Atcoder [ARC165A] Sum equals LCM 题解

Description

给出 \(T\) 组询问，每次询问给出一个正整数 \(n\)，是否存在一个长度大于等于 \(2\) 的正整数数列 \(x_1,x_2,x_3 \dots x_k\)，使得该数列满足满足以下条件：

1. \(x_1+x_2+\dots+x_k=n\)

2. \(\operatorname{lcm}(x_1,x_2,x_3,\dots x_n)=n\)

3. 数列中的元素可以重复，也可以不重复

如果存在，输出 Yes，否则输出 No。

其中 \(T\le100,n\le10^9\)。

Solution

对于第一个条件，显然往数列后面补 \(1\) 即可使数列满足该条件。难点在于第二个条件。

我们知道，如果两个整数 \(x,y\) 满足 \(\gcd(x,y)=1\)，也就是这两个整数互质，那么一定满足 \(\operatorname{lcm}(x,y)=x\times y\)。于是对于整数 \(n\)，如果存在两个互质的因数 \(d_1\)，\(d_2\) 使 \(d_1\times d_2=n\)，将它们写入数列中，此时数列就满足第二个条件了。由于将 \(1\) 写入数列不影响整个数列的最小公倍数，因此只需要向数列后面补 \(1\) 直到数列的和等于 \(n\) 即可使数列同时满足两个条件。于是问题转化为判断 \(n\) 是否存在两个互质的因数 \(d_1\)，\(d_2\) 使 \(d_1\times d_2=n\)。

由唯一分解定理，我们知道 \(n\) 可以被唯一分解成 \(p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}\dots\) 的形式，其中 \(p\) 表示 \(n\) 的质因子。当 \(n\) 的质因子数量为 1 时，对于这个质因子 \(p\)，\(\frac{n}{p}\)显然一定是它的倍数，两个数的最小公倍数是 \(\frac{n}{p}\)，显然不满足第二个条件。但是当 \(n\) 有两个或以上质因数时，就能满足条件了。设 \(p_1\)，\(p_2\) 是 \(n\) 的两个质因数，由于 \(p_1\)，\(p_2\) 互质，\(p_1^{a_1}\) 和 \(p_2^{a_2}\) 显然也互质。它们就是两个互质的因数。如果还存在其它质因子 \(p_3,p_4\dots\) 也没关系，将它们乘到 \(p_2\) 上即可。由于质因数两两之间不存在公因数，所以 \(p_1^{a_1}\) 和 \(p_2^{a_2}p_3^{a_3}p_4^{a_4}\dots\) 也是互质的，它们就是 \(n\) 的两个互质的因数，并且相乘等于 \(n\)。

于是，只要 \(n\) 存在两个或以上质因子即可满足条件。将 \(n\) 分解质因数，如果质因数数量大于等于 2 则输出 Yes，否则输出 No。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool div(int n)
{
	int res=0;
	for(int i=2;i<=n/i;i++)
	{
		if(n%i==0) res++;
		if(res>1) return 1;
		while(n%i==0) n/=i;
	}
	if(n>1) res++;
	if(res>1) return 1;
	return 0;
}
int main()
{
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		int n;
		scanf("%d",&n);
		if(div(n)) puts("Yes");
		else puts("No");
	}
	return 0;
}