Luogu P2674 多边形数 题解

Solution

观察题面给出的表格。首先观察“三角形数”这一行，结合题目描述给出的图，容易发现，每一次后面的数减去前面的数的差都增加了 \(1\)。将差分序列写出来，就是

\[1,2,3,4,5\dots \]

这提示我们或许可以在差分序列上发掘性质。

再将正方形数差分序列写出来：

\[1,3,5,7,9\dots \]

五边形数：

\[1,4,7,10,13 \]

性质已经逐渐浮出水面了：\(n\) 边形数列的第 \(k\) 项就是以 \(n-2\) 为公差的等差数列的前 \(k\) 项的和！

设当前给出的数为 \(n\)。假设 \(n\) 是 \(t\) 边形数，那么一定有 \(n=k\times[1+(k-1)\times(n-2)+1]/2\)，等式右边表示以 \(t-2\) 为公差的等差数列前 \(k\) 项的和。化简一下，得到 \(\frac{2n}{k}+2k-4=(k-1)\times t\)。容易发现，\(k\) 一定是 \(2n\) 的约数，只需再 \(\sqrt{n}\) 的时间内枚举 \(k\)，逐个判断 \(k-1\) 是否整除 \(\frac{2n}{k}+2k-4\)。如果整除，就得到了其中一个答案 \(t=\frac{\frac{2n}{k}+2k-4}{k-1}\)。如果有多个 \(t\) 取最小的两个即可。注意 \(n=1\) 的情况要特判一下，否则可能出现除以 \(0\) 的情况。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int ans[110];
int main()
{
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		int cnt=0;
		int n;
		scanf("%d",&n);
		if(n==1) {puts("3 4");continue;}
		n*=2;
		for(int i=2;i*i<=n;i++)
		{
			if(n%i!=0) continue;
			int k=i,t=n/k+2*k-4;
			if(t%(k-1)==0&&t/(k-1)>2) ans[++cnt]=t/(k-1);
			if(n/i==i) continue;
			k=n/i,t=n/k+2*k-4;
			if(t%(k-1)==0&&t/(k-1)>2) ans[++cnt]=t/(k-1);
		}
		if(!cnt) printf("Poor%d\n",n/2);
		else if(cnt==1) printf("%d\n",ans[1]);
		else
		{
			sort(ans+1,ans+cnt+1);
			printf("%d %d\n",ans[1],ans[2]);
		}
	}
	return 0;
}