)，无法通过。我们考虑 \(\Theta(n\sqrt m)\) 的做法。

考虑排列的逆排列。不难发现，时间复杂度的瓶颈在于插入，如果没有插入只有删除的话，可以利用双向链表做到 \(\Theta(1)\)。

那么考虑不插入的回顾莫队：

首先建出整个序列对应的双向链表。

将询问按照左端点所在块编号为第一关键字（升序），右端点为第二关键字降序排序；
左端点处理到块 \([st,ed]\) 的时候，将 \([1,st)\) 在双向链表中删除；
记录此时的状态（此时右端点在 \(n\) 处），处理询问：
- 将右端点移动到询问的右端点 \(R\)；
- 将左端点移动到询问的左端点 \(L\)，回答询问；
- 撤销左端点的移动，将左端点移回到 \(st\)。
处理完 \([st,ed]\) 的询问后，将 3 中记录的状态还原，回到 3 处理下一块。

时间复杂度 \(\Theta(n\sqrt m)\)。本题对常数要求较高，需要精细实现。

XXXII. [ABC244Ex] Linear Maximization

对于 \(b=0\) 的情况，直接用 \(\texttt{std::set}\) 维护即可。

否则，我们利用一棵李超线段树维护。具体地说，注意到

\[ax+by=b\left(x\cdot \frac{a}{b}+y\right) \]

就是求一些一次函数 \(y=kx+b\)（\(k=x,b=y\)）在点 \(\dfrac{a}{b}\) 处的最值。我们利用李超线段树维护这些分数即可。

时间复杂度 \(\Theta(n\log n)\)。

本题还有利用凸包的解法，详见 XXVIII。

XXXIII. P3309 [SDOI2014] 向量集

答案显然在凸包上。由于涉及区间询问，所以考虑线段树。

具体地说，我们在线段树的每个节点上维护一个凸包。查询时，在 \(\Theta(\log n)\) 个节点上二分即可，总时间复杂度是 \(\Theta((n+q)\log^2 n)\) 的，吗？

考虑插入。如果每次插入我们都 \(\Theta(n\log n)\) 暴力重构凸包，显然时间复杂度不正确。

但是可以在一个区间刚好满的时刻（也就是，加入的元素使得这个区间被填满）建立凸包，这样时间复杂度就正确了。正确性显然。

现在是 18:29，我看看我什么时候写完。

其实还是很好写的。code.

XXXIV. P5631 最小 mex 生成树

我们有两种解法。

整体二分

暴力的做：将边权等于 \(x\) 的边删掉，看可不可行。

考虑整体二分，\(solve(l,r)\) 表示将边权 \(\in [l,r]\) 的边删掉，可不可行。

时间复杂度 \(\Theta(V\log V\log n)\)。

线段树分治

在边权上建立线段树，将一条边 \((u,v,w)\) 拆成 \((u,v,[0,w))\) 和 \((u,v,(w,+\infty))\)。然后利用可撤销并查集维护即可，时间复杂度 \(\Theta(V\log V\log n)\)。

XXXV. SP9576 Dynamic Graph Connectivity

XXXVI. P3899 [湖南集训] 更为厉害

XXXVII. P5227 [AHOI2013] 连通图

XXXVIII. CF1628E Groceries in Meteor Town

XXXIX. [ABC295G] Minimum Reachable City

XL. P6089 [JSOI2015] 非诚勿扰

XLI. [ABC342G] Retroactive Range Chmax

XLII. P3521 [POI2011] Tree Rotations 旋转树木

XLIII. [ABC341G] Highest Ratio

XLIV. P4093 [HEOI2016/TJOI2016] 序列

XLV. P4848 崂山白花蛇草水

XLVI. P5445 [APIO2019] 路灯

XLVII. P5689 [CSP-S2019 江西] 多叉堆

XLVIII. P10590 磁力块

IL. P10589 楼兰图腾

L. P3332 [ZJOI2013] K大数查询

LI. P2617 Dynamic Rankings

LII. P4175 [CTSC2008] 网络管理

首先套路地整体二分。

LII. P3242 [HNOI2015] 接水果

首先套路地整体二分。

考虑刻画路径 \((u,v)\) 被 \((s,t)\) 包含的条件。设 \(\mathrm{dfn}(u)\le \mathrm{dfn}(v),\mathrm{dfn}(s)\le \mathrm{dfn}(t)\)。

\(\mathrm{LCA}(u,v)\ne u\)

那么，只需要 \(s\) 在 \(u\) 子树内，\(t\) 在 \(v\) 子树内就好了。

即，\(\mathrm{dfn}(s)\in [\mathrm{dfn}(u),\mathrm{dfn}(u)+\mathrm{siz}(u)-1]\)，\(\mathrm{dfn}(t)\in [\mathrm{dfn}(v),\mathrm{dfn}(v)+\mathrm{siz}(v)-1]\)。

\(\mathrm{LCA}(u,v)= u\)

设 \(u\) 的儿子中，\(v\) 的祖先为 \(p\)。

那么，只需要 \(s\) 不在 \(p\) 子树内，\(t\) 在 \(v\) 子树内就好了。

即，

\(\mathrm{dfn}(s)\in [1,\mathrm{dfn}(p)-1]\)，\(\mathrm{dfn}(t)\in [\mathrm{dfn}(v),\mathrm{dfn}(v)+\mathrm{siz}(v)-1]\)。
\(\mathrm{dfn}(s)\in [\mathrm{dfn}(v),\mathrm{dfn}(v)+\mathrm{siz}(v)-1]\)，\(\mathrm{dfn}(t)\in [\mathrm{dfn}(p)+\mathrm{siz}(p),n]\)。

将路径 \((s,t)\) 转化为二维平面上的点 \((\mathrm{dfn}(s),\mathrm{dfn}(t))\)。对于每个盘子 \((u,v)\)，做矩形加，然后对于每个水果做单点查即可。

最后，扫描线即可。时间复杂度 \(\Theta((p+q)\log^2 n)\)。