概率与期望

期望 dp

普通期望 dp

CF1925D Good Trip

有 \(n\) 个同学，\(m\) 对朋友。起初，第 \(i\) 对朋友的友好值为 \(f_i\)，非朋友的友好值为 \(0\)。

执行 \(k\) 次操作：

• 选中两个同学；
• 若他们是朋友，则将他们的友好值加上 \(1\)。

求每次操作前选中同学后选中同学的友好值的期望值之和。

\(n,m\leq 10^5\)，\(k\leq 2\times 10^5\)。

概率期望好题。显然有 \(N=\dfrac{n(n+1)}{2}\) 对同学。

考虑初始值的贡献。 每次选中第 \(i\) 对朋友的概率是 \(\dfrac{1}{N}\)，所以第 \(i\) 对朋友的贡献为 \(\dfrac{kf_i}{N}\)。所以所有朋友初始值的贡献为 \(\dfrac{k\sum f_i}{N}\)。

现在我们可以考虑友好值全为 \(0\) 的问题。每对朋友显然是独立的，可以分开计算。假设选中第 \(i\) 对朋友 \(x\) 次，贡献显然为 \(\frac{x(x-1)}{2}\)（注意贡献是在友好值自增之前计算的）。选中第 \(i\) 对朋友恰好 \(x\) 次的概率显然为 \({k\choose x}\left(\frac{1}{N}\right)^x\left(\frac{N-1}{N}\right)^{k-x}\)，所以我们只需要计算

\[\sum_{x=0}^k {k\choose x}\frac{x(x-1)}{2}\left(\frac{1}{N}\right)^x\left(\frac{N-1}{N}\right)^{k-x} \]

就可以得到第 \(i\) 个朋友的总贡献。注意到每对朋友的贡献相同，于是乘以 \(m\) 即可。

单次复杂度 \(\Theta(k\log p)\)。

P3239 [HNOI2015] 亚瑟王

环上的期望 dp

环上的期望 dp 一般有几种方法：

• 解出环中的一项递推
• Gauss 消元
• cdq 分治

[ABC333F] Bomb Game 2

有 \(n\) 个人排成一行。进行若干次操作，直到只剩下一个人：

• 以 \(\dfrac 12\) 的概率，将第一个人移出队列；

• 以 \(\dfrac 12\) 的概率，把第一个人挪到最后，其余人的位置向前移。

对于每个 \(1 \le i \le n\)，求出第 \(i\) 个人最终在队列中的概率。\(n\leq 3000\)。

CF24D Broken Robot

\(n\) 行 \(m\) 列的矩阵，现在在 \((x,y)\)，每次等概率向左，右，下走或原地不动，但不能走出去，问走到最后一行期望的步数。

\(n,m \leq 10^3\)。

设 \(f[i,j]\) 表示从 \((i,j)\) 走到最后一行的期望步数。

显然我们有

\[f[i,1]=\frac{1}{3}(f[i,1]+f[i,2]+f[i+1,1])+1 \]

\[f[i,m]=\frac{1}{3}(f[i,m-1]+f[i,m]+f[i+1,m])+1 \]

\[\forall j \in (1,n), f[i,j]=\frac{1}{4}(f[i,j]+f[i,j-1]+f[i,j+1]+f[i+1,j])+1 \]

于是我们得到

\[\frac{2}{3}f[i,1]-\frac{1}{3}f[i,2]=\frac{1}{3}f[i+1,1]+1 \]

\[\frac{2}{3}f[i,m]-\frac{1}{3}f[i,m-1]=\frac{1}{3}f[i+1,m]+1 \]

\[\forall j \in (1,n), \frac{3}{4}f[i,j]-\frac{1}{4}f[i,j-1]-\frac{1}{4}f[i,j+1]=\frac{1}{4}f[i+1,j]+1 \]

这是一个有后效性的方程，但是我们可以通过直接 Gauss 消元，得到最优解。

注意到每行只有两三个位置需要相减，故 Gauss 消元的时间复杂度是 \(\Theta(m)\) 的。于是我们就在 \(\Theta (nm)\) 即约平方的复杂度内解决了此题。

初值：\(\forall j\in [1,m], f[n][j]=0\)

答案：\(f[x][y]\)

注意特判 \(m=0\) 的情况。

CF963E Circles of Waiting

一个动点初始在原点处，每次以 \(p_1\) 的概率向左移动一格，\(p_2\) 的概率向下移动一格，\(p_3\) 的概率向右移动一格，\(p_4\) 的概率向上移动一格。求移到距离原点大于 \(r\) 的点的期望步数。

\(r\leq 50\)。

设 \(f[i,j]\) 为从 \((i,j)\) 走到符合条件的点的期望步数。我们显然有

\[f[i,j]=\begin{cases} p_1f[i-1,j]+p_2f[i,j-1]+p_3f[i+1,j]+p_4f[i,j+1]+1 & i^2+j^2\leq r^2 \\ 0 & i^2+j^2\gt r^2 \end{cases} \]

有 \(\Theta(r^2)\) 个点，朴素的 Gauss 消元为 \(\Theta(r^6)\) 无法通过。然而，我们有两种优化。

主元法

对转移方程变形，得到

\[f[i+1,j]=\frac{1}{p_3}\left(f[i,j]-p_1f[i-1,j]-p_2f[i,j-1]-p_4f[i,j+1]-1\right) \]

注意到 \(f[i+1,j]\) 只和其左边的点有关。于是我们选定每一行最左边的离原点距离小于等于 \(r\) 的点作为主元，对每一个点 \((i,j)\)，我们可以由转移方程推出一个向量 \((a_1,a_2,a_3,\cdots,a_{2r+1},b)\)，表示 \(f[i,j]=b+\sum_{i=1}^{2r+1}a_ix_i\)。我们选出 \(2r+1\) 个离远点大于 \(r\) 的点，此时显然有 \(f[i,j]=b+\sum_{i=1}^{2r+1}a_ix_i=0\)。由此可以解出 \(2r+1\) 个主元，然后直接代入 \((0,0)\) 对应的向量求解即可。

时间复杂度 \(\Theta(r^3)\)，可以通过。

P6125 [JSOI2009] 有趣的游戏

给定 \(n\) 个长度为 \(m\) 的字符串 \(P_i\)，字符集 \(|\Sigma|=l\)。

初始时有一个空字符串 \(S\)。每次 以 \(p_i\) 的概率选取字符 \(i\) 加到 \(S\) 的尾部。当存在 \(i\in [1,n]\)，使得 \(P_i\) 是 \(S\) 的子串时停止这个过程，我们称为在 \(i\) 处停止。对于 \(i\in [1,n]\)，求在 \(i\) 处停止的概率。

\(n,m,l\leq 10\)。

建出 \(P_i\) 的 AC 自动机。此时问题转化为：

给定有向图 \(G\)，初始你在 \(0\) 号点处。每条出边有 \(p_i\) 的概率被选取（保证每个节点的出边概率之和为 \(1\)），每次选取一条出边走到下一个节点。有一些关键点，走到关键点后停止。求走到每个关键点的概率。

既然是概率，考虑正推。设 \(f[u]\) 为从起点走到 \(u\) 的概率，初始值为 \(f[s]=1\)。我们有如下的转移：

\[f[v]=\sum_{(u,v,p_i)\in E} p_i\cdot f[u] \]

转移可能成环，Gauss 消元即可。时间复杂度 \(\Theta(n^3m^3)\)，可以通过。

P4457 [BJOI2018] 治疗之雨

待补。

概率生成函数（PGF）

设 \(X\) 为仅取非负整数值的随机变量。定义 \(X\) 的概率生成函数（PGF）为

\[G_X(z)=\sum_{k\geq 0} P(X=k) z^k \]

显然有 \(\sum_{k\geq 0} P(x=k)=1\)，即 \(G_X(1)=1\)。

PGF 与数学期望

\[\begin{aligned} E(X)&=\sum_{k\geq 0} k\cdot P(X=k) \\ &=\sum_{k\geq 0} P(X=k) \cdot 1^{k-1} \\ &= G_X'(1) \end{aligned} \]

进一步有

\[E(X^{\underline{k}})=G_X^{(k)}(1) \]

PGF 与方差

\[\begin{aligned} D(X)&=E(X^2)-E^2(X) \\ &=E(X^{\underline{2}})-E^2(X)+E(X) \\ &=G''(1)-G'^2(1)+G'(1) \end{aligned} \]

我们只需要知道 \(G''(1)\) 和 \(G'^2(1)+G'(1)\) 即可求出方差。

PGF 与卷积

设 \(X,Y\) 为仅取非负整数值的随机变量，且相互独立。那么显然有

\[\begin{aligned} P(X+Y=n)&=P(X=k \land Y=n-k) \\ &=P(X=k)P(Y=n-k) \\ &=\sum_{k=0}^n P(X=k)P(Y=n-k) \end{aligned} \]

显然是一个卷积的形式，所以我们得到了

\[G_{X+Y}(z)=G_X(z)G_Y(z) \]

P3706 [SDOI2017] 硬币游戏

给定 \(n\) 个长度为 \(m\) 的字符串 \(P_i\)，字符集 \(\Sigma=\{\texttt{0},\texttt{1}\}\)。

初始时有一个空字符串 \(S\)。每次等概率随机选取 \(\texttt{0}\) 或 \(\texttt{1}\) 加到 \(S\) 的尾部。当存在 \(i\in [1,n]\)，使得 \(P_i\) 是 \(S\) 的子串时停止这个过程，我们称为在 \(i\) 处停止。对于 \(i\in [1,n]\)，求在 \(i\) 处停止的概率。

\(n,m\leq 300\)。

本题即为 P6125 的加强版。\(\Theta(n^3m^3)\) 只能通过 \(40\%\) 的数据（不能通过 \(60\%\) 的数据的原因是，精度问题）。