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《微分几何讲义(陈省身)》读书笔记 第三章 外微分

第三章 外微分

§1 张量丛

Note:下文中讨论的“纤维丛”是积流形的推广。微分几何中研究的是一类特殊的纤维丛——矢量丛。下面首先讨论具体的张量丛,再讨论一般的矢量丛。

mm 维光滑流形 MM 的每一点 pp 处有一对对偶空间——切空间 TpTp 和余切空间 TpTp ,因此有相应的张量空间

Trs(p)=TpTprTpTpsTrs(p)=TpTprTpTps

Trs=pMTrs(p)Trs=pMTrs(p)

下面为这个空间赋予光滑流形的结构。

​ 首先,需要为其赋予拓扑,使其成为第二可数的Hausdorff空间。任意取定一个 mm 维向量空间 VV 和其对偶空间 VV,其基和对偶基为 {e1,,em},{e1,,em}{e1,,em},{e1,,em} ,那么张量空间 VrsVrs 有基

ei1eirej1ejs ,    1iα,jβmei1eirej1ejs ,    1iα,jβm

取定 MM 的在点 pp 处的局部坐标系 (U;ui)(U;ui)Tp,TpTp,Tp 有相应的自然基

{u1|p,,um|p}  ,  {(du1)p,,(dum)p}{u1p,,ump}  ,  {(du1)p,,(dum)p}

那么张量空间 Trs(p)Trs(p) 有基

ui1|puir|p(duj1)p(dujs)p ,    1iα,jβmui1puirp(duj1)p(dujs)p ,    1iα,jβm

可以定义映射

φU:U×VrspUTrs(p)φU:U×VrspUTrs(p)

使得任意 pU,yVrspU,yVrs ,都有 φU(p,y)Trs(p)φU(p,y)Trs(p) ,且 φU(p,y)φU(p,y)yy 在各自的基下的分量对于相等。那么 φUφU 是双射。取 MM 的坐标覆盖 {U,}{U,} 和相应的映射 {φU,}{φU,} ,将每一个 U×VrsU×Vrs 的开集[1]φUφU 下的像取作 TrsTrs 的拓扑基,那么 TrsTrs 就成为第二可数的Hausdorff空间,诸 φUφU 就是同胚。

Note:首先要验证这确实是拓扑基(即验证:任意两个基元素 B1,B2B1,B2 ,都存在一个基元素 BB ,使得 BB1B2BB1B2 )。一个局部坐标系之内的是显然的。两个有交的局部坐标系 U,WU,W 之间,有

φU(U)φW(W)=(pUTrs(p))(pWTrs(p))=pUWTrs(p)=φU(UW)=φW(UW)

因此定义是合理的。借助诸同胚 φU 可以证明 Trs 是第二可数的Hausdorff空间。

​ 下面为其赋予光滑的微分结构,关键是基于 M 的坐标变换构造 Trs 的光滑的坐标变换。 Trs 的各坐标卡同构于各个 U×Vrs 。对于 U×VrsW×VrsU,W 之间已经有坐标变换,只需构造 Vrs 的光滑自同构。

​ 对于固定的点 pU ,可以定义映射 φU,p:VrsTrs(p)φU,p(y)=φU(p,y) ,那么这是 VrsTrs(p) 的线性同构。对于另一个局部坐标系 (W;wi) ,令坐标变换

gUW(p)=φ1W,pφU,p:VrsVrs

Vrs 的线性自同构(将其视作线性自同构群 GL(Vrs) 的元素,并记为右作用),那么

φU,p(y)=φW,p(y)    y=ygUW(p)

下面证明 gUW:UWGL(Vrs) 是光滑的。

​ 在 UW 上有自然基的坐标变换(这里省略了指明点 p

dwj=wjuidui ,    ui=wjuiwj

那么 Trs 在两组基下的系数满足变换关系

yi1irj1js=yk1krl1lswi1uk1wirukrul1wj1ulswjs

JUW=(wjui) 是局部坐标变换的Jacobi矩阵,那么将上式与 y=ygUW(p) 比较,得到

gUW=JUWJUWrJ1UWJ1UWs

由于 JUW 作为 M 的坐标变换是光滑的,则 gUW 是光滑的。

​ 回到 Trs 上,其局部坐标系 φU(U×Vrs) 内点 φU(p,y) 的局部坐标为

(ui(p),yi1irj1js)

其与局部坐标系 φW(W×Vrs) 之间的坐标变换是

(ui(p),yi1irj1js)(wjui|pui(p),(ygUW(p))i1irj1js)

这给出了 Trs 的光滑微分结构。

[Def 1.0] 光滑流形 Trs 称为流形 M 上的 (r,s)张量丛Trs(p) 称为丛 Trs 在点 p 上的纤维,光滑的投影映射π:TrsMTrs(p) 的元素映为点 p ,称为丛投影

​ 当 r=1,s=0 时,得到 M 上的切丛 T(M) ;当 r=0,s=1 时,得到 M 上的余切丛 T(M) 。按照张量丛的构造方法,可以构造 M 上的外 r 次矢量丛 Λr(M)=Λr(Tp)r 次外形式丛 Λr(M)=Λr(Tp)

​ 设 f:MTrs 是光滑映射。若 πf=idM ,即任意 pM ,有 f(p)Trs(p) ,则称 f 是张量丛 Trs 的一个光滑截面,或者称为称为 M 上的一个 (r,s) 型光滑张量场。切丛的截面就是 M 的切矢量场,余切丛的截面称为 M 上的一次微分式。[2] r 次外形式丛 Λr(M) 的光滑截面称为 M 上的光滑的 r 次外微分式。

Note:将张量丛的构造抽象化就得到一般的矢量丛的概念。它与下一章讨论的联络是规范场论的数学基础。

[Def 1.1] E,M 是两个光滑流形,π:EM 是光滑满射。Vq 维向量空间[3]。如果给定了 M 的开覆盖 {U,W,} 和一组映射 {φU,φW,} 满足:
(1)每一个映射 φUU×Vπ1(U) 的可微同胚,且任意 pU,yV ,都有 πφU(p,y)=p
(2)固定 pU ,映射 φU,p:Vπ1(U) , yφU(p,y) 是同胚。
对于 UW ,对于任意 pUW ,映射 gUW(p)=φ1W,pφU,pV 的线性自同构。
(3)对于 UW ,映射 gUW:UWGL(V) 是光滑的。
则称 (E,M,π) 是流形 M 上的(实) q矢量丛,其中 E 称为丛空间M 称为底空间π 称为丛投影V 称为纤维型Ep=π1(p) 称为矢量丛 Ep 点上的纤维

​ 条件(3)给出的映射 gUW:UWGL(V) 满足如下的相容条件:
(1)对于 pU ,有 gUW(p)=idV
(2)对于 pUWZ ,有 gUW(p)gWZ(p)gZU(p)=idV
{gUW} 称为矢量丛的过渡函数族。下面证明,如果一族函数满足如上的相容条件,就能以此构造出纤维丛。

[Theo 1.1] m 维光滑流形 M{Uα}αAM 的开覆盖,Vq 维向量空间。如果给出一族光滑映射

{gαβ:UαUβGL(V)|α,βA 使 UαUβ}

满足前文的相容条件,则存在 M 上的 q 维矢量丛 (E,M,π){gUW} 为过渡函数族。

Proof:以下给出证明的概要。想法是将诸 Uα×V 沿着纤维适当地粘起来。首先定义

˜E=αA{α}×Uα×V

其上有自然的微分结构。在 ˜E 上定义等价关系 (α,p,y)(β,p,y) 当且仅当 p=pUαUβ ,而 y=ygαβ(p) 。商空间 E=˜E/ 上也有自然的光滑微分结构。定义投影:

π:EM ,  [a,p,y]p

这是光滑映射,则 (E,M,π) 是所求的光滑流形。

​ 以下给出一些矢量丛的例子。

[Eg 1.1] 对偶丛
矢量丛 E 的对偶丛 E 是以 V 为纤维型的矢量丛,丛投影记作 π 。与 E 相应的 {(U,ψU),(W,ψW)} 满足条件:对于 pUW ,若 y,yVλ,λV 满足 φU(p,y)=φW(p,y),ψU(p,λ)=ψW(p,λ) ,则 y,λ=y,λ 。这样就可以在纤维 π1(p)π1(p) 之间定义配合

φU(p,y),ψU(p,λ)=y,λ

这个配合与局部坐标系 U 无关。这样就完全描述了对偶丛 E
从矩阵的视角,用矩阵乘法记 y,λ=yλ ,则 yλ=yλ 意味着

yλ=ygUW(p)λ

λ=gUW(p)λ 。令 hUW=(g1UW)t [4],则 λ=λhUW(p) ,则 {hUW} 是对偶丛的过渡函数族。这从另一角度完全描述了对偶丛 E
切从的对偶丛就是余切丛。

[Eg 1.2] 矢量丛的直和和张量积
矢量丛 E,E 的纤维型分别是 V,V ,过渡函数族分别是 {gUW},{gUW}
令(这里的 0 表示零矩阵)VV 的自同构

hUW=(gUW00gUW)

VV 为纤维型,{hUW} 为过渡函数族的矢量丛称为矢量丛 E,E 的直和,记作 EE
˜hUW=gUWgUW ,其作用在 VV 上为 (vv)˜hUW=(vgUW)(vgUW) ,那么以此为过渡函数族,以 VV 为纤维型的的矢量丛称为矢量丛 E,E 的张量积,记作 EE 。在这个意义下,张量丛就是相应数量的切丛和余切丛的张量积。

[Theo 1.2] 光滑映射 s:ME ,若 πs=idM ,则称 s 是矢量丛 (E,M,π) 的一个光滑截面。矢量丛 E 的全体光滑截面的集合记作 Γ(E) ,这是一个(实)向量空间。

​ 对于 s1,s2,sΓ(E)αC(M) ,逐点地定义加法和数乘。对于每一个 pM

(s1+s2)(p)=s1(p)+s2(p) ,    (αs)(p)=αs(p)

那么 Γ(E) 就成为一个 C(M)模。

Note:矢量丛 E 的光滑截面并不能比较任意地定义。例如,矢量丛 E 的处处非零的光滑截面是不一定存在的,此类截面的存在性体现了流形 M 的一定的拓扑性质。

§2 外微分

m 维光滑流形 Mr 次外形式丛 Λr(M) 的光滑截面空间记作 Ar(M)=Γ(Λr(M))Ar(M) 的元素称为称为 M 上的 r 次外微分式。从总体而言,外形式从 Λ(M) 的光滑截面空间记作 A(M) ,其元素称为 M 上的外微分式。 A(M) 上继承了外积运算,对于 ω1,ω2A(M),pM ,令 ω1ω2(p)=ω1(p)ω2(p) ,这就赋予了 A(M) 代数结构。

​ 在局部坐标系 (U;ui) 下,ωAr(M) 可以表示为

ω=1r!ai1irdui1duir

其中的系数 ai1irU 上的光滑函数,且关于下标是反对称的,利用 Λr(M)Λr(M) 的配合表示为

ai1ir=ui1uir,ω

​ 外微分式空间 A(M) 上最重要的是外微分运算 d ,其有一个重要性质——作用两次为零。

[Theo/Def 2.1]A(M) 存在唯一一个映射 d:A(M)A(M) ,满足如下条件:
(1)次数性质:d(Ar(M))Ar+1(M)
(2)线性性质:d(ω1+ω2)=dω1+dω2
(3)外积性质:d(ω1ω2)=dω1ω2+(1)rω1dω2 ,其中 ω1Ar(M)
(4)函数微分性质:对于 fC(M)=A0(M)df 就是 f 的微分。
(5)平方为零性质:若 fA0(M) ,则 d(df)=0
这样定义的映射 d 称为外微分

Proof:假设 d 存在,以下证明其唯一。
首先证明 d 是局部的,即如果 ω1,ω2 限制在开集 U 上相等,那么 dω1,dω2 限制在 U 上也相等(这是一个很强的条件)。利用条件(2),只需证明,若 ω|U=0 ,则 (dω)|U=0 。利用流形的局部紧致性,对于 pU,存在 p 的开邻域 W 使得 ¯W 是紧致的且 ¯WU 。利用 第一章[Lem 3.3] ,存在 M 上的光滑函数 h 使得

h(q)={1qW0qU

这样,hωA(M) ,且 hω0 。因此利用条件(4),有 0=d(hω)=dhω+hdω ,限制到 W 上得到 (dω)|W=0 。由于 p 的任意性,得 (dω)|U=0
利用条件(2),只需对单项式定义 d 。局部性说明只需在每一个局部坐标系中定义 d ,那么就在整个 M 上完全确定了 d 。在局部坐标系 (U;ui) 中,设外微分式 ωAr(M) 的坐标表示为

ω=adu1dur

利用条件(5),d(dui)=0 ,因此利用条件(3),得到

dω=dadu1dur

这就完全定义了 d 。因此 d 是唯一的。

下面证明其存在性,即给出一个构造。首先局部构造。对于 ωAr(M) ,在局部坐标系 (U;ui) 下表示为

ω|U=ai1irdui1duir

定义

d(ω|U)=dai1irdui1duir

易见这个定义满足条件(1)(2)(4)。对于条件(3),只需对两个单项式验证。对于

α=adui1duir ,    β=bduj1dujs

它们外积的微分

d(αβ)=(adb+bda)dui1duirduj1dujs=adbdui1duirduj1dujs    +bdadui1duirduj1dujs=(1)rαdβ+dαβ

(1)r 是因为 db 经过了 r 次交换。对于条件(5),光滑函数 f 限制在 U 上,其微分表示为

df=fuidui

由于 f 光滑,则 f 的高阶偏导数不计次序,即

2fuiuj=2fujui

于是微分两次后

d(df)=d(fuidui)=d(fui)dui=2fuiujdujdui=12(2fuiuj2fujui)dujdui=0

这样就局部构造了 d 。根据其局部性,其在整个 M 上都是良好定义的。

[Theo 2.2] (Poincaré引理)d2=0 ,即对任意的外微分式 ωd(dω)=0

Proof:由于 d 的线性,只需对单项式验证。对于 ω=adu1dur ,利用条件(3)(5):

d(dω)=d(dadu1dur)=d(dα)du1durdad(du1)dur+=0

[Eg 2.1]R3 的坐标系为 (x,y,z)
(1)对于其上的光滑函数 f ,其微分

df=fxdx+fydy+fzdz

的系数构成矢量 (fx,fy,fz) ,即是 f 的梯度。
(2)对于一次微分式 α=Adx+Bdy+Cdz ,其微分

dα=dAdx+dBdy+dCdz=(CyBz)dydz+(AzCx)dzdx+(BxAy)dxdy

的系数构成矢量 (CyBz,AzCx,BxAy) ,即是矢量场 (A,B,C) 的旋度。
(3)对于二次外微分式 α=Adydz+Bdzdx+Cdxdy ,其微分

dα=(Ax+By+Cz)dxdydz

的系数 Ax+By+Cz 即是矢量场 (A,B,C) 的散度。
由Poincaré引理,可以自然地得出场论的公式:梯度场无旋,散度场无源。

​ 光滑映射 f:MN 诱导出外微分式空间的线性映射 f:A(N)A(M) 。具体而言,f 在每一点 p 处诱导出切映射 f:TpTf(p) ,继而在每一次外微分式空间中,映射 f:Ar(N)Ar(M) 表现为

fω(X1,,Xr)=ω(fX1,,fXr)    ωAr(N)

ωA0(N) ,令 fω=ωfA0(M)

​ 根据 第二章[Theo 3.2]f 保外积,即 f(φψ)=fφfψ 。下面证明 f 与微分算子 d “交换”。

[Theo 2.3] 光滑映射 f:MN 诱导出外微分式空间的线性映射 f:A(N)A(M) ,那么(前后的 d 分别是 A(N),A(M) 上的算子) fd=df

Proof:由于 fd 都是线性的算子,因此只需考虑单项式。对微分式的次数归纳。r=0 时,对于 ωA0(N) ,和任意光滑切矢量场 X ,有:

(f(dω))(X)=dω(fX)=fX,ω=X,ωf=(d(fω))(X)

r=1 时,,对于 ω=adu(其中 a,uN 上的光滑函数)有:

f(dω)=f(dadu)=f(da)f(du)=d(fa)d(fu)=d(fω)

<r 时成立,r 时,对于 ω=αβ ,其中 αA1(N),βAr1(N) ,有:

d(fω)=d(fαfβ)=d(fα)fβfαd(fβ)=f(dαβ)f(αdβ)=f(dω)

由数学归纳法得证。

Note:以下给出基于外微分表述的Frobenius条件的对偶形式。

[Theo 2.4] 对于一次微分式 ω ,和光滑切矢量场 X,Y ,有[5]

dω(X,Y)=XY,ωYX,ω[X,Y],ω

Proof:由于两边对 ω 有线性,只需验证单项式 ω=gdfdω=dgdf ,根据外积的定义,带入原式:

dω(X,Y)=dgdf(X,Y)=det(X,dgX,dfY,dgY,df)=XgYfXfYg

右边,利用算子的性质,XY,ω=X(gYf)=XgYf+gX(Yf) ,因此

XY,ωYX,ω[X,Y],ω=XgYf+gX(Yf)YgXfgY(Xf)g(XYYX)f=XgYfXfYg

因此二者相等。

​ (以下的讨论局限在某一点附近)对于 r 维分布 Lr={X1,,Xr} ,在点 pLr(p)Tpr 维线性子空间,定义其零化子

Lr(p)={ωTp|XLr(p),X,ω=0}

这是 Tpmr 维线性子空间,它有一组基 {ωr+1,,ωm} 。因此,在 p 附近, Lr 是由方程组

ωs=0 ,    r+1sm

定义的。这称为Pfaff方程组(即 mr 个线性无关的一次微分方程)。

​ Frobenius条件是:每一对 1α,βr 都有 [Xα,Xβ]Lr 。利用 [Theo 2.4]

dωs(Xα,Xβ)=XY,ωsYX,ωs[X,Y],ωs=[X,Y],ωs

因此Frobenius条件等价于 dωs(Xα,Xβ)=0{X1,,Xr} 的对偶基 {ω1,,ωr}{ωr+1,,ωm} 共同组成了 Tp 的基,dωs 在基 {ω1,,ωm} 下表示为

dωs=st=r+1ψtsωt+rα,β=1aαβsωαωβ

其中 ψts 是一次微分式,aαβs 是关于上标反对称的光滑函数。将其带入 dωs(Xα,Xβ)=0aαβs=0 。因此

dωs=st=r+1ψtsωt

或者记作 dωs0 (mod (ωr+1,,ωm))。这称为Pfaff方程组所适合的Frobenius条件。

​ 如果存在一个局部坐标 ui 使得由方程

us=const ,    r+1sm

定义的子流形满足Pfaff方程组,则称该Pfaff方程组是完全可积的。此时该Pfaff方程组等价于

dus=0 ,    r+1sm

而这等价于

Lr={u1,,ur}

因此 第一章[Theo 4.4] 等价于如下的定理(利用 第二章[Theo 3.5]):

[Theo 2.5] Pfaff方程组 ωα=0 , 1αr 完全可积的充要条件是 dωα0 (mod (ω1,,ωr)) ,换言之就是 dωαω1ωr=0

​ 这里讨论的Frobenius条件是一个局部条件,将其联系到整体上,要利用下一节讨论的积分。

§3 外微分式的积分

[Def 3.1] 如果 m 维光滑流形 M 上存在一个处处非零的连续的 m 次外微分式 ω ,则称 M可定向的ω 称为 M 的定向。

​ 两个定向 ω,ω 之间相差一个连续函数 f ,即 ω=fω 。这个 f 要么处处为正,此时称 ω 规定了与 ω 相同的定向;要么处处为负,称 ω 规定了与 ω 相反的定向(即与 ω 相同的定向)。

​ 对于局部坐标系 (U;ui) ,外微分式 du1dum 给定了 U 的定向;如果其与 ω|U 同向,则称 (U;ui) 是与 M 的定向相符的坐标系。给定了定向的 M 显然可取定向相符的坐标系,两个相交的定向相符的坐标系之间的坐标变换的Jacobi矩阵的行列式处处为正。反之,如果给定了一族坐标卡,使得所有的坐标变换的Jacobi矩阵的行列式处处为正,那么 M 可定向。下面来证明这一点。

[Def 3.2] 对于 φA(M) ,定义它的支集

supp φ=¯{pM|φ(p)0}

特别的,光滑函数 f 的支集其非零值点集的闭包。

[Def 3.2] ΣM 的一个开覆盖。如果 M 的任意一个紧致子集至多与有限个 Σ 的元素相交,则称 Σ 是一个局部有限开覆盖

[Lem 3.1]Σ 是流形 M 的一个拓扑基,则存在 Σ 的子集 Σ0M 的局部有限开覆盖。

Proof:流形 M 是第二可数且局部紧致的。取可数开覆盖 {Ui} 使得 ¯Ui 紧致,令

Pi=ir=1¯Ur

Pi 是紧致的,PiPi+1 ,且 Pi=M 。下面构造一组紧致集 Qi 使得 PiQi ,且 Qi˚Qi+1 (这里的 ˚Qi+1 表示 Qi+1 的内部,即最大的开集 WQi+1)。
Q1=P1 。归纳地,若定义了 Q1,,Qi ,因为 QiPi+1 是紧致的,则可用有限个 Uα 将其覆盖。设其中最大的下标为 s ,令

Qi+1=sα=1¯Uα

Pi+1Qi+1 ,且 QiUα˚Qi+1 。这样构造的诸 Qi 满足 Pi=M
Q1=Q0= ,定义

Li=Qi˚Qi1 ,  Ki=˚Qi+1Qi1

Li 是紧致集,Ki 是开集,且 LiKi 。因为 Σ 是拓扑基,对于每一个 i ,由于 Li 是紧致的,则可取有限个基元素 V(i)α 使

LiV(i)αKi

所有这些 V(i)α 构成的集合 Σ0M 的开覆盖。
下面证明 Σ0 是局部有限的。对于任意紧致子集 A ,存在充分大的整数 i 使得 APiQi ,当 ki+2 时,KkQi= ,则 AV(k)αQiKk= 。因此 A 只与有限个 Σ0 的元素相交。

[Theo 3.2] (单位分解定理)Σ 是光滑流形 M 的开覆盖,则存在一族光滑函数 {gα:M[0,1]} ,满足
(1)每一个 gα ,支集 supp gα 是紧致的,且存在开集 WiΣ ,使得 supp gαWi
(2)每一点 pM ,存在邻域 U 使得其仅与有限个支集 supp gα 相交。
(3)gα=1 。(由于条件(2),这个和在每一点处都是有限和,因此总是有意义)
这一族 {gα} 称为从属于 Σ单位分解

Proof:因为 M 是流形,所以存在 M 的拓扑基 Σ0={Ui} ,使得 Ui 是坐标域,¯Ui 是紧致的,并且存在 WαΣ 使得 ¯UiWα 。利用 [Lem 3.1] ,可以取 Σ0 的子集 Σ1 使得其是可数的局部有限开覆盖。可以逐个地“收缩” Σ1={Uα} 的元素,得到开覆盖 {Vα} ,使得 ¯VαUα

具体而言,令 Wα=iαUi ,则 MW 是包含在 Uα 内的闭集。因为 ¯Uα 是紧致的,因此 MW 是紧致的,故存在有限个坐标域 Sj 使得每一个 ¯SjUα ,且 MWSj 。令 Vα=Sj 即可。

根据 第一章[Lem 3.3] ,存在光滑函数 hα:M[0,1] 使得

hα(p)={1pVα0pUα

显然 supp hα¯Uα 。由于 Σ1 的局部紧致性,对于每一点 p 取其邻域 U¯U 仅与有限个 Σ1 的元素相交,因此在这一点如下的和是有限和

h(p)=αhα(p)

这样定义的 h:MR 是光滑函数。由于 p 必然落在某个 Vα 内,则 h1 。定义 gα=hα/h ,则这一族 {gα} 满足要求。

​ 有了单位分解,就可以定义外微分式的积分。可定向的 m 维光滑流形 M ,对于其上的有紧致支集的 m 次外微分式 φ ,任取一个定向相符的坐标覆盖 {Wi} 和其从属的单位分解 {gα} ,则

φ=φαgα=αgαφ

显然 supp φgαsupp gαWi ,可以定义

Mφ=αWigαφ

等式右边的积分是 Rm 上的Riemann积分,即利用 Wi 的局部坐标 {ui} ,有表示

gαφ=f(u1,,um)du1dum

则右端的积分就是 m 重积分 Wif(u1,,um)du1dum 。更换局部坐标系相当于积分换元,而对于另一个单位分解 {gβ} ,有

βgβφ=β(αgα)gβφ=βαgαgβφ=αgαφ

因此如上的定义与坐标覆盖和单位分解的选取无关,因而是良好定义的。

[Def 3.4] 可定向的 m 维光滑流形 MφM 上有紧致支集的 m 次外微分式,由

Mφ=αWigαφ

定义的数值 Mφ 称为外微分式 φ 的在 M 上的积分。显然,积分 MAm(M) 上的线性函数。

​ 若 r<m ,对于有紧致支集的 r 次外微分式 φ ,可以定义其在 Mr 维子流形上的积分。指定 r 维嵌入子流形 N 和嵌入 h:NM ,则 hφN 上的 r 次外微分式,定义

h(N)φ=Nhφ

§4. Stokes公式

[Def 4.1] m 维光滑流形 M ,其中的带边区域 DM 的一个子集,其中的点分为两类:
(1)内点:该点存在一个邻域包含在 D 内。
(2)边界点:该点 p 有一个局部坐标系 (U;ui) ,使得 p 是原点,且 UD={qU|um(q)0} 。这样的坐标系 (U;ui) 称为 p 点的适用坐标系。所有边界点的集合称为 D边界,记作 B

[Theo 4.1] 带边区域 D 的边界 BM 的闭子流形。如果 M 可定向,则 B 可定向。

Proof:边界 B 显然是闭集。取 p 点的适用坐标系 (U;ui) ,则

UB={qU|um(q)=0}

根据 第一章[Eg 3.2] 所定义的,BM 的闭子流形。
M 可定向,取 p 点的定向相符的适用坐标系 (U;ui) ,那么 (1)mdu1dum1 给出了 BU 的定向。下证这个定向在不同坐标系之间是相容的。取另一个 p 点的定向相符的适用坐标系 (V;vi) ,则

(u1,,um)(v1,,vm)>0

vm=fm(u1,,um) ,则对任意固定的 u1,,um1vmum 同号,因此在 p 点处 umvm>0 。则

(u1,,um1)(v1,,vm1)>0

(1)mdu1dum1(1)mdv1dvm1 给出了 BUV 的相同的定向。因此 B 是可定向的。

​ 如此定向的边界 B 记作 D

[Theo 4.2] (Stokes公式)设 Dm 维定向流形 M 中的带边区域,ωM 上的有紧致支集的 m1 次外微分式,则(若 D= 则规定右侧的积分为零)

Ddω=Dω

Proof:取一个定向相符的坐标覆盖 {Ui} 和其从属的单位分解 {gα} ,只需对于每一个 α 证明

Dd(gαω)=Dgαω

不妨假设 supp ω 包含在一个定向相符的局部坐标系 (U;ui) 内。设 ω 表为

ω=mj=1(1)j1ajdu1duj1duj+1dum

其中 ajU 上的光滑函数,则

dω=mj=1ajujdu1dum

(1)若 UD= ,则右侧的积分为零。U 要么与 D 不交,要么包含在 D 内。对于前者,左侧的积分显然为零;对于后者,左侧的积分为

Ddω=mj=1Uajujdu1dum

考虑一个包含 U 的方体 C={(ui)||ui|K,1im} ,将 aj 的定义域扩展到 C 上使得 ajCU 上为零,则 ajC 上的光滑函数。因此

Uajujdu1dum=Cajujdu1dum=|ui|Kij(KKajujduj)du1duj1duj+1dum

其中的(注意到积分的两个端点都在 U 外)

KKajujduj=aj(u1,,K,,um)aj(u1,,K,,um)=0

因此左侧的积分为零。
(2)若 UD ,不妨设 (U;ui) 是适用坐标系,即

UD={qU|um(q)0}UD={qU|um(q)=0}

取方体 C={(ui)||ui|K,1im1;0umK} ,使其包含 UD ,同样扩展 aj 的定义域,则右侧的积分为

Dω=mj=1(1)j1UDajdu1duj1duj+1dum=(1)m1UDamdu1dum1=|ui|K1im1am(u1,,um1,0)du1dum1

第二步是因为在 UDdum=0 ,第三步考虑了 D 的定向。
左侧的积分为

Ddω=mj=1UDajujdu1dum=UDamumdu1dum=|ui|K1im1(K0amumdm)du1dum1=|ui|K1im1am(u1,,um1,0)du1dum1

第二个等号根据(1)得出的,第四个等号是因为括号内积分的右端点在 U 外。
综上(1)(2)得证。

Note:实际应用时,带边区域 D 往往是紧致的,因此无需假定外微分式有紧致支集,公式仍然成立。

​ 积分对积分区域也有可加性[6]。这样看,积分即是积分区域与外微分形式的配合,而边界算子 与微分算子 d 便是这配合下的一对对偶映射,具体而言

(D,dω)=Ddω=Dω=(D,ω)

​ 更多的同调论性质在此暂且不论。



  1. 这里 Vrs​​​​ 的拓扑,应当是利用 Vrs​​​​ 与 Rr+s​​​​ 的线性同构构造(或者说直接产生)的同胚。事实上取 V=R​​​​ 无妨。 ↩︎

  2. 这里没有“光滑的”这一修饰词,或许指的是更一般的情况。 ↩︎

  3. 这里原书取 V=Rq​ 。若取 V=Cq​ (或更一般的 q​ 维复向量空间),则得到的是复 q​ 维矢量丛。实矢量丛的结论稍加修改就可以照搬到复矢量丛上。 ↩︎

  4. 这里的右上标 t 表示矩阵转置。原书使用的是左上标。 ↩︎

  5. 澄清一下此处的记号。 dω​ 作为二次外微分式,实质上是切空间的双线性函数,因此可以作用于切矢量对 (X,Y)​ 。诸 ,ω​ 是切丛和余切丛的配合。 ↩︎

  6. 积分区域的“线性结构”可以用奇异链来描述。拓扑子空间 Δn={(xi)Rn+1|xi=1,xi0} 称为标准 n-单形。对于拓扑空间 X ,连续映射 σ:ΔnX 称为 X 中的一个奇异 n-单形。对于一个交换环 R ,有限个奇异 n-单形 σi 的线性组合 σ=aiσi (其中 aiR)称为一个 R-系数的奇异 n-链。取 X 为流形,R=R ,就得到积分区域的线性结构。 ↩︎

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