二次剩余
定理1：n(p-1)/2≡±1(mod p)，p是奇素数。
定理2：给出方程 x2≡n(mod p)，其中p是奇素数，则方程有解当且仅当n(p-1)/2≡1(mod p)。
定理3：若方程 x2≡w(mod p)，其中p是奇素数无解，设a满足a2=w+n，则(a+sqrt(w))p+1≡n(mod p)，也即对任意a2>w，则有(a+sqrt(w))p+1≡a2-w(mod p)。
下面开始正文。我们为啥要搞这个二次剩余呢？问题的起源在于，如果我们已知一个 x2≡n(mod p)，我们想知道x对p的模，也即，同余方程两边同时开根号，这能做到吗？
当n不是p的二次剩余时，显然这样的x并不存在，自然无法开根号。但是当n是p的二次剩余时，一定能，而且若n不等于0，则一定有两个x，满足x1+x2≡0(mod p)，均是该二次剩余方程的解。
给出求sqrt(n)的板子，如果不存在返回-1。
1 #include <iostream> 2 #include <ctime> 3 using namespace std; 4 typedef long long ll; 5 #define random(a,b) (rand()%(b-a+1)+a) 6 ll quick_mod(ll a, ll b, ll c){ 7 ll ans = 1; 8 while(b){ 9 if(b%2==1) ans=(ans*a)%c; 10 b/=2; 11 a=(a*a)%c; 12 } 13 return ans; 14 } 15 ll p; 16 ll w;//二次域的D值,使同余方程无解的那个值 17 struct QuadraticField//二次域 18 { 19 ll x, y; 20 QuadraticField operator*(QuadraticField T)//二次域乘法重载 21 { 22 QuadraticField ans; 23 ans.x = (this->x*T.x%p + this->y*T.y%p*w%p) % p; 24 ans.y = (this->x*T.y%p + this->y*T.x%p) % p; 25 return ans; 26 } 27 QuadraticField operator^(ll b)//二次域快速幂 28 { 29 QuadraticField ans; 30 QuadraticField a = *this; 31 ans.x = 1; 32 ans.y = 0; 33 while (b) 34 { 35 if (b & 1) 36 { 37 ans = ans*a; 38 b--; 39 } 40 b /= 2; 41 a = a*a; 42 } 43 return ans; 44 } 45 }; 46 47 ll Legender(ll a)//求勒让德符号 48 { 49 ll ans=quick_mod(a, (p - 1) / 2, p); 50 if (ans + 1 == p)//如果ans的值为-1，%p之后会变成p-1。 51 return -1; 52 else 53 return ans; 54 } 55 56 ll Getw(ll n, ll a)//根据随机出来a的值确定对应w的值 57 { 58 return ((a*a - n) % p + p) % p;//防爆处理 59 } 60 61 ll Solve(ll n)//没有解返回-1 62 { 63 ll a; 64 if (p == 2)//当p为2的时候，n只会是0或1，然后0和1就是对应的解 65 return n; 66 if (Legender(n) == -1)//无解 67 return -1; 68 srand((unsigned)time(NULL)); 69 while (1)//随机a的值直到有解 70 { 71 a = random(0, p - 1); 72 w = Getw(n, a); 73 if (Legender(w) == -1) 74 break; 75 } 76 QuadraticField ans,res; 77 res.x = a; 78 res.y = 1;//res的值就是a+根号w 79 ans = res ^ ((p + 1) / 2); 80 return ans.x; 81 } 82 83 int main() 84 { 85 ll n,ans1,ans2; 86 while (scanf("%lld%lld",&n,&p)!=EOF) 87 { 88 n %= p; 89 ans1 = Solve(n); 90 ans2 = p - ans1;//一组解的和是p 91 } 92 }
