《微分几何讲义（陈省身）》读书笔记 第三章 外微分

第三章 外微分

§1 张量丛

Note：下文中讨论的“纤维丛”是积流形的推广。微分几何中研究的是一类特殊的纤维丛——矢量丛。下面首先讨论具体的张量丛，再讨论一般的矢量丛。

​ \(m\) 维光滑流形 \(M\) 的每一点 \(p\) 处有一对对偶空间——切空间 \(T_p\) 和余切空间 \(T^*_p\) ，因此有相应的张量空间

\[T^r_s(p)=\underset{r个}{\underbrace{T_p\otimes\cdots\otimes T_p}}\otimes\underset{s个}{\underbrace{T_p^*\otimes\cdots\otimes T_p^*}} \]

令

\[T^r_s=\bigcup_{p\in M}{T^r_s(p)} \]

下面为这个空间赋予光滑流形的结构。

​ 首先，需要为其赋予拓扑，使其成为第二可数的Hausdorff空间。任意取定一个 \(m\) 维向量空间 \(V\) 和其对偶空间 \(V^*\)，其基和对偶基为 \(\{e_1,\cdots,e_m\},\{{e^*}^1,\cdots,{e^*}^m\}\) ，那么张量空间 \(V^r_s\) 有基

\[e_{i_1}\otimes\cdots\otimes e_{i_r}\otimes {e^*}^{j_1}\otimes\cdots\otimes {e^*}^{j_s} \ ,\ \ \ \ 1\leqslant i_\alpha,j_\beta\leqslant m \]

取定 \(M\) 的在点 \(p\) 处的局部坐标系 \((U;u^i)\) ，\(T_p,T^*_p\) 有相应的自然基

\[\left\{\left.\frac{\part}{\part u^1}\right|_p,\cdots,\left.\frac{\part}{\part u^m}\right|_p\right\}\ \ ,\ \ \{(\text{d}u^1)_p,\cdots,(\text{d}u^m)_p\} \]

那么张量空间 \(T^r_s(p)\) 有基

\[\left.\frac{\part}{\part u^{i_1}}\right|_p\otimes\cdots\otimes\left.\frac{\part}{\part u^{i_r}}\right|_p\otimes(\text{d}u^{j_1})_p\otimes\cdots\otimes(\text{d}u^{j_s})_p \ ,\ \ \ \ 1\leqslant i_\alpha,j_\beta\leqslant m \]

可以定义映射

\[\varphi_U:U\times V^r_s\to\bigcup_{p\in U}T^r_s(p) \]

使得任意 \(p\in U,y\in V^r_s\) ，都有 \(\varphi_U(p,y)\in T^r_s(p)\) ，且 \(\varphi_U(p,y)\) 与 \(y\) 在各自的基下的分量对于相等。那么 \(\varphi_U\) 是双射。取 \(M\) 的坐标覆盖 \(\{U,\cdots\}\) 和相应的映射 \(\{\varphi_U,\cdots\}\) ，将每一个 \(U\times V^r_s\) 的开集^[1]在 \(\varphi_U\) 下的像取作 \(T^r_s\) 的拓扑基，那么 \(T^r_s\) 就成为第二可数的Hausdorff空间，诸 \(\varphi_U\) 就是同胚。

Note：首先要验证这确实是拓扑基（即验证：任意两个基元素 \(B_1,B_2\) ，都存在一个基元素 \(B\) ，使得 \(B\sub B_1\cap B_2\) ）。一个局部坐标系之内的是显然的。两个有交的局部坐标系 \(U,W\) 之间，有

\[\begin{align*} \varphi_U(U)\cap\varphi_W(W) &=\left(\bigcup_{p\in U}T^r_s(p)\right)\cap\left(\bigcup_{p\in W}T^r_s(p)\right) \\ & =\bigcup_{p\in U\cap W}T^r_s(p)=\varphi_U(U\cap W)=\varphi_W(U\cap W) \end{align*} \]

因此定义是合理的。借助诸同胚 \(\varphi_U\) 可以证明 \(T^r_s\) 是第二可数的Hausdorff空间。

​ 下面为其赋予光滑的微分结构，关键是基于 \(M\) 的坐标变换构造 \(T^r_s\) 的光滑的坐标变换。 \(T^r_s\) 的各坐标卡同构于各个 \(U\times V^r_s\) 。对于 \(U\times V^r_s\) 和 \(W\times V^r_s\) ，\(U,W\) 之间已经有坐标变换，只需构造 \(V^r_s\) 的光滑自同构。

​ 对于固定的点 \(p\in U\) ，可以定义映射 \(\varphi_{U,p}:V^r_s\to T^r_s(p)\) 为 \(\varphi_{U,p}(y)=\varphi_U(p,y)\) ，那么这是 \(V^r_s\) 与 \(T^r_s(p)\) 的线性同构。对于另一个局部坐标系 \((W;w^i)\) ，令坐标变换

\[g_{UW}(p)=\varphi_{W,p}^{-1}\circ \varphi_{U,p}:V^r_s\to V^r_s \]

是 \(V^r_s\) 的线性自同构（将其视作线性自同构群 \(\text{GL}(V^r_s)\) 的元素，并记为右作用），那么

\[\varphi_{U,p}(y)=\varphi_{W,p}(y')\ \ \Leftrightarrow\ \ y'=y\cdot g_{UW}(p) \]

下面证明 \(g_{UW}:U\cap W\to \text{GL}(V^r_s)\) 是光滑的。

​ 在 \(U\cap W\) 上有自然基的坐标变换（这里省略了指明点 \(p\)）

\[\text{d}w^j=\frac{\part w^j}{\part u^i}\text{d}u^i \ ,\ \ \ \ \frac{\part}{\part u^i}=\frac{\part w^j}{\part u^i}\frac{\part}{\part w^j} \]

那么 \(T^r_s\) 在两组基下的系数满足变换关系

\[y'^{i_1\cdots i_r}_{j_1\cdots j_s}=y^{k_1\cdots k_r}_{l_1\cdots l_s}\cdot\frac{\part w^{i_1}}{\part u^{k_1}}\cdots\frac{\part w^{i_r}}{\part u^{k_r}}\cdot\frac{\part u^{l_1}}{\part w^{j_1}}\cdots\frac{\part u^{l_s}}{\part w^{j_s}} \]

记 \(J_{UW}=\left(\cfrac{\part w^j}{\part u^i}\right)\) 是局部坐标变换的Jacobi矩阵，那么将上式与 \(y'=y\cdot g_{UW}(p)\) 比较，得到

\[g_{UW}=\underset{r个}{\underbrace{J_{UW}\otimes\cdots\otimes J_{UW}}}\otimes\underset{s个}{\underbrace{J_{UW}^{-1}\otimes\cdots\otimes J_{UW}^{-1}}} \]

由于 \(J_{UW}\) 作为 \(M\) 的坐标变换是光滑的，则 \(g_{UW}\) 是光滑的。

​ 回到 \(T^r_s\) 上，其局部坐标系 \(\varphi_U(U\times V^r_s)\) 内点 \(\varphi_U(p,y)\) 的局部坐标为

\[\left(u^i(p),y^{i_1\cdots i_r}_{j_1\cdots j_s}\right) \]

其与局部坐标系 \(\varphi_W(W\times V^r_s)\) 之间的坐标变换是

\[\left(u^i(p),y^{i_1\cdots i_r}_{j_1\cdots j_s}\right)\mapsto \left(\left.\cfrac{\part w^j}{\part u^i}\right|_p\cdot u^i(p),(y\cdot g_{UW}(p))^{i_1\cdots i_r}_{j_1\cdots j_s}\right) \]

这给出了 \(T^r_s\) 的光滑微分结构。

[Def 1.0] 光滑流形 \(T^r_s\) 称为流形 \(M\) 上的 \((r,s)\) 型张量丛，\(T^r_s(p)\) 称为丛 \(T^r_s\) 在点 \(p\) 上的纤维，光滑的投影映射\(\pi:T^r_s\to M\) 将 \(T^r_s(p)\) 的元素映为点 \(p\) ，称为丛投影。

​ 当 \(r=1,s=0\) 时，得到 \(M\) 上的切丛 \(T(M)\) ；当 \(r=0,s=1\) 时，得到 \(M\) 上的余切丛 \(T^*(M)\) 。按照张量丛的构造方法，可以构造 \(M\) 上的外 \(r\) 次矢量丛 \(\varLambda^r(M)=\bigcup\varLambda^r(T_p)\) 和 \(r\) 次外形式丛 \(\varLambda^r(M^*)=\bigcup\varLambda^r(T^*_p)\) 。

​ 设 \(f:M\to T^r_s\) 是光滑映射。若 \(\pi\circ f=\text{id}_M\) ，即任意 \(p\in M\) ，有 \(f(p)\in T^r_s(p)\) ，则称 \(f\) 是张量丛 \(T^r_s\) 的一个光滑截面，或者称为称为 \(M\) 上的一个 \((r,s)\) 型光滑张量场。切丛的截面就是 \(M\) 的切矢量场，余切丛的截面称为 \(M\) 上的一次微分式。^[2] \(r\) 次外形式丛 \(\varLambda^r(M^*)\) 的光滑截面称为 \(M\) 上的光滑的 \(r\) 次外微分式。

Note：将张量丛的构造抽象化就得到一般的矢量丛的概念。它与下一章讨论的联络是规范场论的数学基础。

[Def 1.1] \(E,M\) 是两个光滑流形，\(\pi:E\to M\) 是光滑满射。\(V\) 是 \(q\) 维向量空间^[3]。如果给定了 \(M\) 的开覆盖 \(\{U,W,\cdots\}\) 和一组映射 \(\{\varphi_U,\varphi_W,\cdots\}\) 满足：
（1）每一个映射 \(\varphi_U\) 是 \(U\times V\) 到 \(\pi^{-1}(U)\) 的可微同胚，且任意 \(p\in U,y\in V\) ，都有 \(\pi\circ\varphi_U(p,y)=p\) ；
（2）固定 \(p\in U\) ，映射 \(\varphi_{U,p}:V\to\pi^{-1}(U)\ ,\ y\mapsto\varphi_U(p,y)\) 是同胚。
对于 \(U\cap W\neq\varnothing\) ，对于任意 \(p\in U\cap W\) ，映射 \(g_{UW}(p)=\varphi^{-1}_{W,p}\circ\varphi_{U,p}\) 是 \(V\) 的线性自同构。
（3）对于 \(U\cap W\neq\varnothing\) ，映射 \(g_{UW}:U\cap W\to\text{GL}(V)\) 是光滑的。
则称 \((E,M,\pi)\) 是流形 \(M\) 上的（实） \(q\) 维矢量丛，其中 \(E\) 称为丛空间， \(M\) 称为底空间， \(\pi\) 称为丛投影，\(V\) 称为纤维型。\(E_p=\pi^{-1}(p)\) 称为矢量丛 \(E\) 在 \(p\) 点上的纤维。

​ 条件（3）给出的映射 \(g_{UW}:U\cap W\to\text{GL}(V)\) 满足如下的相容条件：
（1）对于 \(p\in U\) ，有 \(g_{UW}(p)=\text{id}_V\) 。
（2）对于 \(p\in U\cap W\cap Z\) ，有 \(g_{UW}(p)\cdot g_{WZ}(p)\cdot g_{ZU}(p)=\text{id}_V\) 。
\(\{g_{UW}\}\) 称为矢量丛的过渡函数族。下面证明，如果一族函数满足如上的相容条件，就能以此构造出纤维丛。

[Theo 1.1] \(m\) 维光滑流形 \(M\) ，\(\{U_\alpha\}_{\alpha\in\mathscr{A}}\) 是 \(M\) 的开覆盖，\(V\) 是 \(q\) 维向量空间。如果给出一族光滑映射

\[\{g_{\alpha\beta}:U_\alpha\cap U_\beta\to\text{GL}(V)\big|\alpha,\beta\in\mathscr{A}\ 使得\ U_\alpha\cap U_\beta\neq\varnothing\} \]

满足前文的相容条件，则存在 \(M\) 上的 \(q\) 维矢量丛 \((E,M,\pi)\) 以 \(\{g_{UW}\}\) 为过渡函数族。

Proof：以下给出证明的概要。想法是将诸 \(U_\alpha\times V\) 沿着纤维适当地粘起来。首先定义

\[\tilde{E}=\bigcup_{\alpha\in\mathscr{A}}\{\alpha\}\times U_\alpha\times V \]

其上有自然的微分结构。在 \(\tilde{E}\) 上定义等价关系 \(\sim\) ：\((\alpha,p,y)\sim(\beta{,p',y'})\) 当且仅当 \(p=p'\in U_\alpha\cap U_\beta\) ，而 \(y'=y\cdot g_{\alpha\beta}(p)\) 。商空间 \(E=\tilde{E}/\sim\) 上也有自然的光滑微分结构。定义投影：

\[\pi:E\to M\ ,\ \ [a,p,y]\mapsto p \]

这是光滑映射，则 \((E,M,\pi)\) 是所求的光滑流形。

​ 以下给出一些矢量丛的例子。

[Eg 1.1] 对偶丛
矢量丛 \(E\) 的对偶丛 \(E^*\) 是以 \(V^*\) 为纤维型的矢量丛，丛投影记作 \(\pi^*\) 。与 \(E^*\) 相应的 \(\{(U,\psi_U),(W,\psi_W)\cdots\}\) 满足条件：对于 \(p\in U\cap W\) ，若 \(y,y'\in V\) 和 \(\lambda,\lambda'\in V^*\) 满足 \(\varphi_U(p,y)=\varphi_W(p,y'),\psi_U(p,\lambda)=\psi_W(p,\lambda')\) ，则 \(\left<y,\lambda\right>=\left<y',\lambda'\right>\) 。这样就可以在纤维 \(\pi^{-1}(p)\) 和 \({\pi^*}^{-1}(p)\) 之间定义配合

\[\left<\varphi_U(p,y),\psi_U(p,\lambda)\right>=\left<y,\lambda\right> \]

这个配合与局部坐标系 \(U\) 无关。这样就完全描述了对偶丛 \(E^*\) 。
从矩阵的视角，用矩阵乘法记 \(\left<y,\lambda\right>=y\cdot\lambda\) ，则 \(y\cdot\lambda=y'\cdot\lambda'\) 意味着

\[y\cdot\lambda=y\cdot g_{UW}(p)\cdot \lambda' \]

即 \(\lambda=g_{UW}(p)\cdot\lambda'\) 。令 \(h_{UW}=(g_{UW}^{-1})^{\text{t}}\) ^[4]，则 \(\lambda'=\lambda\cdot h_{UW}(p)\) ，则 \(\{h_{UW}\}\) 是对偶丛的过渡函数族。这从另一角度完全描述了对偶丛 \(E^*\) 。
切从的对偶丛就是余切丛。

[Eg 1.2] 矢量丛的直和和张量积
矢量丛 \(E,E'\) 的纤维型分别是 \(V,V'\) ，过渡函数族分别是 \(\{g_{UW}\},\{g_{UW}'\}\) 。
令（这里的 \(0\) 表示零矩阵）\(V\oplus V'\) 的自同构

\[h_{UW}=\left(\begin{matrix}g_{UW} & 0 \\ 0 & g_{UW}'\end{matrix}\right) \]

以 \(V\oplus V'\) 为纤维型，\(\{h_{UW}\}\) 为过渡函数族的矢量丛称为矢量丛 \(E,E'\) 的直和，记作 \(E\oplus E'\) 。
令 \(\tilde h_{UW}=g_{UW}\otimes g_{UW}'\) ，其作用在 \(V\otimes V'\) 上为 \((v\otimes v')\cdot\tilde h_{UW}=(v\cdot g_{UW})\otimes(v'\cdot g_{UW}')\) ，那么以此为过渡函数族，以 \(V\otimes V'\) 为纤维型的的矢量丛称为矢量丛 \(E,E'\) 的张量积，记作 \(E\otimes E'\) 。在这个意义下，张量丛就是相应数量的切丛和余切丛的张量积。

[Theo 1.2] 光滑映射 \(s:M\to E\) ，若 \(\pi\circ s=\text{id}_M\) ，则称 \(s\) 是矢量丛 \((E,M,\pi)\) 的一个光滑截面。矢量丛 \(E\) 的全体光滑截面的集合记作 \(\varGamma(E)\) ，这是一个（实）向量空间。

​ 对于 \(s_1,s_2,s\in\varGamma(E)\) 和 \(\alpha\in C^\infin(M)\) ，逐点地定义加法和数乘。对于每一个 \(p\in M\) ，

\[(s_1+s_2)(p)=s_1(p)+s_2(p)\ ,\ \ \ \ (\alpha s)(p)=\alpha\cdot s(p) \]

那么 \(\varGamma(E)\) 就成为一个 \(C^\infin(M)-\)模。

Note：矢量丛 \(E\) 的光滑截面并不能比较任意地定义。例如，矢量丛 \(E\) 的处处非零的光滑截面是不一定存在的，此类截面的存在性体现了流形 \(M\) 的一定的拓扑性质。

§2 外微分

​ \(m\) 维光滑流形 \(M\) 的 \(r\) 次外形式丛 \(\varLambda^r(M^*)\) 的光滑截面空间记作 \(A^r(M)=\varGamma(\varLambda^r(M^*))\) ，\(A^r(M)\) 的元素称为称为 \(M\) 上的 \(r\) 次外微分式。从总体而言，外形式从 \(\varLambda(M^*)\) 的光滑截面空间记作 \(A(M)\) ，其元素称为 \(M\) 上的外微分式。 \(A(M)\) 上继承了外积运算，对于 \(\omega_1,\omega_2\in A(M),p\in M\) ，令 \(\omega_1\wedge\omega_2(p)=\omega_1(p)\wedge\omega_2(p)\) ，这就赋予了 \(A(M)\) 代数结构。

​ 在局部坐标系 \((U;u^i)\) 下，\(\omega\in A^r(M)\) 可以表示为

\[\omega=\frac{1}{r!}a_{i_1\cdots i_r}\text{d}u^{i_1}\wedge\cdots\wedge\text{d}u^{i_r} \]

其中的系数 \(a_{i_1\cdots i_r}\) 是 \(U\) 上的光滑函数，且关于下标是反对称的，利用 \(\varLambda^r(M)\) 和 \(\varLambda^r(M^*)\) 的配合表示为

\[a_{i_1\cdots i_r}=\left<\frac{\part}{\part u^{i_1}}\wedge\cdots\wedge\frac{\part}{\part u^{i_r}},\omega\right> \]

​ 外微分式空间 \(A(M)\) 上最重要的是外微分运算 \(\text{d}\) ，其有一个重要性质——作用两次为零。

[Theo/Def 2.1] 在 \(A(M)\) 存在唯一一个映射 \(\text{d}:A(M)\to A(M)\) ，满足如下条件：
（1）次数性质：\(\text{d}(A^r(M))\sub A^{r+1}(M)\) 。
（2）线性性质：\(\text{d}(\omega_1+\omega_2)=\text{d}\omega_1+\text{d}\omega_2\) 。
（3）外积性质：\(\text{d}(\omega_1\wedge\omega_2)=\text{d}\omega_1\wedge\omega_2+(-1)^r\omega_1\wedge\text{d}\omega_2\) ，其中 \(\omega_1\in A^r(M)\) 。
（4）函数微分性质：对于 \(f\in C^\infin(M)=A^0(M)\) ，\(\text{d}f\) 就是 \(f\) 的微分。
（5）平方为零性质：若 \(f\in A^0(M)\) ，则 \(\text{d}(\text{d}f)=0\) 。
这样定义的映射 \(\text{d}\) 称为外微分。

Proof：假设 \(\text{d}\) 存在，以下证明其唯一。
首先证明 \(\text{d}\) 是局部的，即如果 \(\omega_1,\omega_2\) 限制在开集 \(U\) 上相等，那么 \(\text{d}\omega_1,\text{d}\omega_2\) 限制在 \(U\) 上也相等（这是一个很强的条件）。利用条件（2），只需证明，若 \(\omega|_U=0\) ，则 \((\text{d}\omega)|_U=0\) 。利用流形的局部紧致性，对于 \(p\in U\)，存在 \(p\) 的开邻域 \(W\) 使得 \(\overline W\) 是紧致的且 \(\overline W\sub U\) 。利用 第一章[Lem 3.3] ，存在 \(M\) 上的光滑函数 \(h\) 使得

\[h(q)=\left\{\begin{align*} 1 && q\in W \\ 0 && q\notin U \end{align*}\right. \]

这样，\(h\omega\in A(M)\) ，且 \(h\omega\equiv0\) 。因此利用条件（4），有 \(0=\text{d}(h\omega)=\text{d}h\wedge\omega+h\wedge \text{d}\omega\) ，限制到 \(W\) 上得到 \((\text{d}\omega)|_W=0\) 。由于 \(p\) 的任意性，得 \((\text{d}\omega)|_U=0\) 。
利用条件（2），只需对单项式定义 \(\text{d}\) 。局部性说明只需在每一个局部坐标系中定义 \(\text{d}\) ，那么就在整个 \(M\) 上完全确定了 \(\text{d}\) 。在局部坐标系 \((U;u^i)\) 中，设外微分式 \(\omega\in A^r(M)\) 的坐标表示为

\[\omega=a\text{d}u^1\wedge\cdots\wedge\text{d}u^r \]

利用条件（5），\(\text{d}(\text{d}u^i)=0\) ，因此利用条件（3），得到

\[\text{d}\omega=\text{d}a\wedge\text{d}u^1\wedge\cdots\wedge\text{d}u^r \]

这就完全定义了 \(\text{d}\) 。因此 \(\text{d}\) 是唯一的。

下面证明其存在性，即给出一个构造。首先局部构造。对于 \(\omega\in A^r(M)\) ，在局部坐标系 \((U;u^i)\) 下表示为

\[\omega|_U=a_{i_1\cdots i_r}\text{d}u^{i_1}\wedge\cdots\wedge\text{d}u^{i_r} \]

定义

\[\text{d}(\omega|_U)=\text{d}a_{i_1\cdots i_r}\wedge\text{d}u^{i_1}\wedge\cdots\wedge\text{d}u^{i_r} \]

易见这个定义满足条件（1）（2）（4）。对于条件（3），只需对两个单项式验证。对于

\[\alpha=a\text{d}u^{i_1}\wedge\cdots\wedge\text{d}u^{i_r} \ ,\ \ \ \ \beta=b\text{d}u^{j_1}\wedge\cdots\wedge\text{d}u^{j_s} \]

它们外积的微分

\[\begin{align*} \text{d}(\alpha\wedge\beta) & =(a\text{d}b+b\text{d}a)\wedge \text{d}u^{i_1}\wedge\cdots\wedge\text{d}u^{i_r} \wedge\text{d}u^{j_1}\wedge\cdots\wedge\text{d}u^{j_s} \\ & =a\text{d}b\wedge\text{d}u^{i_1}\wedge\cdots\wedge\text{d}u^{i_r} \wedge\text{d}u^{j_1}\wedge\cdots\wedge\text{d}u^{j_s} \\ &\ \ \ \ +b\text{d}a\wedge\text{d}u^{i_1}\wedge\cdots\wedge\text{d}u^{i_r} \wedge\text{d}u^{j_1}\wedge\cdots\wedge\text{d}u^{j_s} \\ & =(-1)^r\alpha\wedge\text{d}\beta+\text{d}\alpha\wedge\beta \end{align*} \]

\((-1)^r\) 是因为 \(\text{d}b\) 经过了 \(r\) 次交换。对于条件（5），光滑函数 \(f\) 限制在 \(U\) 上，其微分表示为

\[\text{d}f=\frac{\part f}{\part u^i}\text{d}u^i \]

由于 \(f\) 光滑，则 \(f\) 的高阶偏导数不计次序，即

\[\frac{\part^2 f}{\part u^i\part u^j}=\frac{\part^2 f}{\part u^j\part u^i} \]

于是微分两次后

\[\begin{align*} \text{d}(\text{d}f) &=\text{d}\left(\frac{\part f}{\part u^i}\text{d}u^i\right) =\text{d}\left(\frac{\part f}{\part u^i}\right)\wedge\text{d}u^i \\ &=\frac{\part^2 f}{\part u^i\part u^j}\text{d}u^j\wedge\text{d}u^i =\frac{1}{2}\left(\frac{\part^2 f}{\part u^i\part u^j}-\frac{\part^2 f}{\part u^j\part u^i}\right)\text{d}u^j\wedge\text{d}u^i=0 \end{align*} \]

这样就局部构造了 \(\text{d}\) 。根据其局部性，其在整个 \(M\) 上都是良好定义的。

[Theo 2.2] （Poincaré引理）\(\text{d}^2=0\) ，即对任意的外微分式 \(\omega\) ，\(\text{d}(\text{d}\omega)=0\) 。

Proof：由于 \(\text{d}\) 的线性，只需对单项式验证。对于 \(\omega=a\text{d}u^1\wedge\cdots\wedge\text{d}u^r\) ，利用条件（3）（5）：

\[\begin{align*} \text{d}(\text{d}\omega) & =\text{d}(\text{d}a\wedge\text{d}u^1\wedge\cdots\wedge\text{d}u^r) \\ & =\text{d}(\text{d}\alpha)\wedge\text{d}u^1\wedge\cdots\wedge\text{d}u^r-\text{d}a\wedge\text{d}(\text{d}u^1)\wedge\cdots\wedge\text{d}u^r+\cdots =0 \end{align*} \]

[Eg 2.1] 记 \(\R^3\) 的坐标系为 \((x,y,z)\)
（1）对于其上的光滑函数 \(f\) ，其微分

\[\text{d}f=\frac{\part f}{\part x}\text{d}x+\frac{\part f}{\part y}\text{d}y+\frac{\part f}{\part z}\text{d}z \]

的系数构成矢量 \(\left(\cfrac{\part f}{\part x},\cfrac{\part f}{\part y},\cfrac{\part f}{\part z}\right)\) ，即是 \(f\) 的梯度。
（2）对于一次微分式 \(\alpha=A\text{d}x+B\text{d}y+C\text{d}z\) ，其微分

\[\begin{align*} \text{d}\alpha & =\text{d}A\wedge\text{d}x+\text{d}B\wedge\text{d}y+\text{d}C\wedge\text{d}z \\ & =\left(\frac{\part C}{\part y}-\frac{\part B}{\part z}\right)\text{d}y\wedge\text{d}z+\left(\frac{\part A}{\part z}-\frac{\part C}{\part x}\right)\text{d}z\wedge\text{d}x+\left(\frac{\part B}{\part x}-\frac{\part A}{\part y}\right)\text{d}x\wedge\text{d}y \end{align*} \]

的系数构成矢量 \(\left(\cfrac{\part C}{\part y}-\cfrac{\part B}{\part z},\cfrac{\part A}{\part z}-\cfrac{\part C}{\part x},\cfrac{\part B}{\part x}-\cfrac{\part A}{\part y}\right)\) ，即是矢量场 \((A,B,C)\) 的旋度。
（3）对于二次外微分式 \(\alpha=A\text{d}y\wedge\text{d}z+B\text{d}z\wedge\text{d}x+C\text{d}x\wedge\text{d}y\) ，其微分

\[\text{d}\alpha=\left(\frac{\part A}{\part x}+\frac{\part B}{\part y}+\frac{\part C}{\part z}\right)\text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z \]

的系数 \(\cfrac{\part A}{\part x}+\cfrac{\part B}{\part y}+\cfrac{\part C}{\part z}\) 即是矢量场 \((A,B,C)\) 的散度。
由Poincaré引理，可以自然地得出场论的公式：梯度场无旋，散度场无源。

​ 光滑映射 \(f:M\to N\) 诱导出外微分式空间的线性映射 \(f^*:A(N)\to A(M)\) 。具体而言，\(f\) 在每一点 \(p\) 处诱导出切映射 \(f_*:T_p\to T_{f(p)}\) ，继而在每一次外微分式空间中，映射 \(f^*:A^r(N)\to A^r(M)\) 表现为

\[f^*\omega(X_1,\cdots,X_r)=\omega(f_*X_1,\cdots,f_*X_r)\ \ \ \ \omega\in A^r(N) \]

若 \(\omega\in A^0(N)\) ，令 \(f^*\omega=\omega\circ f\in A^0(M)\) 。

​ 根据 第二章[Theo 3.2] ，\(f^*\) 保外积，即 \(f^*(\varphi\wedge\psi)=f^*\varphi\wedge f^*\psi\) 。下面证明 \(f^*\) 与微分算子 \(\text{d}\) “交换”。

[Theo 2.3] 光滑映射 \(f:M\to N\) 诱导出外微分式空间的线性映射 \(f^*:A(N)\to A(M)\) ，那么（前后的 \(\text{d}\) 分别是 \(A(N),A(M)\) 上的算子） \(f^*\circ\text{d}=\text{d}\circ f^*\) 。

Proof：由于 \(f^*\) 和 \(\text{d}\) 都是线性的算子，因此只需考虑单项式。对微分式的次数归纳。\(r=0\) 时，对于 \(\omega\in A^0(N)\) ，和任意光滑切矢量场 \(X\) ，有：

\[(f^*(\text{d}\omega))(X)=\text{d}\omega(f_*X)=\left<f_*X,\omega\right> =\left<X,\omega\circ f\right>=(\text{d}(f^*\omega))(X) \]

\(r=1\) 时，，对于 \(\omega=a\text{d}u\)（其中 \(a,u\) 是 \(N\) 上的光滑函数）有：

\[f^*(\text{d}\omega) =f^*(\text{d}a\wedge\text{d}u)=f^*(\text{d}a)\wedge f^*(\text{d}u) =\text{d}(f^*a)\wedge\text{d}(f^*u) =\text{d}(f^*\omega) \]

若 \(<r\) 时成立，\(r\) 时，对于 \(\omega=\alpha\wedge\beta\) ，其中 \(\alpha\in A^1(N),\beta\in A^{r-1}(N)\) ，有：

\[\begin{align*} \text{d}(f^*\omega)& =\text{d}(f^*\alpha\wedge f^*\beta)=\text{d}(f^*\alpha)\wedge f^*\beta-f^*\alpha\wedge\text{d}(f^*\beta) \\ & =f^*(\text{d}\alpha\wedge\beta)-f^*(\alpha\wedge\text{d}\beta)=f^*(\text{d}\omega) \end{align*} \]

由数学归纳法得证。

Note：以下给出基于外微分表述的Frobenius条件的对偶形式。

[Theo 2.4] 对于一次微分式 \(\omega\) ，和光滑切矢量场 \(X,Y\) ，有^[5]

\[\text{d}\omega(X,Y)=X\left<Y,\omega\right>-Y\left<X,\omega\right>-\left<[X,Y],\omega\right> \]

Proof：由于两边对 \(\omega\) 有线性，只需验证单项式 \(\omega=g\text{d}f\) 。\(\text{d}\omega=\text{d}g\wedge\text{d}f\) ，根据外积的定义，带入原式：

\[\text{d}\omega(X,Y)=\text{d}g\wedge\text{d}f(X,Y) =\det\left(\begin{matrix}\left<X,\text{d}g\right> & \left<X,\text{d}f\right>\\ \left<Y,\text{d}g\right>& \left<Y,\text{d}f\right>\end{matrix}\right) =Xg\cdot Yf-Xf\cdot Yg \]

右边，利用算子的性质，\(X\left<Y,\omega\right>=X(g\cdot Yf)=Xg\cdot Yf+g\cdot X(Yf)\) ，因此

\[\begin{align*} & X\left<Y,\omega\right>-Y\left<X,\omega\right>-\left<[X,Y],\omega\right>\\ =& Xg\cdot Yf+g\cdot X(Yf)-Yg\cdot Xf-g\cdot Y(Xf)-g\cdot(XY-YX)f \\ =& Xg\cdot Yf-Xf\cdot Yg \end{align*} \]

因此二者相等。

​ （以下的讨论局限在某一点附近）对于 \(r\) 维分布 \(L^r=\{X_1,\cdots,X_r\}\) ，在点 \(p\) 处 \(L^r(p)\) 是 \(T_p\) 的 \(r\) 维线性子空间，定义其零化子

\[L^r(p)^\bot=\{\omega\in T^*_p\big|\forall X\in L^r(p),\left<X,\omega\right>=0\} \]

这是 \(T^*_p\) 的 \(m-r\) 维线性子空间，它有一组基 \(\{\omega_{r+1},\cdots,\omega_m\}\) 。因此，在 \(p\) 附近， \(L^r\) 是由方程组

\[\omega_s=0\ ,\ \ \ \ r+1\leqslant s\leqslant m \]

定义的。这称为Pfaff方程组（即 \(m-r\) 个线性无关的一次微分方程）。

​ Frobenius条件是：每一对 \(1\leqslant \alpha,\beta\leqslant r\) 都有 \([X_\alpha,X_\beta]\in L^r\) 。利用 [Theo 2.4] ，

\[\text{d}\omega_s(X_\alpha,X_\beta)=X\left<Y,\omega_s\right>-Y\left<X,\omega_s\right>-\left<[X,Y],\omega_s\right>=-\left<[X,Y],\omega_s\right> \]

因此Frobenius条件等价于 \(\text{d}\omega_s(X_\alpha,X_\beta)=0\) 。\(\{X_1,\cdots,X_r\}\) 的对偶基 \(\{\omega_1,\cdots,\omega_r\}\) 与 \(\{\omega_{r+1},\cdots,\omega_m\}\) 共同组成了 \(T^*_p\) 的基，\(\text{d}\omega_s\) 在基 \(\{\omega_1,\cdots,\omega_m\}\) 下表示为

\[\text{d}\omega_s=\sum_{t=r+1}^{s}\psi^t_s\wedge\omega_t+\sum_{\alpha,\beta=1}^{r}a^{\alpha\beta}_s\omega_\alpha\wedge\omega_\beta \]

其中 \(\psi^t_s\) 是一次微分式，\(a^{\alpha\beta}_s\) 是关于上标反对称的光滑函数。将其带入 \(\text{d}\omega_s(X_\alpha,X_\beta)=0\) 得 \(a^{\alpha\beta}_s=0\) 。因此

\[\text{d}\omega_s=\sum_{t=r+1}^{s}\psi^t_s\wedge\omega_t \]

或者记作 \(\text{d}\omega_s\equiv0\ (\text{mod}\ (\omega_{r+1},\cdots,\omega_m))\)。这称为Pfaff方程组所适合的Frobenius条件。

​ 如果存在一个局部坐标 \(u^i\) 使得由方程

\[u^s=\text{const}\ ,\ \ \ \ r+1\leqslant s\leqslant m \]

定义的子流形满足Pfaff方程组，则称该Pfaff方程组是完全可积的。此时该Pfaff方程组等价于

\[\text{d}u^s=0\ ,\ \ \ \ r+1\leqslant s\leqslant m \]

而这等价于

\[L^r=\left\{ \frac{\part}{\part u^1},\cdots,\frac{\part}{\part u^r}\right\} \]

因此 第一章[Theo 4.4] 等价于如下的定理（利用 第二章[Theo 3.5]）：

[Theo 2.5] Pfaff方程组 \(\omega_\alpha=0\ ,\ 1\leqslant\alpha\leqslant r\) 完全可积的充要条件是 \(\text{d}\omega_\alpha\equiv0\ (\text{mod}\ (\omega_1,\cdots,\omega_r))\) ，换言之就是 \(\text{d}\omega_\alpha\wedge\omega_1\wedge\cdots\wedge\omega_r=0\) 。

​ 这里讨论的Frobenius条件是一个局部条件，将其联系到整体上，要利用下一节讨论的积分。

§3 外微分式的积分

[Def 3.1] 如果 \(m\) 维光滑流形 \(M\) 上存在一个处处非零的连续的 \(m\) 次外微分式 \(\omega\) ，则称 \(M\) 是可定向的， \(\omega\) 称为 \(M\) 的定向。

​ 两个定向 \(\omega,\omega'\) 之间相差一个连续函数 \(f\) ，即 \(\omega'=f\omega\) 。这个 \(f\) 要么处处为正，此时称 \(\omega'\) 规定了与 \(\omega\) 相同的定向；要么处处为负，称 \(\omega'\) 规定了与 \(\omega\) 相反的定向（即与 \(-\omega\) 相同的定向）。

​ 对于局部坐标系 \((U;u^i)\) ，外微分式 \(\text{d}u^1\wedge\cdots\wedge\text{d}u^m\) 给定了 \(U\) 的定向；如果其与 \(\omega|_U\) 同向，则称 \((U;u^i)\) 是与 \(M\) 的定向相符的坐标系。给定了定向的 \(M\) 显然可取定向相符的坐标系，两个相交的定向相符的坐标系之间的坐标变换的Jacobi矩阵的行列式处处为正。反之，如果给定了一族坐标卡，使得所有的坐标变换的Jacobi矩阵的行列式处处为正，那么 \(M\) 可定向。下面来证明这一点。

[Def 3.2] 对于 \(\varphi\in A(M)\) ，定义它的支集为

\[\text{supp}\ \varphi=\overline{\{p\in M\big|\varphi(p)\neq0\}} \]

特别的，光滑函数 \(f\) 的支集其非零值点集的闭包。

[Def 3.2] \(\varSigma\) 是 \(M\) 的一个开覆盖。如果 \(M\) 的任意一个紧致子集至多与有限个 \(\varSigma\) 的元素相交，则称 \(\varSigma\) 是一个局部有限开覆盖。

[Lem 3.1] 设 \(\varSigma\) 是流形 \(M\) 的一个拓扑基，则存在 \(\varSigma\) 的子集 \(\varSigma_0\) 是 \(M\) 的局部有限开覆盖。

Proof：流形 \(M\) 是第二可数且局部紧致的。取可数开覆盖 \(\{U_i\}\) 使得 \(\overline{U_i}\) 紧致，令

\[P_i=\bigcup_{r=1}^{i}\overline{U_r} \]

则 \(P_i\) 是紧致的，\(P_i\sub P_{i+1}\) ，且 \(\bigcup P_i=M\) 。下面构造一组紧致集 \(Q_i\) 使得 \(P_i\sub Q_i\) ，且 \(Q_i\sub \mathring Q_{i+1}\) （这里的 \(\mathring Q_{i+1}\) 表示 \(Q_{i+1}\) 的内部，即最大的开集 \(W\sub Q_{i+1}\)）。
令 \(Q_1=P_1\) 。归纳地，若定义了 \(Q_1,\cdots,Q_i\) ，因为 \(Q_i\cup P_{i+1}\) 是紧致的，则可用有限个 \(U_\alpha\) 将其覆盖。设其中最大的下标为 \(s\) ，令

\[Q_{i+1}=\bigcup_{\alpha=1}^{s}\overline{U_\alpha} \]

则 \(P_{i+1}\sub Q_{i+1}\) ，且 \(Q_i\sub\bigcup U_\alpha\sub\mathring Q_{i+1}\) 。这样构造的诸 \(Q_i\) 满足 \(\bigcup P_i=M\) 。
记 \(Q_{-1}=Q_0=\varnothing\) ，定义

\[L_i=Q_i-\mathring Q_{i-1}\ ,\ \ K_i=\mathring Q_{i+1}-Q_{i-1} \]

则 \(L_i\) 是紧致集，\(K_i\) 是开集，且 \(L_i\in K_i\) 。因为 \(\varSigma\) 是拓扑基，对于每一个 \(i\) ，由于 \(L_i\) 是紧致的，则可取有限个基元素 \(V^{(i)}_\alpha\) 使

\[L_i\sub\bigcup V^{(i)}_\alpha\sub K_i \]

所有这些 \(V^{(i)}_\alpha\) 构成的集合 \(\varSigma_0\) 是 \(M\) 的开覆盖。
下面证明 \(\varSigma_0\) 是局部有限的。对于任意紧致子集 \(A\) ，存在充分大的整数 \(i\) 使得 \(A\sub P_i\sub Q_i\) ，当 \(k\geqslant i+2\) 时，\(K_k\cap Q_i=\varnothing\) ，则 \(A\cap V^{(k)}_\alpha\sub Q_i\cap K_k=\varnothing\) 。因此 \(A\) 只与有限个 \(\varSigma_0\) 的元素相交。

[Theo 3.2] （单位分解定理）\(\varSigma\) 是光滑流形 \(M\) 的开覆盖，则存在一族光滑函数 \(\{g_\alpha:M\to[0,1]\}\) ，满足
（1）每一个 \(g_\alpha\) ，支集 \(\text{supp}\ g_\alpha\) 是紧致的，且存在开集 \(W_i\in\varSigma\) ，使得 \(\text{supp}\ g_\alpha\sub W_i\) 。
（2）每一点 \(p\in M\) ，存在邻域 \(U\) 使得其仅与有限个支集 \(\text{supp}\ g_\alpha\) 相交。
（3）\(\sum g_\alpha=1\) 。（由于条件（2），这个和在每一点处都是有限和，因此总是有意义）
这一族 \(\{g_\alpha\}\) 称为从属于 \(\varSigma\) 的单位分解。

Proof：因为 \(M\) 是流形，所以存在 \(M\) 的拓扑基 \(\varSigma_0=\{U_i\}\) ，使得 \(U_i\) 是坐标域，\(\overline{U_i}\) 是紧致的，并且存在 \(W_\alpha\in\varSigma\) 使得 \(\overline{U_i}\sub W_\alpha\) 。利用 [Lem 3.1] ，可以取 \(\varSigma_0\) 的子集 \(\varSigma_1\) 使得其是可数的局部有限开覆盖。可以逐个地“收缩” \(\varSigma_1=\{U_\alpha\}\) 的元素，得到开覆盖 \(\{V_\alpha\}\) ，使得 \(\overline{V_\alpha}\sub U_\alpha\) 。

具体而言，令 \(W_\alpha=\bigcup_{i\neq\alpha}U_i\) ，则 \(M-W\) 是包含在 \(U_\alpha\) 内的闭集。因为 \(\overline{U_\alpha}\) 是紧致的，因此 \(M-W\) 是紧致的，故存在有限个坐标域 \(S_j\) 使得每一个 \(\overline{S_j}\sub U_\alpha\) ，且 \(M-W\sub\bigcup S_j\) 。令 \(V_\alpha=\bigcup S_j\) 即可。

根据 第一章[Lem 3.3] ，存在光滑函数 \(h_\alpha:M\to[0,1]\) 使得

\[h_\alpha(p)=\left\{\begin{align*} 1 && p\in V_\alpha \\ 0 && p\notin U_\alpha \end{align*}\right. \]

显然 \(\text{supp}\ h_\alpha\sub\overline{U_\alpha}\) 。由于 \(\varSigma_1\) 的局部紧致性，对于每一点 \(p\) 取其邻域 \(U\) ，\(\overline{U}\) 仅与有限个 \(\varSigma_1\) 的元素相交，因此在这一点如下的和是有限和

\[h(p)=\sum_{\alpha}{h_\alpha(p)} \]

这样定义的 \(h:M\to\R\) 是光滑函数。由于 \(p\) 必然落在某个 \(V_\alpha\) 内，则 \(h\geqslant 1\) 。定义 \(g_\alpha=h_\alpha/h\) ，则这一族 \(\{g_\alpha\}\) 满足要求。

​ 有了单位分解，就可以定义外微分式的积分。可定向的 \(m\) 维光滑流形 \(M\) ，对于其上的有紧致支集的 \(m\) 次外微分式 \(\varphi\) ，任取一个定向相符的坐标覆盖 \(\{W_i\}\) 和其从属的单位分解 \(\{g_\alpha\}\) ，则

\[\varphi=\varphi\cdot\sum_{\alpha}{g_\alpha}=\sum_{\alpha}{g_\alpha\cdot\varphi} \]

显然 \(\text{supp}\ \varphi\cdot g_\alpha\sub\text{supp}\ g_\alpha\sub W_i\) ，可以定义

\[\int_M{\varphi}=\sum_{\alpha}{\int_{W_i}{g_\alpha\cdot\varphi}} \]

等式右边的积分是 \(\R^m\) 上的Riemann积分，即利用 \(W_i\) 的局部坐标 \(\{u^i\}\) ，有表示

\[g_\alpha\cdot\varphi=f(u^1,\cdots,u^m)\text{d}u^1\wedge\cdots\wedge\text{d}u^m \]

则右端的积分就是 \(m\) 重积分 \(\int_{W_i}f(u^1,\cdots,u^m)\text{d}u^1\wedge\cdots\wedge\text{d}u^m\) 。更换局部坐标系相当于积分换元，而对于另一个单位分解 \(\{g_\beta'\}\) ，有

\[\sum_{\beta}{\int{g_\beta'\cdot\varphi}}=\sum_{\beta}{\int{\left(\sum_{\alpha}{g_\alpha}\right)\cdot g_\beta'\cdot\varphi}}=\sum_\beta\sum_{\alpha}{\int{g_\alpha\cdot g_\beta'\cdot\varphi}}=\sum_{\alpha}{\int{g_\alpha\cdot\varphi}} \]

因此如上的定义与坐标覆盖和单位分解的选取无关，因而是良好定义的。

[Def 3.4] 可定向的 \(m\) 维光滑流形 \(M\) ，\(\varphi\) 是 \(M\) 上有紧致支集的 \(m\) 次外微分式，由

\[\int_M{\varphi}=\sum_{\alpha}{\int_{W_i}{g_\alpha\cdot\varphi}} \]

定义的数值 \(\int_M\varphi\) 称为外微分式 \(\varphi\) 的在 \(M\) 上的积分。显然，积分 \(\int_M\) 是 \(A^m(M)\) 上的线性函数。

​ 若 \(r<m\) ，对于有紧致支集的 \(r\) 次外微分式 \(\varphi\) ，可以定义其在 \(M\) 的 \(r\) 维子流形上的积分。指定 \(r\) 维嵌入子流形 \(N\) 和嵌入 \(h:N\to M\) ，则 \(h^*\varphi\) 是 \(N\) 上的 \(r\) 次外微分式，定义

\[\int_{h(N)}\varphi=\int_N{h^*\varphi} \]

§4. Stokes公式

[Def 4.1] \(m\) 维光滑流形 \(M\) ，其中的带边区域 \(D\) 是 \(M\) 的一个子集，其中的点分为两类：
（1）内点：该点存在一个邻域包含在 \(D\) 内。
（2）边界点：该点 \(p\) 有一个局部坐标系 \((U;u^i)\) ，使得 \(p\) 是原点，且 \(U\cap D=\{q\in U\big|u^m(q)\geqslant0\}\) 。这样的坐标系 \((U;u^i)\) 称为 \(p\) 点的适用坐标系。所有边界点的集合称为 \(D\) 的边界，记作 \(B\) 。

[Theo 4.1] 带边区域 \(D\) 的边界 \(B\) 是 \(M\) 的闭子流形。如果 \(M\) 可定向，则 \(B\) 可定向。

Proof：边界 \(B\) 显然是闭集。取 \(p\) 点的适用坐标系 \((U;u^i)\) ，则

\[U\cap B=\{q\in U\big|u^m(q)=0\} \]

根据 第一章[Eg 3.2] 所定义的，\(B\) 是 \(M\) 的闭子流形。
若 \(M\) 可定向，取 \(p\) 点的定向相符的适用坐标系 \((U;u^i)\) ，那么 \((-1)^m\text{d}u^1\wedge\cdots\wedge\text{d}u^{m-1}\) 给出了 \(B\cap U\) 的定向。下证这个定向在不同坐标系之间是相容的。取另一个 \(p\) 点的定向相符的适用坐标系 \((V;v^i)\) ，则

\[\frac{\part(u^1,\cdots,u^m)}{\part(v^1,\cdots,v^m)}>0 \]

设 \(v^m=f^m(u^1,\cdots,u^m)\) ，则对任意固定的 \(u^1,\cdots,u^{m-1}\) ，\(v^m\) 与 \(u^m\) 同号，因此在 \(p\) 点处 \(\cfrac{\part u^m}{\part v^m}>0\) 。则

\[\frac{\part(u^1,\cdots,u^{m-1})}{\part(v^1,\cdots,v^{m-1})}>0 \]

即 \((-1)^m\text{d}u^1\wedge\cdots\wedge\text{d}u^{m-1}\) 与 \((-1)^m\text{d}v^1\wedge\cdots\wedge\text{d}v^{m-1}\) 给出了 \(B\cap U\cap V\) 的相同的定向。因此 \(B\) 是可定向的。

​ 如此定向的边界 \(B\) 记作 \(\part D\) 。

[Theo 4.2] （Stokes公式）设 \(D\) 是 \(m\) 维定向流形 \(M\) 中的带边区域，\(\omega\) 是 \(M\) 上的有紧致支集的 \(m-1\) 次外微分式，则（若 \(\part D=\varnothing\) 则规定右侧的积分为零）

\[\int_D\text{d}\omega=\int_{\part D}\omega \]

Proof：取一个定向相符的坐标覆盖 \(\{U_i\}\) 和其从属的单位分解 \(\{g_\alpha\}\) ，只需对于每一个 \(\alpha\) 证明

\[\int_D\text{d}(g_\alpha\cdot\omega)=\int_{\part D}g_\alpha\cdot\omega \]

不妨假设 \(\text{supp}\ \omega\) 包含在一个定向相符的局部坐标系 \((U;u^i)\) 内。设 \(\omega\) 表为

\[\omega=\sum_{j=1}^{m}{(-1)^{j-1}a_j\text{d}u^1\wedge\cdots\wedge\text{d}u^{j-1}\wedge\text{d}u^{j+1}\wedge\cdots\wedge\text{d}u^m} \]

其中 \(a_j\) 是 \(U\) 上的光滑函数，则

\[\text{d}\omega=\sum_{j=1}^{m}{\frac{\part a_j}{\part u^j}\text{d}u^1\wedge\cdots\wedge\text{d}u^m} \]

（1）若 \(U\cap\part D=\varnothing\) ，则右侧的积分为零。\(U\) 要么与 \(D\) 不交，要么包含在 \(D\) 内。对于前者，左侧的积分显然为零；对于后者，左侧的积分为

\[\int_D\text{d}\omega=\sum_{j=1}^{m}\int_U\frac{\part a_j}{\part u^j}\text{d}u^1\cdots\text{d}u^m \]

考虑一个包含 \(U\) 的方体 \(C=\{(u^i)\big||u^i|\leqslant K,1\leqslant i\leqslant m\}\) ，将 \(a_j\) 的定义域扩展到 \(C\) 上使得 \(a_j\) 在 \(C-U\) 上为零，则 \(a_j\) 在 \(C\) 上的光滑函数。因此

\[\begin{align*} \int_U\frac{\part a_j}{\part u^j}\text{d}u^1\cdots\text{d}u^m & =\int_C\frac{\part a_j}{\part u^j}\text{d}u^1\cdots\text{d}u^m \\ & =\int_{\substack{|u^i|\leqslant K\\i\neq j}}\left(\int_{-K}^K\frac{\part a_j}{\part u^j}\text{d}u^j\right)\text{d}u^1\cdots\text{d}u^{j-1}\text{d}u^{j+1}\cdots\text{d}u^m \\ \end{align*} \]

其中的（注意到积分的两个端点都在 \(U\) 外）

\[\int_{-K}^K\frac{\part a_j}{\part u^j}\text{d}u^j=a_j(u^1,\cdots,K,\cdots,u^m)-a_j(u^1,\cdots,-K,\cdots,u^m)=0 \]

因此左侧的积分为零。
（2）若 \(U\cap\part D\neq\varnothing\) ，不妨设 \((U;u^i)\) 是适用坐标系，即

\[U\cap D=\{q\in U\big|u^m(q)\geqslant 0\} \\ U\cap \part D=\{q\in U\big|u^m(q)=0\} \]

取方体 \(C=\{(u^i)\big||u^i|\leqslant K,1\leqslant i\leqslant m-1;0\leqslant u^m\leqslant K\}\) ，使其包含 \(U\cap D\) ，同样扩展 \(a_j\) 的定义域，则右侧的积分为

\[\begin{align*} \int_{\part D}\omega &=\sum_{j=1}^{m}(-1)^{j-1}\int_{U\cap\part D}{a_j\text{d}u^1\wedge\cdots\wedge\text{d}u^{j-1}\wedge\text{d}u^{j+1}\wedge\cdots\wedge\text{d}u^m} \\ &=(-1)^{m-1}\int_{U\cap\part D}{a_m\text{d}u^1\wedge\cdots\wedge\text{d}u^{m-1}} \\ &=-\int_{\substack{|u^i|\leqslant K\\1\leqslant i\leqslant m-1}}a_m(u^1,\cdots,u^{m-1},0)\text{d}u^1\cdots\text{d}u^{m-1} \end{align*} \]

第二步是因为在 \(U\cap\part D\) 上 \(\text{d}u^m=0\) ，第三步考虑了 \(\part D\) 的定向。
左侧的积分为

\[\begin{align*} \int_D\text{d}\omega &=\sum_{j=1}^{m}\int_{U\cap D}{\frac{\part a_j}{\part u^j}\text{d}u^1\wedge\cdots\wedge\text{d}u^m} \\ &=\int_{U\cap D}{\frac{\part a_m}{\part u^m}\text{d}u^1\wedge\cdots\wedge\text{d}u^m} \\ &=\int_{\substack{|u^i|\leqslant K\\1\leqslant i\leqslant m-1}}\left(\int_0^K\frac{\part a_m}{\part u^m}\text{d}m\right)\text{d}u^1\cdots\text{d}u^{m-1} \\ &=-\int_{\substack{|u^i|\leqslant K\\1\leqslant i\leqslant m-1}}a_m(u^1,\cdots,u^{m-1},0)\text{d}u^1\cdots\text{d}u^{m-1} \end{align*} \]

第二个等号根据（1）得出的，第四个等号是因为括号内积分的右端点在 \(U\) 外。
综上（1）（2）得证。

Note：实际应用时，带边区域 \(D\) 往往是紧致的，因此无需假定外微分式有紧致支集，公式仍然成立。

​ 积分对积分区域也有可加性^[6]。这样看，积分即是积分区域与外微分形式的配合，而边界算子 \(\part\) 与微分算子 \(\text{d}\) 便是这配合下的一对对偶映射，具体而言

\[(D,\text{d}\omega)=\int_D\text{d}\omega=\int_{\part D}\omega=(\part D,\omega) \]

​ 更多的同调论性质在此暂且不论。

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1. 这里 \(V^r_s\)​​​​ 的拓扑，应当是利用 \(V^r_s\)​​​​ 与 \(\R^{r+s}\)​​​​ 的线性同构构造（或者说直接产生）的同胚。事实上取 \(V=\R\)​​​​ 无妨。 ↩︎

2. 这里没有“光滑的”这一修饰词，或许指的是更一般的情况。 ↩︎

3. 这里原书取 \(V=\R^q\)​ 。若取 \(V=\C^q\)​ （或更一般的 \(q\)​ 维复向量空间），则得到的是复 \(q\)​ 维矢量丛。实矢量丛的结论稍加修改就可以照搬到复矢量丛上。 ↩︎

4. 这里的右上标 \(\text{t}\) 表示矩阵转置。原书使用的是左上标。 ↩︎

5. 澄清一下此处的记号。 \(\text{d}\omega\)​ 作为二次外微分式，实质上是切空间的双线性函数，因此可以作用于切矢量对 \((X,Y)\)​ 。诸 \(\left<\cdot,\omega\right>\)​ 是切丛和余切丛的配合。 ↩︎

6. 积分区域的“线性结构”可以用奇异链来描述。拓扑子空间 \(\Delta^n=\{(x^i)\in\R^{n+1}\big|\sum x^i=1,x^i\geqslant 0\}\) 称为标准 \(n\)-单形。对于拓扑空间 \(X\) ，连续映射 \(\sigma:\Delta^n\to X\) 称为 \(X\) 中的一个奇异 \(n\)-单形。对于一个交换环 \(R\) ，有限个奇异 \(n\)-单形 \(\sigma_i\) 的线性组合 \(\sigma=\sum a_i\sigma_i\) （其中 \(a_i\in R\)）称为一个 \(R\)-系数的奇异 \(n\)-链。取 \(X\) 为流形，\(R=\R\) ，就得到积分区域的线性结构。 ↩︎