线段树的修改

一.单点修改

单点修改就很简单啦，直接递归到叶子节点修改就行

void modify(int k, int l, int r, int x, int v)
{
      if(l == r && l == x)
      {
            tree[l] = x;
            return;
      }
      int mid = (l + r ) >> 1;
      if(x <= mid)
            modify(ls(k), l, mid, x, v);
      else
            modify(rs(k), mid + 1, r ,x ,v);
      tree[k] = tree[ls(k)] + tree[rs(k)];
      return;
}

二.区间修改

有时候我们不止解决单点修改，单点询问，还要解决区间修改，区间询问。

我们如果把一个区间拆分成单点修改最坏情况下，复杂度可以达到\(O(mn\log n）\)还不如朴素算法。

于是，我们引入一种新的方法——延迟标记

1.Lazy_tag（懒标记）

我们在每个节点上维护一个值\(tag[k]\)表示该节点所辖区间里所有的数的值都为\(tag[k]\)同时，我们改变节点的值\(tree[k]\)为\(tag[k] * (l + r - 1)\)。

但是，如果我们不需要继续向下递归，我们就不对下面的子节点进行修改。

例如， 我们将下图中\([2,9]\)的数字都改成\(v\)。就给绿色节点打上标记，表示区间内的数字都为已经改为\(v\)。且区间和为\((l + r - 1) * v\)

2.标记下传

但是， 如果我们要查询他子节点的值该如何呢？

首先， 我们只改变了\(k\)的值。但是，如果我们不继续向下递归，我们\(k\)的孩子节点就不会被改变。

换句话说，在这里，\(k\)的值是修改后的值，但是\(k\)的子节点是没有修改的，但是，因为我们只需要\(k\)的值，所以我们不需要对其孩子的值进行修改。

在我们需要查询其孩子的值时再将\(k\)的标记下传到他的左右儿子，并将其上的标记清零。

每次向下递归都要下传标记！！！，不管你是单点还是区间，查询还是修改，都要下传！因为你要将子节点的值改为正确值才能再次操作。

这里以区间修改为例。

void add(ll k, ll l, ll r, ll v)//改标记
{
	tag[k] += v;
	tree[k] += (r - l + 1) * v;
}

void push_down(ll k, ll l, ll r, ll mid)//标记下传
{
	if(!tag[k])
		return;
	add(ls(k), l, mid, tag[k]);
	add(rs(k), mid + 1, r, tag[k]);
	tag[k] = 0;
}
void change(ll k, ll l, ll r, ll x, ll y, ll v)//区间修改
{
	if(x <= l && r <= y)
	{
		add(k, l, r, v);
		return;
	}
	ll mid = (l + r) >> 1;
	push_down(k, l, r, mid);//每次递归都要下传！！！
	if(x <= mid)
		change(ls(k), l, mid, x, y, v);
	if(y > mid)
		change(rs(k), mid + 1, r, x, y, v);
	tree[k] = tree[ls(k)] + tree[rs(k)];
}

因为我暂时不会标记永久化所以这部分内容之后会补齐。

完结撒花！！！