数据结构进阶

区间数颜色

LOJ #3751. [SDOI2009] HH 的项链

给定长度为 \(n\) 的序列，\(m\) 次询问 \([l,r]\) 内有多少不同的元素。

\(n\le 5\times 10^4\)，\(m\le 2\times 10^5\)。

区间数颜色是莫队算法的经典应用，可以用莫队在 \(\Theta(m\sqrt n)\) 内解决。

P1972 [SDOI2009] HH的项链（数据加强版）

题面同上题。\(n,m\le 10^6\)。

根号算法显然难以通过。我们考虑 \(\mathrm{polylog}\) 的算法。

我们不妨对右端点扫描线（将询问按右端点从小到大排序，令 \(i\) 遍历 \(1\sim r\)，并回答 \(r=i\) 的询问）。一旦以 \(i\) 为右端点的询问被处理完了，我们对 \([1,i]\) 修改就不会影响到前面的询问了。

综上，我们考虑如下的算法：

• 初始化 \(pos_i=0\)，表示 \(i\) 上次出现位置是 \(0\)（即没有出现过）；初始化 \(b\) 序列为全 \(0\)。
• 遍历 \(i=1\sim n\)。
  • 记 \(pre=pos_{a_i}\)。令 \(b_{pre}\gets 0\)。
  • 令 \(b_i\gets 1\)。
  • 令 \(pos_{a_i}=i\)。
  • 遍历所有 \(r=i\) 的询问，答案即为 \(b\) 序列 \([l,r]\) 的区间和。

正确性是比较显然的。

利用树状数组维护前缀和，我们在 \(\Theta(m\log n)\) 内解决了问题。

线段树与区间最值操作问题

HDU 5306 Gorgeous Sequence

给定序列 \(a\)，维护以下操作。

• 查询区间和。
• 查询区间最大值。
• 给定 \(l,r,x\)，\(\forall i\in [l,r]\)，令 \(a_i\gets \min(a_i,x)\)。

\(n,m\le 10^6\)。

线段树与历史最值问题

P4314 CPU 监控

给定序列 \(a\)，维护以下操作。定义辅助序列 \(b\)，初始时 \(b=a\)，每次操作完后对 \(\forall i\in [1,n]\)，令 \(b_i\gets \max(a_i,b_i)\)。

• 查询 \(\max_{i=l}^{r} a_i\)（区间最值）

• 查询 \(\max_{i=l}^{r} b_i\)（历史最值）

• \(\forall i\in [l,r]\)，\(a_i\gets a_i+v\)（区间修改）

• \(\forall i\in [l,r]\)，\(a_i\gets v\)（区间覆盖）

\(n,m\le 10^5\)，\(|a_i|,|v|\lt 2^{31}\)。

先只考虑加操作。对于一个节点（记最大值为 \(v\)，历史最大值为 \(h\)），影响到它的操作可以放进一个队列：

\[[add_1,add_2,\cdots,add_k] \]

考虑逐个处理这些操作的过程。当处理到操作 \(i\) 的时候，这个节点的最大值一定会变成 \(v+add_1+add_2+\cdots+add_i\)（我们引入 \(add\) 序列的前缀和序列 \(sum\)，则改记为 \(v+sum_i\)），但是历史最大值则不然。

为什么历史最大值不一定是 \(v+sum_i\)？因为 \(v+sum_i\) 不一定是出现过的最大值。 \(add_i\) 可以为负数，从而 \(sum_i\) 不具有单调性。 但是我们可以发现，历史最大值一定是 \(\max\left(h,v+\max_{j=1}^{i}sum_j\right)\)。于是我们可以维护 \(mx=\max_{j=1}^{k}sum_j\)。

我们当然不可能模拟这个队列，不过现在我们已经可以维护新元素的入队过程了。当加入一个新的加操作 \(add\) 的时候：

\[v\gets v+add \]

\[sum\gets sum+add \]

\[mx\gets \max\left(mx,sum\right) \]

\[h\gets\max\left(h,v+mx\right) \]

（想一想：一定要按照这个顺序更新吗？为什么？）

那么我们考虑两个队列的拼接，在线段树上体现为将父节点 \(i\) 的标记下放到子节点 \(l\)（将 \(add_i\) 接到 \(add_l\) 后面）。

子节点标记：

\[add_{l,1},add_{l,2},\cdots,add_{i,k_l} \]

父节点标记：

\[add_{i,1},add_{i,2},\cdots,add_{i,k_i} \]

接起来：

\[add_{l,1},add_{l,2},\cdots,add_{l,k_l},add_{i,1},add_{i,2},\cdots,add_{i,k_i} \]

考虑这个新的队列的前缀和。

\[sum_i\gets \begin{cases} sum_{l,i} & (1\leq i\leq k_l) \\ sum_{l,k}+sum_{i,i-k} & (k_l+1\leq i\leq k_l+k_i) \end{cases} \]

考虑这个新的 \(mx_l\)。

\[mx_l\gets \max\begin{cases} \max_{i=1}^{k_l} sum_{l,i} \\ sum_{l,k}+\max_{i=1}^{k_i} sum_{i,i} \end{cases} \]

即

\[mx_l\gets \max(mx_l,sum_l+mx_i) \]

于是我们就能够处理两个队列的拼接了。

具体地，对于队列 \(add_l\) 和 \(add_i\) 的合并：

\[v_l\gets sum_l+sum_i \]

\[mx_l\gets \max\left(mx_l,sum_l+mx_i\right) \]

\[sum_l\gets sum_l+sum_i \]

\[h_l\gets \max(h_l,v_l+mx_i) \]

于是加操作被解决了。

加上覆盖操作，我们有几种实现方式：定义新运算，挖掘性质。

定义新运算

我们将题目中的两种操作统一成一种操作 \((a,b)\)，表示将 \(v\) 改为 \(\max(v+a,b)\)。那么区间覆盖就是 \((-\infty, x)\)，区间加就是 \((x,-\infty)\)。

我们将\(v=\max(v+a,b)\) 的操作记为 \(v=v\times (a,b)\)。

先考虑两个标记的合并。\(v\) 依次 apply \((a,b)\) 与 \((a',b')\) 后变成了 \(\max\left(\max(v+a,b)+a',b'\right)=\max\left(v+a+a',b+a',b'\right)\)，与 apply 标记 \((a+a',\max(b+a',b'))\) 等效。故 \((a,b)\odot (a',b')=(a+a',\max(b+a',b'))\)。

我们还是和之前一样写出某节点的操作队列。

\[[op_1,op_2,\cdots,op_k] \]

于是，\(k\) 次操作后，我们的 \(v\gets v\times \left(op_1\odot op_2\odot\cdots\odot op_k\right)\)。而历史最大值 \(h\) 更新为 \(\max(h,h+sum_{op}\text{ 中最大的 }a,sum_{op}\text{ 中最大的 } b)\)。

我们不妨定义 \(\max\left((a,b),(a',b')\right)=(\max(a,a'),\max(b,b'))\)。于是每次入队一个新元素的时候，我们令

\[v\gets v\times op \]

\[sum\gets sum\odot op \]

\[tag\gets \max(tag,sum) \]

其中 \(tag=(a,b)\) 意为 \(sum_{op}\) 中最大的 \(a\) 和 \(sum_{op}\) 中最大的 $ b$。

如法炮制，考虑节点 \(i\) 的操作队列 \(op_i\) 下放给儿子 \(l\)（操作队列为 \(op_l\)）。

于是

\[sum_l=\begin{cases} sum_{l,k} & (k\leq k_l) \\ sum_{l,k_l}\odot sum_{i,k-k_l} & (k_l+1\leq k\leq k_l+k_i) \end{cases} \]

而这需要我们的 \(\odot\) 操作具有结合律。我们来证明一下其具有结合律。

由定义有，\((a,b)\odot (a',b')=(a+a',\max(b+a',b'))\)

则

\[\begin{aligned} & \left((a_1,b_1)\odot(a_2,b_2)\right)\odot (a_3,b_3)\\ &=(a_1+a_2,\max(b_1+a_2,b_2))\odot (a_3,b_3)\\ &=(a_1+a_2+a_3,\max(\max(b_1+a_2,b_2)+a_3,b_3)) \\ &=(a_1+a_2+a_3,\max(b_1+a_2+a_3,b_2+a_3,b_3)) \end{aligned} \]

而

\[\begin{aligned} & (a_1,b_1)\odot\left((a_2,b_2)\odot (a_3,b_3)\right)\\ &=(a_1,b_1)\odot(a_2+a_3,\max(b_2+a_3,b_3))\\ &=(a_1+a_2+a_3,\max(b_1+a_2+a_3,\max(b_2+a_3,b_3))) \\ &=(a_1+a_2+a_3,\max(b_1+a_2+a_3,b_2+a_3,b_3)) \end{aligned} \]

证毕。

我们证明了 \(\odot\) 运算是具有结合律的，那么就可以放心玩弄啦~

那么于是 \(tag_l=\max(tag_l,sum_l\odot tag_i)\)。

于是 \(op_i\) 接在 \(op_l\) 后面的时候，我们有

\[tag_l\gets \max(tag_l,sum_l\odot tag_i) \]

\[sum_l\gets sum_l\odot sum_i \]

\[h_l\gets \max(h_l,v_l\times tag_i) \]

\[v_l\gets v_l\odot sum_i \]

（为什么是这个更新顺序？）

挖掘性质

我们注意到，如果一个节点被赋值过了，那么之后的所有加操作都可以被看成赋值操作。

于是我们分赋值前和赋值后来讨论。赋值前已经讨论过了。

赋值后，我们只需要额外维护一个 \(mx\) 表示历史最大赋值就可以了。

两种做法时间复杂度均为 \(\Theta(m\log n)\)。

P6242 【模板】线段树 3

GSS 系列

这是笔者的 AC 代码集，可供参考。

GSS1 - Can you answer these queries I

给定长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，\(m\) 次询问 \([l,r]\) 内的最大子段和（可以为空）。

\(|a_i|\le 15,007\)，\(n,m\le 10^5\)。

显然用线段树维护，我们考虑在节点 \([l,r]\) 处需要维护哪些信息。

• \(mx\)。即 \([l,r]\) 内最大子段和。
• \(lmx\)。即 \([l,r]\) 内最大子段和，但是一定要选中左端点。
• \(rmx\)。即 \([l,r]\) 内最大子段和，但是一定要选中右端点。
• \(sum\)。即 \([l,r]\) 的区间和。

考虑信息的合并。以下的下标 \(l,r\) 表示左右儿子。

\[lmx\gets \max(lmx_l, sum_l+lmx_r) \]

\[rmx\gets \max(rmx_r, sum_r+rmx_l) \]

\[mx\gets \max(mx_l,mx_r,rmx_l+lmx_r) \]

时间复杂度 \(\Theta(m\log n)\)。

GSS2 - Can you answer these queries II

给定长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，\(m\) 次询问 \([l,r]\) 内的最大子段和（可以为空），但是相同的数只计算一次。

\(|a_i|\le 15,007\)，\(n,m\le 10^5\)。

受 P1972 的启发，由于相同的数只出现一次，套路地考虑扫描线。

套路地遍历 \(i=1\sim n\)，记录 \(pos_x\) 为当前（不超过 \(i\) 的）最大的使得 \(a_k=x\) 的 \(k\)。

定义辅助数组 \(b\)，起初为全 \(0\)。当 \(i\) 自增 \(1\) 时：

• 记 \(pre=pos_{a_i}\)。对 \(\forall k\in [pre+1,i]\)，令 \(b_k\gets b_k+a_i\)。
• 令 \(pos_{a_i}\gets i\)。

此时，对于右端点 \(r=i\) 的所有询问，查询 \([l,r]\) 的历史最大和就是答案。

时间复杂度 \(\Theta(m\log n)\)

GSS3 - Can you answer these queries III

给定长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，\(m\) 次操作：

• 查询 \([l,r]\) 内的最大子段和（可以为空）。
• 或单点修改。

\(|a_i|\le 15,007\)，\(n,m\le 10^5\)。

GSS 1 的双倍经验，只需要加上单点修改就可以了，而单点修改是容易的。

GSS4 - Can you answer these queries IV

给定长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，\(m\) 次操作：

• 查询区间和。
• 或 \(\forall i\in [l,r]\)，令 \(a_i\gets \lfloor {\sqrt a_i}\rfloor\)。

\(\sum a_i \le 10^{18}\)，\(n,m\le 10^5\)。

我们有经典结论：一个数在至多 \(\Theta(\log \log V)\) 次操作 2 后变成 \(1\)。于是我们对区间维护一个全 \(1\) tag，然后对于不是全 \(1\) 的区间暴力递归即可。时间复杂度据说是 \(\Theta(n\log \log V+m\log n)\) 的（by @skip2004）。

本题有 BIT+dsu 的解法。

GSS5 - Can you answer these queries V

给定长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，\(m\) 次操作：

• 给定 \(x_1,y_1,x_2,y_2\)，查询 \([l,r]\) 内的最大子段和，其中 \(l\in [x_1,y_1]\)，\(r\in [x_2,y_2]\)。不保证 \([x_1,y_1]\) 与 \([x_2,y_2]\) 不重合。
• 或单点修改。

\(|a_i|\le 15,007\)，\(n,m\le 10^5\)。

我们来进行分类讨论。以下的交、并集运算在整数意义下进行，例如 \([1,3]\cup [4,5]=[1,5]\)。

• \([x_1,y_1]\cap [x_2,y_2]=\varnothing\)。

这时，\([y_1+1,x_2-1]\) 中间的内容是必选的（注意这个区间可能是空集）。我们查询 \([y_1+1,x_2-1]\) 的区间和，加上 \([x_1,y_1]\) 的最大后缀和 与 \([x_2,y_2]\) 的最大前缀和即为所求。

• \([x_1,y_1]\cap [x_2,y_2]\neq \varnothing\)。

显然 \([x_1,y_1]\cap [x_2,y_2]=[x_2,y_1]\)。

此时，答案分三种情况：

• \(l\in [x_1,x_2)\)，\(r\in [x_2,y_2]\)

查询 \([x_1,x_2)\) 的最大后缀和 与 \([x_2,y_2]\) 的最大前缀和即可。

• \(l\in [x_1,y_1]\)，\(r\in (y_1,y_2]\)

查询 \([x_1,y_1]\) 的最大前缀和 与 \((y_1,y_2]\) 的最大后缀和即可。

• \(l,r \in [x_2,y_1]=[x_1,y_1]\cap [x_2,y_2]\)

查询 \([x_2,y_1]\) 的最大子段和即可。

综上，我们在 \(\Theta(m\log n)\) 内解决了本题。

GSS6 - Can you answer these queries VI

给定长度为 \(n\) 的初始序列 \(a\)，\(m\) 次操作：

• 查询 \([l,r]\) 内的最大子段和。
• 或在任意位置插入一个元素。
• 或单点修改。
• 或在任意位置删除一个元素。

\(|a_i|\le 15,007\)，\(n,m\le 10^5\)。

有插入删除操作，想到用平衡树维护。这里以 fhq-Treap（其实 Splay 也一样）为例。

对于每个节点，我们除了维护最大子段和的那堆 tag，还需要维护一个编号加的 tag。

插入时，我们 Split 后，对 Split 出来的右半区间打上区间子段和 +1 的 tag。删除时就打上 -1 的 tag。然后就做完了。

时间复杂度 \(\Theta(m\log n)\)，常数较大。

GSS7 - Can you answer these queries VII

给定一棵 \(n\) 个节点的树，点有点权。\(m\) 次操作：

• 查询 \((u,v)\) 路径上的最大子段和，可以为空。
• 或对 \((u,v)\) 路径上的点进行点权覆盖。

\(n,m\le 10^5\)，\(|a_i|\le 10^4\)。

直接考虑树链剖分。对于拆出来的两个区间再合并一次即可，注意合并的方向。

对于点权覆盖操作，是很好实现的。时间复杂度 \(\Theta(m\log ^2 n)\)。

GSS8 - Can you answer these queries VIII

给定长度为 \(n\) 的初始序列 \(a\)，\(m\) 次操作：

• 给定 \(l,r,k\)，查询 \(\displaystyle \sum_{i=l}^r a_i\cdot (i-l+1)^k\) 的值，对 \(2^{32}\) 取模。
• 或在任意位置插入一个元素。
• 或单点修改。
• 或在任意位置删除一个元素。

\(0\le a_i\lt 2^{32}\)，\(n,m\le 10^5\)，\(0\le k\le 10\)。

首先先上个平衡树。由于 \(k\) 很小，所以可以对每个 \(k\) 单独统计答案。

考虑如何合并答案。

左边区间的贡献是容易的。但是对于右边区间，

\[\sum_{i=L}^{r} a_i\cdot (i-L+1)^k \]

假设左边区间的长度为 \(x\)，我们得到

\[\begin{aligned} &\sum_{i=L}^r a_i\cdot ((i-L+1)+x)^k \\ =&\sum_{i=L}^r \sum_{j=0}^k {k\choose j} a_i\cdot (i-L+1)^{j}x^{k-j} \\ =&\sum_{j=0}^k {k\choose j}x^{k-j}\sum_{i=L}^r a_i\cdot (i-L+1)^j \end{aligned} \]

注意到第二个和式就是 \(k=j\) 的时候的答案，边界是 \(k=0\) 时退化成区间和。这样我们就在 \(\Theta(k)\) 的时间内完成了区间合并，总时间复杂度 \(\Theta(mk\log n)\)。

莫队

P5071 [Ynoi2015] 此时此刻的光辉

Yuno OI 四血祭。

Chtholly 给你了一个长度为 \(n\) 的正整数序列 \(a\)，\(m\) 次查询

\[\sigma_0\left(\prod_{i=l}^r a_i\right) \]

对 \(19,260,817\) 取模。

其中 \(\sigma_0\) 表示约数个数函数。\(n,m\leq 10^5\)，\(1 \leq a_i \leq10^9\)。

我们有经典的结论

\[\sigma_0(n)=\prod (c_i+1) \]

其中 \(c_i\) 为 \(n\) 的唯一分解中第 \(i\) 个素数的指数。

类似上题莫队的做法，我们考虑根号分治。具体地，设置一个阈值 \(B\)，对于不大于 \(B\) 的素数，我们维护其 \(\sigma_0\) 的前缀积；对于大于 \(B\) 的素数，我们用 hash 表记录下其指数，直接在莫队的时候处理。为了让复杂度正确，需要预处理乘法逆元。

我们可以将 \(B\) 设置成 \(10^3\) 左右（这样 \(\le 10^3\) 的素数有 \(168\) 个）。时间复杂度为 \(\displaystyle\Theta\left(n\sqrt n+m\frac{\sqrt B}{\log \sqrt B}\right)\)。

需要中等程度的卡常。如果 unordered_map 被卡可以用 __gnu_pbds::gp_hash_table/cc_hash_table。

平衡树

平衡树主要用 FHQ Treap / Splay 实现。

P5350 序列

维护一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，支持以下操作。

• 求区间和。
• 区间赋值。
• 区间加。
• 用一个区间填充另一个区间。形式化说，给定 \([l_1,r_1]\) 和 \([l_2,r_2]\)，对 \(\forall i\in [0,r_1-l_1]\)，令 \(a_{l_2+i}=a_{l_1+i}\)。
• 交换两个区间。给定 \([l_1,r_1]\) 和 \([l_2,r_2]\)，对 \(\forall i\in [0,r_1-l_1]\)，交换 \(a_{l_1+i}\) 与 \(a_{l_2+i}\)。
• 区间翻转。

最后需要输出整个序列。

保证数据随机生成，保证数据合法（涉及两个区间的操作，这两个区间长度相等且无交），所有答案对 \((10^9+7)\) 取模。

\(n,m\le 3\times 10^5\)。

直接利用 fhq Treap 维护即可。时间复杂度 \(\Theta(m\log n)\)。

本题也有使用珂朵莉树的做法。

根号分治

P7811 [JRKSJ R2] 你的名字。

左偏树

P3261 [JLOI2015] 城池攻占

给定一棵 \(n\) 个节点的有根树，根节点为 \(1\)。第 \(i\) 个节点的防御值为 \(h_i\)；有 \(m\) 个攻击者，第 \(i\) 个人初始攻击力为 \(s_i\)，起始攻击节点为 \(c_i\)。

一个节点被攻占，当且仅当攻击者的战斗力不小于节点的防御值；否则我们说攻击者在这个节点牺牲。攻占第 \(i\) 个节点后，攻占者的战斗力会乘以 \(v_i\) 或加上 \(v_i\)，而且会尝试攻占当前节点的父节点，直到牺牲或者攻占 \(1\) 号节点为止。

每个攻击者的攻击是独立的。对于每个节点，输出有多少攻击者在此牺牲；对于每个攻击者，输出他攻占了多少个节点。

\(n\le 3\times 10^5\)。保证任何时候，战斗力都在 C++ long long 范围内。对于乘法的节点，保证是乘以一个正数。

我们 dfs 整棵树。我们将每个节点设置一个小根堆，初始时将 \(c_i=u\) 的节点压到点 \(u\) 的堆里面。

处理每个节点的时候，我们先将不满足条件的攻击者弹掉，顺便统计信息；在根节点上打上 tag，然后将这个节点对应的堆与父节点合并。

为了方便起见可以设置一个不可能被击败的 \(0\) 号节点。认为 \(n,m\) 同阶，我们在 \(\Theta(n\log n)\) 的时间复杂度内解决了问题。

猫树

待补。

Reference

一种神奇的数据结构——猫树 by Jμdge