KMP算法

 

1.引入

现在有两个字符串\(A\)和\(B\)，求\(B\)是否是\(A\)的子串，如果是，输出第一个匹配的位置\((len_A = n\quad len_B = m)\)

\(A = bacbababaabcbab\)

\(B = ababaca\)

 

朴素算法

对于朴素算法，也就是暴力，我们将\(B\)的每一位于\(A\)进行比较。这里使用两个指针\(i, j\)表示匹配到\(A\)和\(B\)的哪一位。如果\(A[i] == B[j]\quad i,j\),同时加一，如果不相等，则将\(B[1]\)与\(A[i]\)进行比较。如此重复，即可完成。当\(j == m\)时，表示匹配完成，输出\(i - j + 1\)。

但是对于朴素算法,最坏情况下，时间复杂度会达到\(O(mn)\)sb才会这么写。于是，我们KMP的作用就来了！！！！！

让我们热烈欢迎！！！！

 

2.KMP算法概述

KMP算法则是一种时间复杂度十分优秀的算法，即使在最坏情况下，时间复杂度也能达到线性也就是\(O(n)\)。

考虑为什么朴素算法那么慢

当在这种情况时：

\(b\,a\,c\,b\,a\,b\,a\,b\,a\,a\,b\,c\,b\,a\,b\)

\(\qquad \;\,a\,b\,a\,b\,a\, c \,a\)

此时若\(i = 9, j = 5\)会发现\(A[i + 1]\)和\(B[j + 1]\)不匹配，作为朴素算法，会将\(A[6]\)与\(B[1]\)进行比较，但是，我们发现\(A[1-3]\)和\(B[6-9]\)是完全相等的，KMP算法就会将\(B\)后移两位，直接将\(A[10]\)和\(B[4]\)进行比较这样就能大大节省时间。

形式化的讲：

此时\(A[s + 1…s+k]\)和\(B[1…k]\)匹配上了，但是\(A[s+k+1]\)和\(B[k+1]\)不匹配

朴素算法：是将\(A[s+2]\)和\(B[1]\)重新比较。

KMP算法：是寻找一个最大的\(x\)使得\(A[s+1…s+k]\)的后\(x \)个字符和\(B[1…k]\)的前\(x\)个字符匹配。对于这部分，可以不用判断。

更具体的，由于\(A[s + 1…s+k]\)和\(B[1…k]\)匹配上了，即\(A[s + 1…s+k]==B[1…k]\)，那么我们寻找\(x\)的过程，就是寻找一个尽可能大的\(x\)使得\(B\)的前\(x\)个字符等于\(B\)的后\(x\)个字符。我们记\(x=next[k],x<k\)。

对于本文出现的\(B\)串，我们可以构建一个\(next\)数组，\(next[\,]=\{0,0,1,2,3,0,1\}\)，若\(A[s + 1…s+k]==B[1…k]\)且\(A[s+k+1]\neq B[k+1]\)，那么我们将\(A[s+k+1]\)与\(B[next[k]+1]\)进行比较，直到\(A[s+k+1]\)与\(B[next[k]+1]\)相等或\(next[k]==0\)

void KMP()
{
	int j = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		while(j > 0 && B[j + 1] != A[i])
			j = next[j];
		if(B[j + 1] == A[i])
			j++;
		if(j == m)
			j = next[j];//匹配完成，寻找下一处匹配
	}
}

构建\(next\)数组的过程，其实就是模式串自我匹配的过程，代码与KMP过程很像

void getnext()
{
	int k = 0;
	next[1] = 0;
	for(int i = 2; i <= m; i++)
	{
		while(k > 0 && B[k + 1] != B[i])
			k = next[k];
		if(B[k + 1] == B[i])
			k++;
		next[i] = k;			
	}
}

 

 

P3375

P4391

完结撒花！！！

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