浅谈乘法逆元
一.啥是逆元
若整数\(b,p\)互质，且\(b\mid a\)，则存在一个整数\(x\),使得\(\dfrac{a}{b}\equiv a\times x\pmod{p}\)。称\(x\)为\(b\)的模\(p\)乘法逆元，记为\(b^{-1}\pmod{p}\)
能不能整点人能看懂的
人能看懂的来了
若\(bx\equiv1\pmod{p}\)，称\(x\)为\(b\)模\(p\)的乘法逆元。前提是\(x,p\)互质，否则无解。
二.逆元砸球
1.费马小定理
若\(p\)为质数，且\(\gcd(a,p)=1\)，那么
\[a^{-1}\equiv1\pmod{p}
\]
读者自证不难
\[\because a^{-1}\equiv1\pmod{p}
\]
\[\therefore a\times a^{-2}\equiv1\pmod{p}
\]
故\(a^{-2}\)是\(a\)在模\(p\)意义下的乘法逆元，所以就可以用快速幂求解
2.扩欧（不知道啥时扩欧的点这里）
这就是扩欧模板了吧。。。
\[bx\equiv1\pmod{p}
\]
等价于方程
\[bx-py=1
\]
直接上模板好吧。
3.线性递推
用于求一连串数字的逆元。P3811
首先有：\(1^{-1}\equiv1\pmod{p}\)
不妨设\(p=k\times i + r(1 < r < i < p)\)
则有
\[k \times i + r \equiv0\pmod{p}
\]
\[\therefore k\times r^{-1} + i^{-1}\equiv0\pmod{p}
\]
\[\therefore i^{-1}\equiv-k\times r^{-1}\pmod{p}
\]
\[\therefore i^{-1}\equiv -\left\lfloor\dfrac{p}{i}\right\rfloor \times (p \mod i)^{-1}\pmod{p}
\]
然后就可以线性时间求出逆元了
inv[1] = 1;
for(int i = 2; i < p; ++ i)
inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;
