《微分几何讲义(陈省身)》读书笔记 第三章 外微分
第三章 外微分
§1 张量丛
Note:下文中讨论的“纤维丛”是积流形的推广。微分几何中研究的是一类特殊的纤维丛——矢量丛。下面首先讨论具体的张量丛,再讨论一般的矢量丛。
mm 维光滑流形 MM 的每一点 pp 处有一对对偶空间——切空间 TpTp 和余切空间 T∗pT∗p ,因此有相应的张量空间
令
下面为这个空间赋予光滑流形的结构。
首先,需要为其赋予拓扑,使其成为第二可数的Hausdorff空间。任意取定一个 mm 维向量空间 VV 和其对偶空间 V∗V∗,其基和对偶基为 {e1,⋯,em},{e∗1,⋯,e∗m}{e1,⋯,em},{e∗1,⋯,e∗m} ,那么张量空间 VrsVrs 有基
取定 MM 的在点 pp 处的局部坐标系 (U;ui)(U;ui) ,Tp,T∗pTp,T∗p 有相应的自然基
那么张量空间 Trs(p)Trs(p) 有基
可以定义映射
使得任意 p∈U,y∈Vrsp∈U,y∈Vrs ,都有 φU(p,y)∈Trs(p)φU(p,y)∈Trs(p) ,且 φU(p,y)φU(p,y) 与 yy 在各自的基下的分量对于相等。那么 φUφU 是双射。取 MM 的坐标覆盖 {U,⋯}{U,⋯} 和相应的映射 {φU,⋯}{φU,⋯} ,将每一个 U×VrsU×Vrs 的开集[1]在 φUφU 下的像取作 TrsTrs 的拓扑基,那么 TrsTrs 就成为第二可数的Hausdorff空间,诸 φUφU 就是同胚。
Note:首先要验证这确实是拓扑基(即验证:任意两个基元素 B1,B2B1,B2 ,都存在一个基元素 BB ,使得 B⊂B1∩B2B⊂B1∩B2 )。一个局部坐标系之内的是显然的。两个有交的局部坐标系 U,WU,W 之间,有
φU(U)∩φW(W)=(⋃p∈UTrs(p))∩(⋃p∈WTrs(p))=⋃p∈U∩WTrs(p)=φU(U∩W)=φW(U∩W)因此定义是合理的。借助诸同胚 φU 可以证明 Trs 是第二可数的Hausdorff空间。
下面为其赋予光滑的微分结构,关键是基于 M 的坐标变换构造 Trs 的光滑的坐标变换。 Trs 的各坐标卡同构于各个 U×Vrs 。对于 U×Vrs 和 W×Vrs ,U,W 之间已经有坐标变换,只需构造 Vrs 的光滑自同构。
对于固定的点 p∈U ,可以定义映射 φU,p:Vrs→Trs(p) 为 φU,p(y)=φU(p,y) ,那么这是 Vrs 与 Trs(p) 的线性同构。对于另一个局部坐标系 (W;wi) ,令坐标变换
是 Vrs 的线性自同构(将其视作线性自同构群 GL(Vrs) 的元素,并记为右作用),那么
下面证明 gUW:U∩W→GL(Vrs) 是光滑的。
在 U∩W 上有自然基的坐标变换(这里省略了指明点 p)
那么 Trs 在两组基下的系数满足变换关系
记 JUW=(∂wj∂ui) 是局部坐标变换的Jacobi矩阵,那么将上式与 y′=y⋅gUW(p) 比较,得到
由于 JUW 作为 M 的坐标变换是光滑的,则 gUW 是光滑的。
回到 Trs 上,其局部坐标系 φU(U×Vrs) 内点 φU(p,y) 的局部坐标为
其与局部坐标系 φW(W×Vrs) 之间的坐标变换是
这给出了 Trs 的光滑微分结构。
[Def 1.0] 光滑流形 Trs 称为流形 M 上的 (r,s) 型张量丛,Trs(p) 称为丛 Trs 在点 p 上的纤维,光滑的投影映射π:Trs→M 将 Trs(p) 的元素映为点 p ,称为丛投影。
当 r=1,s=0 时,得到 M 上的切丛 T(M) ;当 r=0,s=1 时,得到 M 上的余切丛 T∗(M) 。按照张量丛的构造方法,可以构造 M 上的外 r 次矢量丛 Λr(M)=⋃Λr(Tp) 和 r 次外形式丛 Λr(M∗)=⋃Λr(T∗p) 。
设 f:M→Trs 是光滑映射。若 π∘f=idM ,即任意 p∈M ,有 f(p)∈Trs(p) ,则称 f 是张量丛 Trs 的一个光滑截面,或者称为称为 M 上的一个 (r,s) 型光滑张量场。切丛的截面就是 M 的切矢量场,余切丛的截面称为 M 上的一次微分式。[2] r 次外形式丛 Λr(M∗) 的光滑截面称为 M 上的光滑的 r 次外微分式。
Note:将张量丛的构造抽象化就得到一般的矢量丛的概念。它与下一章讨论的联络是规范场论的数学基础。
[Def 1.1] E,M 是两个光滑流形,π:E→M 是光滑满射。V 是 q 维向量空间[3]。如果给定了 M 的开覆盖 {U,W,⋯} 和一组映射 {φU,φW,⋯} 满足:
(1)每一个映射 φU 是 U×V 到 π−1(U) 的可微同胚,且任意 p∈U,y∈V ,都有 π∘φU(p,y)=p ;
(2)固定 p∈U ,映射 φU,p:V→π−1(U) , y↦φU(p,y) 是同胚。
对于 U∩W≠∅ ,对于任意 p∈U∩W ,映射 gUW(p)=φ−1W,p∘φU,p 是 V 的线性自同构。
(3)对于 U∩W≠∅ ,映射 gUW:U∩W→GL(V) 是光滑的。
则称 (E,M,π) 是流形 M 上的(实) q 维矢量丛,其中 E 称为丛空间, M 称为底空间, π 称为丛投影,V 称为纤维型。Ep=π−1(p) 称为矢量丛 E 在 p 点上的纤维。
条件(3)给出的映射 gUW:U∩W→GL(V) 满足如下的相容条件:
(1)对于 p∈U ,有 gUW(p)=idV 。
(2)对于 p∈U∩W∩Z ,有 gUW(p)⋅gWZ(p)⋅gZU(p)=idV 。
{gUW} 称为矢量丛的过渡函数族。下面证明,如果一族函数满足如上的相容条件,就能以此构造出纤维丛。
[Theo 1.1] m 维光滑流形 M ,{Uα}α∈A 是 M 的开覆盖,V 是 q 维向量空间。如果给出一族光滑映射
满足前文的相容条件,则存在 M 上的 q 维矢量丛 (E,M,π) 以 {gUW} 为过渡函数族。
Proof:以下给出证明的概要。想法是将诸 Uα×V 沿着纤维适当地粘起来。首先定义
˜E=⋃α∈A{α}×Uα×V其上有自然的微分结构。在 ˜E 上定义等价关系 ∼ :(α,p,y)∼(β,p′,y′) 当且仅当 p=p′∈Uα∩Uβ ,而 y′=y⋅gαβ(p) 。商空间 E=˜E/∼ 上也有自然的光滑微分结构。定义投影:
π:E→M , [a,p,y]↦p这是光滑映射,则 (E,M,π) 是所求的光滑流形。
以下给出一些矢量丛的例子。
[Eg 1.1] 对偶丛
矢量丛 E 的对偶丛 E∗ 是以 V∗ 为纤维型的矢量丛,丛投影记作 π∗ 。与 E∗ 相应的 {(U,ψU),(W,ψW)⋯} 满足条件:对于 p∈U∩W ,若 y,y′∈V 和 λ,λ′∈V∗ 满足 φU(p,y)=φW(p,y′),ψU(p,λ)=ψW(p,λ′) ,则 ⟨y,λ⟩=⟨y′,λ′⟩ 。这样就可以在纤维 π−1(p) 和 π∗−1(p) 之间定义配合
这个配合与局部坐标系 U 无关。这样就完全描述了对偶丛 E∗ 。
从矩阵的视角,用矩阵乘法记 ⟨y,λ⟩=y⋅λ ,则 y⋅λ=y′⋅λ′ 意味着
即 λ=gUW(p)⋅λ′ 。令 hUW=(g−1UW)t [4],则 λ′=λ⋅hUW(p) ,则 {hUW} 是对偶丛的过渡函数族。这从另一角度完全描述了对偶丛 E∗ 。
切从的对偶丛就是余切丛。
[Eg 1.2] 矢量丛的直和和张量积
矢量丛 E,E′ 的纤维型分别是 V,V′ ,过渡函数族分别是 {gUW},{g′UW} 。
令(这里的 0 表示零矩阵)V⊕V′ 的自同构
以 V⊕V′ 为纤维型,{hUW} 为过渡函数族的矢量丛称为矢量丛 E,E′ 的直和,记作 E⊕E′ 。
令 ˜hUW=gUW⊗g′UW ,其作用在 V⊗V′ 上为 (v⊗v′)⋅˜hUW=(v⋅gUW)⊗(v′⋅g′UW) ,那么以此为过渡函数族,以 V⊗V′ 为纤维型的的矢量丛称为矢量丛 E,E′ 的张量积,记作 E⊗E′ 。在这个意义下,张量丛就是相应数量的切丛和余切丛的张量积。
[Theo 1.2] 光滑映射 s:M→E ,若 π∘s=idM ,则称 s 是矢量丛 (E,M,π) 的一个光滑截面。矢量丛 E 的全体光滑截面的集合记作 Γ(E) ,这是一个(实)向量空间。
对于 s1,s2,s∈Γ(E) 和 α∈C∞(M) ,逐点地定义加法和数乘。对于每一个 p∈M ,
那么 Γ(E) 就成为一个 C∞(M)−模。
Note:矢量丛 E 的光滑截面并不能比较任意地定义。例如,矢量丛 E 的处处非零的光滑截面是不一定存在的,此类截面的存在性体现了流形 M 的一定的拓扑性质。
§2 外微分
m 维光滑流形 M 的 r 次外形式丛 Λr(M∗) 的光滑截面空间记作 Ar(M)=Γ(Λr(M∗)) ,Ar(M) 的元素称为称为 M 上的 r 次外微分式。从总体而言,外形式从 Λ(M∗) 的光滑截面空间记作 A(M) ,其元素称为 M 上的外微分式。 A(M) 上继承了外积运算,对于 ω1,ω2∈A(M),p∈M ,令 ω1∧ω2(p)=ω1(p)∧ω2(p) ,这就赋予了 A(M) 代数结构。
在局部坐标系 (U;ui) 下,ω∈Ar(M) 可以表示为
其中的系数 ai1⋯ir 是 U 上的光滑函数,且关于下标是反对称的,利用 Λr(M) 和 Λr(M∗) 的配合表示为
外微分式空间 A(M) 上最重要的是外微分运算 d ,其有一个重要性质——作用两次为零。
[Theo/Def 2.1] 在 A(M) 存在唯一一个映射 d:A(M)→A(M) ,满足如下条件:
(1)次数性质:d(Ar(M))⊂Ar+1(M) 。
(2)线性性质:d(ω1+ω2)=dω1+dω2 。
(3)外积性质:d(ω1∧ω2)=dω1∧ω2+(−1)rω1∧dω2 ,其中 ω1∈Ar(M) 。
(4)函数微分性质:对于 f∈C∞(M)=A0(M) ,df 就是 f 的微分。
(5)平方为零性质:若 f∈A0(M) ,则 d(df)=0 。
这样定义的映射 d 称为外微分。
Proof:假设 d 存在,以下证明其唯一。
首先证明 d 是局部的,即如果 ω1,ω2 限制在开集 U 上相等,那么 dω1,dω2 限制在 U 上也相等(这是一个很强的条件)。利用条件(2),只需证明,若 ω|U=0 ,则 (dω)|U=0 。利用流形的局部紧致性,对于 p∈U,存在 p 的开邻域 W 使得 ¯W 是紧致的且 ¯W⊂U 。利用 第一章[Lem 3.3] ,存在 M 上的光滑函数 h 使得h(q)={1q∈W0q∉U这样,hω∈A(M) ,且 hω≡0 。因此利用条件(4),有 0=d(hω)=dh∧ω+h∧dω ,限制到 W 上得到 (dω)|W=0 。由于 p 的任意性,得 (dω)|U=0 。
利用条件(2),只需对单项式定义 d 。局部性说明只需在每一个局部坐标系中定义 d ,那么就在整个 M 上完全确定了 d 。在局部坐标系 (U;ui) 中,设外微分式 ω∈Ar(M) 的坐标表示为ω=adu1∧⋯∧dur利用条件(5),d(dui)=0 ,因此利用条件(3),得到
dω=da∧du1∧⋯∧dur这就完全定义了 d 。因此 d 是唯一的。
下面证明其存在性,即给出一个构造。首先局部构造。对于 ω∈Ar(M) ,在局部坐标系 (U;ui) 下表示为
ω|U=ai1⋯irdui1∧⋯∧duir定义
d(ω|U)=dai1⋯ir∧dui1∧⋯∧duir易见这个定义满足条件(1)(2)(4)。对于条件(3),只需对两个单项式验证。对于
α=adui1∧⋯∧duir , β=bduj1∧⋯∧dujs它们外积的微分
d(α∧β)=(adb+bda)∧dui1∧⋯∧duir∧duj1∧⋯∧dujs=adb∧dui1∧⋯∧duir∧duj1∧⋯∧dujs +bda∧dui1∧⋯∧duir∧duj1∧⋯∧dujs=(−1)rα∧dβ+dα∧β(−1)r 是因为 db 经过了 r 次交换。对于条件(5),光滑函数 f 限制在 U 上,其微分表示为
df=∂f∂uidui由于 f 光滑,则 f 的高阶偏导数不计次序,即
∂2f∂ui∂uj=∂2f∂uj∂ui于是微分两次后
d(df)=d(∂f∂uidui)=d(∂f∂ui)∧dui=∂2f∂ui∂ujduj∧dui=12(∂2f∂ui∂uj−∂2f∂uj∂ui)duj∧dui=0这样就局部构造了 d 。根据其局部性,其在整个 M 上都是良好定义的。
[Theo 2.2] (Poincaré引理)d2=0 ,即对任意的外微分式 ω ,d(dω)=0 。
Proof:由于 d 的线性,只需对单项式验证。对于 ω=adu1∧⋯∧dur ,利用条件(3)(5):
d(dω)=d(da∧du1∧⋯∧dur)=d(dα)∧du1∧⋯∧dur−da∧d(du1)∧⋯∧dur+⋯=0
[Eg 2.1] 记 R3 的坐标系为 (x,y,z)
(1)对于其上的光滑函数 f ,其微分
的系数构成矢量 (∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z) ,即是 f 的梯度。
(2)对于一次微分式 α=Adx+Bdy+Cdz ,其微分
的系数构成矢量 (∂C∂y−∂B∂z,∂A∂z−∂C∂x,∂B∂x−∂A∂y) ,即是矢量场 (A,B,C) 的旋度。
(3)对于二次外微分式 α=Ady∧dz+Bdz∧dx+Cdx∧dy ,其微分
的系数 ∂A∂x+∂B∂y+∂C∂z 即是矢量场 (A,B,C) 的散度。
由Poincaré引理,可以自然地得出场论的公式:梯度场无旋,散度场无源。
光滑映射 f:M→N 诱导出外微分式空间的线性映射 f∗:A(N)→A(M) 。具体而言,f 在每一点 p 处诱导出切映射 f∗:Tp→Tf(p) ,继而在每一次外微分式空间中,映射 f∗:Ar(N)→Ar(M) 表现为
若 ω∈A0(N) ,令 f∗ω=ω∘f∈A0(M) 。
根据 第二章[Theo 3.2] ,f∗ 保外积,即 f∗(φ∧ψ)=f∗φ∧f∗ψ 。下面证明 f∗ 与微分算子 d “交换”。
[Theo 2.3] 光滑映射 f:M→N 诱导出外微分式空间的线性映射 f∗:A(N)→A(M) ,那么(前后的 d 分别是 A(N),A(M) 上的算子) f∗∘d=d∘f∗ 。
Proof:由于 f∗ 和 d 都是线性的算子,因此只需考虑单项式。对微分式的次数归纳。r=0 时,对于 ω∈A0(N) ,和任意光滑切矢量场 X ,有:
(f∗(dω))(X)=dω(f∗X)=⟨f∗X,ω⟩=⟨X,ω∘f⟩=(d(f∗ω))(X)r=1 时,,对于 ω=adu(其中 a,u 是 N 上的光滑函数)有:
f∗(dω)=f∗(da∧du)=f∗(da)∧f∗(du)=d(f∗a)∧d(f∗u)=d(f∗ω)若 <r 时成立,r 时,对于 ω=α∧β ,其中 α∈A1(N),β∈Ar−1(N) ,有:
d(f∗ω)=d(f∗α∧f∗β)=d(f∗α)∧f∗β−f∗α∧d(f∗β)=f∗(dα∧β)−f∗(α∧dβ)=f∗(dω)由数学归纳法得证。
Note:以下给出基于外微分表述的Frobenius条件的对偶形式。
[Theo 2.4] 对于一次微分式 ω ,和光滑切矢量场 X,Y ,有[5]
Proof:由于两边对 ω 有线性,只需验证单项式 ω=gdf 。dω=dg∧df ,根据外积的定义,带入原式:
dω(X,Y)=dg∧df(X,Y)=det(⟨X,dg⟩⟨X,df⟩⟨Y,dg⟩⟨Y,df⟩)=Xg⋅Yf−Xf⋅Yg右边,利用算子的性质,X⟨Y,ω⟩=X(g⋅Yf)=Xg⋅Yf+g⋅X(Yf) ,因此
X⟨Y,ω⟩−Y⟨X,ω⟩−⟨[X,Y],ω⟩=Xg⋅Yf+g⋅X(Yf)−Yg⋅Xf−g⋅Y(Xf)−g⋅(XY−YX)f=Xg⋅Yf−Xf⋅Yg因此二者相等。
(以下的讨论局限在某一点附近)对于 r 维分布 Lr={X1,⋯,Xr} ,在点 p 处 Lr(p) 是 Tp 的 r 维线性子空间,定义其零化子
这是 T∗p 的 m−r 维线性子空间,它有一组基 {ωr+1,⋯,ωm} 。因此,在 p 附近, Lr 是由方程组
定义的。这称为Pfaff方程组(即 m−r 个线性无关的一次微分方程)。
Frobenius条件是:每一对 1⩽α,β⩽r 都有 [Xα,Xβ]∈Lr 。利用 [Theo 2.4] ,
因此Frobenius条件等价于 dωs(Xα,Xβ)=0 。{X1,⋯,Xr} 的对偶基 {ω1,⋯,ωr} 与 {ωr+1,⋯,ωm} 共同组成了 T∗p 的基,dωs 在基 {ω1,⋯,ωm} 下表示为
其中 ψts 是一次微分式,aαβs 是关于上标反对称的光滑函数。将其带入 dωs(Xα,Xβ)=0 得 aαβs=0 。因此
或者记作 dωs≡0 (mod (ωr+1,⋯,ωm))。这称为Pfaff方程组所适合的Frobenius条件。
如果存在一个局部坐标 ui 使得由方程
定义的子流形满足Pfaff方程组,则称该Pfaff方程组是完全可积的。此时该Pfaff方程组等价于
而这等价于
因此 第一章[Theo 4.4] 等价于如下的定理(利用 第二章[Theo 3.5]):
[Theo 2.5] Pfaff方程组 ωα=0 , 1⩽α⩽r 完全可积的充要条件是 dωα≡0 (mod (ω1,⋯,ωr)) ,换言之就是 dωα∧ω1∧⋯∧ωr=0 。
这里讨论的Frobenius条件是一个局部条件,将其联系到整体上,要利用下一节讨论的积分。
§3 外微分式的积分
[Def 3.1] 如果 m 维光滑流形 M 上存在一个处处非零的连续的 m 次外微分式 ω ,则称 M 是可定向的, ω 称为 M 的定向。
两个定向 ω,ω′ 之间相差一个连续函数 f ,即 ω′=fω 。这个 f 要么处处为正,此时称 ω′ 规定了与 ω 相同的定向;要么处处为负,称 ω′ 规定了与 ω 相反的定向(即与 −ω 相同的定向)。
对于局部坐标系 (U;ui) ,外微分式 du1∧⋯∧dum 给定了 U 的定向;如果其与 ω|U 同向,则称 (U;ui) 是与 M 的定向相符的坐标系。给定了定向的 M 显然可取定向相符的坐标系,两个相交的定向相符的坐标系之间的坐标变换的Jacobi矩阵的行列式处处为正。反之,如果给定了一族坐标卡,使得所有的坐标变换的Jacobi矩阵的行列式处处为正,那么 M 可定向。下面来证明这一点。
[Def 3.2] 对于 φ∈A(M) ,定义它的支集为
特别的,光滑函数 f 的支集其非零值点集的闭包。
[Def 3.2] Σ 是 M 的一个开覆盖。如果 M 的任意一个紧致子集至多与有限个 Σ 的元素相交,则称 Σ 是一个局部有限开覆盖。
[Lem 3.1] 设 Σ 是流形 M 的一个拓扑基,则存在 Σ 的子集 Σ0 是 M 的局部有限开覆盖。
Proof:流形 M 是第二可数且局部紧致的。取可数开覆盖 {Ui} 使得 ¯Ui 紧致,令
Pi=i⋃r=1¯Ur则 Pi 是紧致的,Pi⊂Pi+1 ,且 ⋃Pi=M 。下面构造一组紧致集 Qi 使得 Pi⊂Qi ,且 Qi⊂˚Qi+1 (这里的 ˚Qi+1 表示 Qi+1 的内部,即最大的开集 W⊂Qi+1)。
令 Q1=P1 。归纳地,若定义了 Q1,⋯,Qi ,因为 Qi∪Pi+1 是紧致的,则可用有限个 Uα 将其覆盖。设其中最大的下标为 s ,令Qi+1=s⋃α=1¯Uα则 Pi+1⊂Qi+1 ,且 Qi⊂⋃Uα⊂˚Qi+1 。这样构造的诸 Qi 满足 ⋃Pi=M 。
记 Q−1=Q0=∅ ,定义Li=Qi−˚Qi−1 , Ki=˚Qi+1−Qi−1则 Li 是紧致集,Ki 是开集,且 Li∈Ki 。因为 Σ 是拓扑基,对于每一个 i ,由于 Li 是紧致的,则可取有限个基元素 V(i)α 使
Li⊂⋃V(i)α⊂Ki所有这些 V(i)α 构成的集合 Σ0 是 M 的开覆盖。
下面证明 Σ0 是局部有限的。对于任意紧致子集 A ,存在充分大的整数 i 使得 A⊂Pi⊂Qi ,当 k⩾i+2 时,Kk∩Qi=∅ ,则 A∩V(k)α⊂Qi∩Kk=∅ 。因此 A 只与有限个 Σ0 的元素相交。
[Theo 3.2] (单位分解定理)Σ 是光滑流形 M 的开覆盖,则存在一族光滑函数 {gα:M→[0,1]} ,满足
(1)每一个 gα ,支集 supp gα 是紧致的,且存在开集 Wi∈Σ ,使得 supp gα⊂Wi 。
(2)每一点 p∈M ,存在邻域 U 使得其仅与有限个支集 supp gα 相交。
(3)∑gα=1 。(由于条件(2),这个和在每一点处都是有限和,因此总是有意义)
这一族 {gα} 称为从属于 Σ 的单位分解。
Proof:因为 M 是流形,所以存在 M 的拓扑基 Σ0={Ui} ,使得 Ui 是坐标域,¯Ui 是紧致的,并且存在 Wα∈Σ 使得 ¯Ui⊂Wα 。利用 [Lem 3.1] ,可以取 Σ0 的子集 Σ1 使得其是可数的局部有限开覆盖。可以逐个地“收缩” Σ1={Uα} 的元素,得到开覆盖 {Vα} ,使得 ¯Vα⊂Uα 。
具体而言,令 Wα=⋃i≠αUi ,则 M−W 是包含在 Uα 内的闭集。因为 ¯Uα 是紧致的,因此 M−W 是紧致的,故存在有限个坐标域 Sj 使得每一个 ¯Sj⊂Uα ,且 M−W⊂⋃Sj 。令 Vα=⋃Sj 即可。
根据 第一章[Lem 3.3] ,存在光滑函数 hα:M→[0,1] 使得
hα(p)={1p∈Vα0p∉Uα显然 supp hα⊂¯Uα 。由于 Σ1 的局部紧致性,对于每一点 p 取其邻域 U ,¯U 仅与有限个 Σ1 的元素相交,因此在这一点如下的和是有限和
h(p)=∑αhα(p)这样定义的 h:M→R 是光滑函数。由于 p 必然落在某个 Vα 内,则 h⩾1 。定义 gα=hα/h ,则这一族 {gα} 满足要求。
有了单位分解,就可以定义外微分式的积分。可定向的 m 维光滑流形 M ,对于其上的有紧致支集的 m 次外微分式 φ ,任取一个定向相符的坐标覆盖 {Wi} 和其从属的单位分解 {gα} ,则
显然 supp φ⋅gα⊂supp gα⊂Wi ,可以定义
等式右边的积分是 Rm 上的Riemann积分,即利用 Wi 的局部坐标 {ui} ,有表示
则右端的积分就是 m 重积分 ∫Wif(u1,⋯,um)du1∧⋯∧dum 。更换局部坐标系相当于积分换元,而对于另一个单位分解 {g′β} ,有
因此如上的定义与坐标覆盖和单位分解的选取无关,因而是良好定义的。
[Def 3.4] 可定向的 m 维光滑流形 M ,φ 是 M 上有紧致支集的 m 次外微分式,由
定义的数值 ∫Mφ 称为外微分式 φ 的在 M 上的积分。显然,积分 ∫M 是 Am(M) 上的线性函数。
若 r<m ,对于有紧致支集的 r 次外微分式 φ ,可以定义其在 M 的 r 维子流形上的积分。指定 r 维嵌入子流形 N 和嵌入 h:N→M ,则 h∗φ 是 N 上的 r 次外微分式,定义
§4. Stokes公式
[Def 4.1] m 维光滑流形 M ,其中的带边区域 D 是 M 的一个子集,其中的点分为两类:
(1)内点:该点存在一个邻域包含在 D 内。
(2)边界点:该点 p 有一个局部坐标系 (U;ui) ,使得 p 是原点,且 U∩D={q∈U|um(q)⩾0} 。这样的坐标系 (U;ui) 称为 p 点的适用坐标系。所有边界点的集合称为 D 的边界,记作 B 。
[Theo 4.1] 带边区域 D 的边界 B 是 M 的闭子流形。如果 M 可定向,则 B 可定向。
Proof:边界 B 显然是闭集。取 p 点的适用坐标系 (U;ui) ,则
U∩B={q∈U|um(q)=0}根据 第一章[Eg 3.2] 所定义的,B 是 M 的闭子流形。
若 M 可定向,取 p 点的定向相符的适用坐标系 (U;ui) ,那么 (−1)mdu1∧⋯∧dum−1 给出了 B∩U 的定向。下证这个定向在不同坐标系之间是相容的。取另一个 p 点的定向相符的适用坐标系 (V;vi) ,则∂(u1,⋯,um)∂(v1,⋯,vm)>0设 vm=fm(u1,⋯,um) ,则对任意固定的 u1,⋯,um−1 ,vm 与 um 同号,因此在 p 点处 ∂um∂vm>0 。则
∂(u1,⋯,um−1)∂(v1,⋯,vm−1)>0即 (−1)mdu1∧⋯∧dum−1 与 (−1)mdv1∧⋯∧dvm−1 给出了 B∩U∩V 的相同的定向。因此 B 是可定向的。
如此定向的边界 B 记作 ∂D 。
[Theo 4.2] (Stokes公式)设 D 是 m 维定向流形 M 中的带边区域,ω 是 M 上的有紧致支集的 m−1 次外微分式,则(若 ∂D=∅ 则规定右侧的积分为零)
Proof:取一个定向相符的坐标覆盖 {Ui} 和其从属的单位分解 {gα} ,只需对于每一个 α 证明
∫Dd(gα⋅ω)=∫∂Dgα⋅ω不妨假设 supp ω 包含在一个定向相符的局部坐标系 (U;ui) 内。设 ω 表为
ω=m∑j=1(−1)j−1ajdu1∧⋯∧duj−1∧duj+1∧⋯∧dum其中 aj 是 U 上的光滑函数,则
dω=m∑j=1∂aj∂ujdu1∧⋯∧dum(1)若 U∩∂D=∅ ,则右侧的积分为零。U 要么与 D 不交,要么包含在 D 内。对于前者,左侧的积分显然为零;对于后者,左侧的积分为
∫Ddω=m∑j=1∫U∂aj∂ujdu1⋯dum考虑一个包含 U 的方体 C={(ui)||ui|⩽K,1⩽i⩽m} ,将 aj 的定义域扩展到 C 上使得 aj 在 C−U 上为零,则 aj 在 C 上的光滑函数。因此
∫U∂aj∂ujdu1⋯dum=∫C∂aj∂ujdu1⋯dum=∫|ui|⩽Ki≠j(∫K−K∂aj∂ujduj)du1⋯duj−1duj+1⋯dum其中的(注意到积分的两个端点都在 U 外)
∫K−K∂aj∂ujduj=aj(u1,⋯,K,⋯,um)−aj(u1,⋯,−K,⋯,um)=0因此左侧的积分为零。
(2)若 U∩∂D≠∅ ,不妨设 (U;ui) 是适用坐标系,即U∩D={q∈U|um(q)⩾0}U∩∂D={q∈U|um(q)=0}取方体 C={(ui)||ui|⩽K,1⩽i⩽m−1;0⩽um⩽K} ,使其包含 U∩D ,同样扩展 aj 的定义域,则右侧的积分为
∫∂Dω=m∑j=1(−1)j−1∫U∩∂Dajdu1∧⋯∧duj−1∧duj+1∧⋯∧dum=(−1)m−1∫U∩∂Damdu1∧⋯∧dum−1=−∫|ui|⩽K1⩽i⩽m−1am(u1,⋯,um−1,0)du1⋯dum−1第二步是因为在 U∩∂D 上 dum=0 ,第三步考虑了 ∂D 的定向。
左侧的积分为∫Ddω=m∑j=1∫U∩D∂aj∂ujdu1∧⋯∧dum=∫U∩D∂am∂umdu1∧⋯∧dum=∫|ui|⩽K1⩽i⩽m−1(∫K0∂am∂umdm)du1⋯dum−1=−∫|ui|⩽K1⩽i⩽m−1am(u1,⋯,um−1,0)du1⋯dum−1第二个等号根据(1)得出的,第四个等号是因为括号内积分的右端点在 U 外。
综上(1)(2)得证。
Note:实际应用时,带边区域 D 往往是紧致的,因此无需假定外微分式有紧致支集,公式仍然成立。
积分对积分区域也有可加性[6]。这样看,积分即是积分区域与外微分形式的配合,而边界算子 ∂ 与微分算子 d 便是这配合下的一对对偶映射,具体而言
更多的同调论性质在此暂且不论。
这里 Vrs 的拓扑,应当是利用 Vrs 与 Rr+s 的线性同构构造(或者说直接产生)的同胚。事实上取 V=R 无妨。 ↩︎
这里没有“光滑的”这一修饰词,或许指的是更一般的情况。 ↩︎
这里原书取 V=Rq 。若取 V=Cq (或更一般的 q 维复向量空间),则得到的是复 q 维矢量丛。实矢量丛的结论稍加修改就可以照搬到复矢量丛上。 ↩︎
这里的右上标 t 表示矩阵转置。原书使用的是左上标。 ↩︎
澄清一下此处的记号。 dω 作为二次外微分式,实质上是切空间的双线性函数,因此可以作用于切矢量对 (X,Y) 。诸 ⟨⋅,ω⟩ 是切丛和余切丛的配合。 ↩︎
积分区域的“线性结构”可以用奇异链来描述。拓扑子空间 Δn={(xi)∈Rn+1|∑xi=1,xi⩾0} 称为标准 n-单形。对于拓扑空间 X ,连续映射 σ:Δn→X 称为 X 中的一个奇异 n-单形。对于一个交换环 R ,有限个奇异 n-单形 σi 的线性组合 σ=∑aiσi (其中 ai∈R)称为一个 R-系数的奇异 n-链。取 X 为流形,R=R ,就得到积分区域的线性结构。 ↩︎
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