牛客练习赛14B 区间的连续段

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题目大意

给定一个长度为 \(N\) 的序列 \(A\) 和一个常数 \(K\)

有 \(M\) 次询问

每次询问查询一个区间 \([L , R]\) 内所有数最少分成多少个连续段

使得每段的和都 \(<= K\) ，若无解则输出 "\(Chtholly\)"

解题思路

简单回忆一下倍增求 \(LCA\) 思想：

• \(f[i][j]\) 表示以 \(i\) 为起点，往上跳 \(i + 2^j\) 步后得到的祖先
• 因为往上跳 \(2^j\) 等价于先往上跳 \(2^{j - 1}\) 步后再往上跳 \(2^{j - 1}\) 步
• 所以可得： \(f[i][j] = f[f[i][j - 1]][j - 1]\)

回到这道题：

暴力的做法即遍历区间 \([l,r]\) ，贪心的让每段的长度尽可能大

考虑用倍增思想优化：

定义 \(f[i][j]\) 表示：

以 \(i\) 为起点，分成 \(2 ^ j\) 个连续段后，所能到达的最远位置的下一个位置（其中每个段的和都不超过 \(K\)）

那么不难得到： \(f[i][j] = f[f[i][j - 1]][j - 1]\) （\(f[i][0]\) 可通过二分前缀和得到

然后对于每个询问 \((L , R)\)：

先判断区间 \([L,R]\) 是否存在 \(A_i\) 使得 \(A_i > K\)

这步我们维护一个权值数组的前缀和 \(O1\) 判断

即当 \(A_i <= K\) 时，\(sum[i] = sum[i - 1]\)

当 \(A_i > K\)时，\(sum[i] = sum[i - 1] + 1\)

当 \(sum[R] - sum[L - 1] > 0\) 则表示该区间存在 \(A_i > K\)，直接输出 \(Chtholly\)

若 \(sum[R] - sum[L - 1] = 0\) 则从高位往低位枚举 \(j\)：

如果 \(f[L][j] > R\) 则表示从 \(L\) 开始划分出 \(2^j\) 个连续段是 \(OK\) 的
但是 \(2^j\) 连续段可能太多了（题目要求划分的连续段个数最少
所以就继续往下枚举

如果 \(f[L][j] < R\)，则表示从 \(L\) 开始划分出 \(2^j\) 个连续段是不够的
那就先划分出 \(2^j\) 个连续段，然后再从 \(f[L][j]\) 的位置继续划分
即 \(ans += 1 << j\) ，\(L = f[L][j]\)

AC_Code

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

int f[N][22];

int n , m , k , a[N] , sum[N];

long long pre[N];

signed main()
{
	cin >> n >> m >> k;
	
	for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
	{
		cin >> a[i] , pre[i] = pre[i - 1] + a[i];
		
		sum[i] = sum[i - 1] + (a[i] > k); 
	}
	for(int j = 0 ; j <= 21 ; j ++) f[n + 1][j] = n + 1;
	
	for(int j = 0 ; j <= 21 ; j ++)
	{
		for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
		{
			f[i][0] = upper_bound(pre + i , pre + 1 + n , k - a[i] + pre[i]) - pre;
			
			if(!j) continue ;
			
			f[i][j] = f[f[i][j - 1]][j - 1]; 
		}
	}
	while(m --)
	{
		int l , r , ans = 0;
		
		cin >> l >> r;
		
		if(sum[r] - sum[l - 1]) 
		{
			cout << "Chtholly\n";
			
			continue ;
		}
		for(int j = 21 ; j >= 0 ; j --)
		{
			if(f[l][j] - 1 < r) 
			{
				ans += 1 << j;
				
				l = f[l][j];
			}
		}
		cout << ans + 1 << '\n';
	}
	return 0;
}