浅谈欧几里得算法和扩欧
引入
给定两个整数\(a,b\)求\(gcd(a,b)\)别告诉我你不知道\(gcd\)
1.欧几里得算法求最大公约数
利用性质 \(\gcd(a,b)==\gcd(b,a\%b)\)
采用递归或非递归实现
递归版：
int gcd(int x, int y)
{
if(!)
return x;
return gcd(y, x % y);
}
非递归版：
int x, y;
while(y)
{
int r = x % y;
x = y;
y = r;
}//x即为gcd(x, y)
有了\(\gcd\)就可以求出\(\operatorname{lcm}\)别告诉我你不知道\(\operatorname{lcm}\)
利用性质：\(\gcd(x,y)=\dfrac{x \times y}{\operatorname{lcm}(x,y)}\)
证明：记\(\gcd(x,y)=d\),则有\(x=d\times m,\; y=d \times n\;\),故\(\;\operatorname{lcm}(x,y)=mn\;\)
\(\therefore xy=\gcd(x,y) \times \operatorname{lcm}(x,y)\) \(\therefore\gcd(x,y)=\dfrac{x \times y}{\operatorname{lcm}(x,y)}\)
int lcm(int x, int y)
{
return x * y / gcd(x, y);
}
2.扩展欧几里得算法
前置芝士——\(\gcd\)小性质：
若\(a,b\)皆为非\(0\)的任意整数，则\(\gcd(a,b)\)为\(a,b\)的线性集合\(\{ax+by\mid x,y\in Z\}\)的最小正元素（证明太长懒得写）
1.扩欧就能解出满足下列条件的整系数\(x,y\)
\[\gcd(a,b)=ax+by
\]
证明：
\[\because \gcd(a,b)=\gcd(b,a\%b)
\]
\[\therefore ax+by=bx_1+(a\%b)y_1
\]
\[\therefore ax+by=bx_1+[a-(a/b)]y_1
\]
\[\therefore ax+by=ay_1+b[x_1-(a/b)y_1]
\]
\[\therefore x=y_1,\;y=x_1-(a/b)y_1
\]
所以就可以在求\(\gcd(a,b)\)的同时递归求解
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if (!b)
{
x = 1, y = 0;
return a;
}
int d = exgcd(b, a % b, x, y);
int t = x;
x = y;
y = t - a / b * y;
return d;
}
2.求解乘法逆元
乘法逆元，请在另一篇博客阅读
