Kruskal算法正确性证明

Kruskal算法：

　　步骤1，选择边e1，使得权值w(e1)尽可能小；

　　步骤2，若已选定边e1,e2,...,ei，则从E\{e1,e2,...,ei}选取e(i+1),使得

　　　　（1）G[{e1,e2,...,e(i+1)}]为无圈图

　　　　（2）权值w(e(i+1))是满足（1）的尽可能小的权；

　　步骤3，当步骤2不能继续执行时停止。

 

证明：由Kruskal算法构成的任何生成树T*=G[{e1,e2,...,e(n-1)}]都是最下生成树，这里n为赋权图G的顶点数。（个人理解：因为局部最优，取尽可能小的权，不代表全局最小，因此正确性还是要证明的吧）

使用反证法，1、有kruskal算法构成的生成树T*和异于T*的生成树T，这两种生成树。

　　　　　　2、定义函数f(T)表示不在T中的最小权值i的边ei。假设T*不是最小树，T真正的最小树，显然T会使f（T）尽可能大的，即T本身权重则会尽可能小，。

　　　　　　3、设f(T)=k,表示存在一个不在T中的最小权值边ek=k，也就是说e1,e2,...e(k-1)同时在T和T*中，ek=k不在T中

　　　　　　4、T+ek包含唯一圈C。设ek ' 是C的一条边，他在T中而不在T*中。（想象圈C中至少有ek 和ek ' ，其中ek是又Kruskal算法得出的最小权边）　

　　　　　　5、令T ' =W(T)+w(ei)-w(ei ' )，kruskal算法选出的是最小权边ek，（而ek'是T自己根据f(T)选出来的边）有w(ek ' )>=w(ek) 且W（T ' ）=W（T*）（T ' 也是一个最小生成树）

　　　　　　6、但是f(T ' )>k= f(T)，即T没有做到使得f(T)尽可能大，不再是真正的最小树，所以T=T*,从而T*确实是一棵最小数。