《微分几何讲义(陈省身)》读书笔记 第二章 多重线性代数

第二章 多重线性代数

Note:本文默认了基本的向量空间和矩阵的相关知识。本文中所有的向量空间默认是有限维的,且定义在一个域 F 上。本文采用Einstein求和约定。

§1 张量积

[Def 1.1] 对于向量空间 V1,,VrZ ,若映射 f:V1××VrZ 对于每一个分量都是线性的,即

f(v1,,ui+vi,,vr)=f(v1,,ui,,vr)+f(v1,,vi,,vr)

对于任意的 1irui,viVi 和其余的 vjVj 成立,则称 f 为一个 r 重线性映射。当取 Z=F 时,称 f 为一个 r 重线性函数。全体这样的映射构成的集合记作 L(V1,,Vr;Z) ,它仍是一个向量空间。

​ 希望将多重线性映射转换为线性映射(即一重线性映射)来研究。具体而言,从二重的情况出发,对于双线性映射 f:V×WZ ,希望基于 V,W 构造一个向量空间 Y ,以及一个双线性映射 h:V×WY ,使得存在唯一的线性映射 g:YZ 满足 f=gh 。这个 Y 就是 V,W 的张量积。

​ 为了叙述方便[1],先定义对偶空间 V,W 的张量积。对于 vV,wW ,定义这两个线性函数的张量积 vw 为 (以下的 xV,yW

vw(x,y)=v(x)w(y)=x,vy,w

可见 vwV×W 上的双线性函数。由此:

[Def 1.2] 向量空间 V,W 的张量积 VW 是由形如 vw 的元素张成的向量空间。

​ 在 V,W 上分别取基 {ai},{bα} ,那么 vw 可以表示为

vw=i,αv(ai)w(bα)aibα

其中 {ai},{bj} 是相应的对偶基。这说明 aibα 构成 VW 的基,继而可以说明所有 V,W 上的双线性函数都可以表示为其线性组合,因此 VW=L(V,W;F)

​ 同样,可以定义 VW=L(V,W,F) 。两个空间 VWVW 显然是对偶的,配合是

xy,vw=x,vy,w

特别的

aibα,ajbβ=δijδαβ={1    (i,α)=(j,β)0    (i,α)(j,β)

因此 {aibα}{aibα} 互为对偶基。

​ 以下验证张量积满足它被希望的性质:

[Theo 1.1]h:V×WVWh(v,w)=vw ,则任意双线性映射 f:V×WZ ,存在唯一的线性映射 g:VWZ 满足 f=gh

Proof:对于基 {aibα} ,这个 g 定义为 g(aibα)=f(ai,bα) ,可以验证 f=gh

推论L(V,W;Z) 同构于 L(VW;Z)

​ 自然的,线性函数的张量积运算可以推广到多重线性函数上。对于 r 重线性函数 fL(V1,,Vr;F)s 重线性函数 gL(W1,,Ws;F) ,张量积 fg 定义为 r+s 重线性函数

fg(v1,,vr,w1,,ws)=f(v1,,vr)g(w1,,ws)

那么张量积是双线性映射 L(V1,,Vr;F)×L(W1,,Ws;F)L(V1,,Vr,W1,,Ws;F)

[Theo 1.2] 张量积运算是结合的。

​ 由此可以无歧义的使用形如 vwz 这样的记号。同样,定义多个向量空间的张量积为其上的线性函数的张量积所张成的空间。容易证明 V1Vr=L(V1,,Vr;F) 。自然,多元张量积也满足

[Theo 1.3]h:V1××VrV1Vrh(v1,,vr)=v1vr ,则任意 r 重线性映射 f:V1××VrZ ,存在唯一的线性映射 g:V1VrZ 满足 f=gh

§2 张量

​ 微分几何中常常讨论一个空间和它自己的对偶空间的张量积,其元素称为张量。

[Def 2.1] 向量空间 V 和其对偶空间 V ,张量积

Vsr=VVrVVs

的元素称为 (r,s)张量,其中 r 是张量的反变阶数s 是其协变阶数[2]

​ 特别的, V0r 的元素称为 r 阶反变张量, Vs0 的元素称为 s 阶协变张量;V01=V 的元素称作反变矢量,V10=V 的元素称为协变矢量;约定 V00=F[3]

​ 若取出 V 的基 {ei,1in} 以及 V 上的对偶基,则 Vsr 的一个基张量可以表示为

ei1eirek1eks        1i1,,ir,k1,ksn

此时 Vsr 中的张量 x 可以用分量表示为(此处及以后默认采用Einstein求和约定):

x=xk1ksi1irei1eirek1eks

很明显的,(以下先后将 x 当作多重线性映射和张量)

xk1ksi1ir=x(ei1eirek1eks)=ei1eirek1eks,x

​ 变换 V 的基以后,张量的分量遵循一定的变换规律。对于另一组基 {e¯i,1in} ,相应的坐标变换矩阵是 α=(αij) ,那么有

e¯i=αijej ,   e¯i=(α1)jiej

带入 x 的分量表达式,有

x=x¯k1ksi1ire¯i1e¯ire¯k1e¯ks=x¯k1ksi1irαi1j1αirjr(α1)l1k1(α1)lsksej1ejrel1els

所以

xl1lsj1jr=x¯k1ksi1irαi1j1αirjr(α1)l1k1(α1)lsks

这个变换公式可以说是张量的基本性质(如果采取经典张量分析的观点,即通过变换方式来刻画张量,那此式就是定义张量的依据)。

Note:以下讨论张量的代数性质,即其在各种运算下的结构。

​ 作为向量空间, Vsr 上有加法和数乘。通过多重线性映射的张量积,可以定义张量的乘法。

[Def 2.2] (r1,s1) 型张量 x(r2,s2) 型张量 y ,它们的张量积 xy(r1+r2,s1+s2) 型张量,定义作

xy(v1,,vr1+r2,v1,,vs1+s2)=x(v1,,vr1,v1,,vs1)y(vr1+1,,vr1+r2,vs1+1,,vs1+s2)

取定基后, xy 的分量是 x,y 的分量的积

(xy)k1ks1+s2i1ir1+r2=xk1ks1i1ir1yks1+1ks1+s2ir1+1ir1+r2

根据 §1 的讨论,张量的乘法满足分配律和结合律。

[Def 2.3] 取定两个指标 1λr,1μs ,对于任意一个形如如下的 (r,s) 型张量

x=v1vrv1vs

令(其中 v^λ 表示去掉这一因子)

Cλμ(x)=vλ,vμv1v^λvrv1v^μvs

那么 Cλμ(x)Vs1r1 ,将映射 xCλμ(x) 扩充到整个 Vsr 上得到的线性映射 Cλμ:VsrVs1r1 称为缩并

​ 根据缩并的定义,取定基后,缩并 Cλμ(x) 的分量是将 xλ 个上标和第 μ 个下标“对应地”求和(从求和约定的角度看,就是将对应位置的指标 iλ,kμ 换成求和指标 j

(Cλμ(x))k1k^μksi1i^λir=xk1k^μ1jkμ+1ksi1i^λ1jiλ+1ir

缩并降低了张量的阶数,是很基本的运算。例如,将方阵看做 (1,1) 型张量,它的缩并就是它的迹。

​ 下面讨论建立在张量上的代数结构。为了统一起见,记 V0r=Tr(V) 。记 {1,,r} 的置换群为 Sr ,它的一个元素 σ 决定了 Tr(V) 上的一个自同态:对于 xTr(V) 定义

σx(v1,,vr)=x(vσ(1),,vσ(r))

其中 viV 。容易证明对于 x=v1vr ,有( σ1 表示 σ 的逆元)

σx=vσ1(1)vσ1(r)

[Def 2.4] 张量 xTr(V) ,若对于任意的 σSr ,都有 σx=x ,则称 x对称的 r 阶反变张量,而若 σx=sgn σx ,( sgn 表示置换的符号,偶置换取 +1 ,奇置换取 1 ),则称 x反对称的 r 阶反变张量。全体对称的 r 阶反变张量记作集合 Pr(V) ,全体反对称的 r 阶反变张量记作 Λr(V)

推论:张量是对称的(或反对称的) 张量的分量关于各指标是对称的(反对称的)。即取定基后,

xi1ir=xiσ(1)iσ(r)        ( xi1ir=sgn σxiσ(1)iσ(r))

[Def 2.5] 对于 xTr(V) ,定义 Tr(V) 的自同态

Sr(x)=1r!σSrσx ,    Ar(x)=1r!σSrsgn σσx

分别称为 r 阶反变张量的对称化算子反对称化算子

推论Pr(V)=Sr(Tr(V))Λr(V)=Ar(Tr(V))

​ 相应的,r 阶协变张量也有相应的 Tr(V),Pr(V),Λr(V)

§3 外代数

​ 由于Cartan系统地发展了外微分方法,反对称张量在对流形的研究中有十分重要的地位。

[Def 3.0] 反对称的 r 阶反变张量又称为r 次矢量,空间 Λr(V) 称为 V 上的r 次矢量空间。为了方便起见,规定 Λ1(V)=V,Λ0(V)=F 。相应的,反对称的 r 阶协变张量又称为 r 次外形式,空间 Λr(V) 称为 V 上的 r 次外形式空间

​ 外矢量最重要的是外积运算。

[Def 3.1] 对于外 k 次矢量 ξ 和外 l 次矢量 η ,它们的外积 ξη 是外 k+l 次矢量,定义为

ξη=(k+l)!k!l!Ak+l(ξη)=1k!l!σSk+lsgn σσ(ξη)

[Theo 3.1] 外积满足运算律(以下的 ξ,ξ1,ξ2Λk(V),η,η1,η2Λl(V),ζΛh(V)
(1) 分配律:(ξ1+ξ2)η=ξ1η+ξ2ηξ(η1+η2)=ξη1+ξη2
(2) 反交换律: ηξ=(1)klξη ;继而 ξξ=0
(3) 结合律:(ξη)ζ=ξ(ηζ)

Proof(1) 基于反对称化算子的线性性质。(2) 需要构造一个置换

τ=(1ll+1l+kk+1k+l1k)

那么 ηξ=τ(ξη)=(1)klξη(3) 通过定义计算可以得到

(ξη)ζ=(k+l+h)!k!l!h!Ak+l+h(ξηζ)=ξ(ηζ)

​ 下面考虑外矢量空间的基。若外矢量 ξ=ξi1irei1eir ,由于反对称化算子的线性性质,

ξ=Ar(ξ)=ξi1irAr(ei1eir)=1r!ξi1irei1eir

因此,次数 r>n 的外矢量都是零,即 Λr(V)={0} 。由于 ξi1ir 关于上标是反对称的,则 ξ 可以写成

ξ=i1<<irξi1irei1eir

​ 下面证明这样的一共 Cnrei1eir 是线性无关的。首先考虑将 ei1eir 视作多重线性函数时它的作用效果。对于 v1,,vrV

ei1eir(v1,,vr)=σSrsgn σei1,vσ(1)eir,vσ(r)=det(ei1,vσ(1)ei1,vσ(r)eir,vσ(1)eir,vσ(r))=det(eiα,vβ)

特别的,

ei1eir(ej1,,ejr)=det(eiα,ejβ)=δi1irj1jr={1{iα}{jβ}1{iα}{jβ}0

其中记号 δi1irj1jr 称为广义Kronecker记号

​ 下面验证线性无关性。若不然,对于

1i1<<irnai1irei1eir=0

其中某个 ai1ir0 ,假设与其互补的指标是 k1,,knr ,那么用 ek1eknr 外乘上式的两边,得(左边外乘后仅有一项,因为其他的指标组都与 k1,,knr 有重复)

(ai1irei1eir)(ek1eknr)=± ai1ire1en=0

e1en0 (因为 e1en(e1,,en)=1 ),则 ai1ir=0 ,矛盾。因此这组外矢量是线性无关的。它们因而是 Λr(V) 的基, dimΛr(V)=Cnr

[Def 3.2] 各个 0rnΛr(V) 的直和记作 Λ(V) ,这是一个 2n 维向量空间,其上定义的外积运算为

(r=0nξr)(s=0nηs)=r,s=0nξrηs

这样得到一个 F 上的代数,称为 V外代数,或Grassmann代数

​ 同样的,有 V 上的外代数 Λ(V) 。相互对偶的 Λr(V),Λr(V) 有自然的配合

v1vr,v1vr=det(vα,vβ)

NoteΛr(V),Λr(V) 作为 Tr(V),Tr(V) 的子空间,继承了 Tr(V),Tr(V) 上的配合,这个配合与上式定义的配合之间相差一个系数 r! 。在上下文中,这两种配合是无歧义的。

​ 下面考虑两个外代数之间的关系。线性映射 f:VW 在每一 r 次外形式空间(1rn)上都诱导出映射 f:Λr(V)Λr(W) 。具体而言,对于 φΛr(W) ,和任意 v1,,vrV

fφ(v1,,vr)=φ(f(v1),,f(vn))

[Theo 3.2] 对于任意 φΛr(W),ψΛs(V) ,有 f(φψ)=fφfψ

Proof:任意 v1,,vr+sV ,有

f(φψ)(v1,,vr+s)=φψ(f(v1),,f(vr+s))=1r!s!σSr+ssgn σφ(f(vσ(1)),,f(vσ(r)))ψ(f(vσ(r+1)),,f(vσ(r+s)))=1r!s!σSr+ssgn σfφ(vσ(1),,vσ(r))fψ(vσ(r+1),,vσ(r+s))=fφfψ(v1,,vr+s)

​ 下面的几个命题体现了外代数在线性代数方面的性质。

[Theo 3.3] 矢量 v1,,vrV 线性相关 v1vr=0

Proof :不妨假设 vr=a1v1++ar1vr1 ,则将外积用结合律展开之后,每一项都是 0
:证其逆否。线性无关的 v1,,vr 可以扩充成 V 的基 v1,,vr,vr+1,,vn ,而

v1vrvr+1vn0

因此 v1vr0

[Theo 3.4](Cartan引理)v1,,vrw1,,wrV 的两组矢量,满足

i=1rviwi=0

如果 v1,,vr 线性无关,则 wα 可以表示为其线性组合

wα=β=1raαβvβ

aαβ=aβα

Proof:将 v1,,vr 扩充成 V 的基 v1,,vr,vr+1,,vn ,并表示 wα

wα=β=1raαβvβ+i=r+1naαivi

将其带入外积的条件,得到

0=α,β=1raαβvαvβ+α=1ri=r+1naαivαvi=1α<βr(aαβaβα)vαvβ+α=1ri=r+1naαivαvi

可见 {vαvβ,vαvi}Λ2(V) 的一组基,因此

aαβaβα=0 ,    aαi=0

wα=β=1raαβvβ ,    aαβ=aβα

[Theo 3.5] 线性无关的 v1,,vrV ,外 p 次矢量 w 。存在 ψ1,,ψrΛp1(V) 使得

w=v1ψ1++vrψr

的充要条件是 v1vrw=0

Proof:当 p+r>n 时,两个式子都是显然成立的(前者是因为 dimΛp(V)<rdimΛp1(V) ,后者是因为高于 n 次的外矢量 =0)。下面假设 p+rn ,必要性是显然的。充分性:将 v1,,vr 扩充成 V 的基 v1,,vr,vr+1,,vn ,则 w 可以表示为

w=v1ψ1++vrψr+r+1a1<<apnξa1apva1vap

其中 ψ1,,ψrΛp1(V) 。带入条件式得到

r+1a1<<apnξa1apv1vrva1vap=0

而这些 v1vrva1vap 组成 Λp+r(V) 的基的一部分,因此 ξa1ap=0 ,即得证。

Note:这种情况通常记作 w0 (mod (v1,,vr)) 。注意与 第一章 注4 的异同。

[Theo 3.6] V 中的两组矢量 vα,wα;vα,wα (1αk) 。如果 vα,wα 线性无关,且满足

α=1kvαwα=α=1kvαwα

vα,wα 线性无关,可以表示为 vα,wα 的线性组合。

Proof:将条件式自乘 k 次,得到

k!(v1w1vkwk)=k!(v1w1vkwk)

[Theo 3.3]vα,wα 线性无关。式子两边同时外乘 vα ,得

v1w1vkwkvα=0

因此 vα 可以表示为 vα,wα 的线性组合。

Note:以下简单介绍一下Grassmann流形的定义,但是略去它的性质。

​ 用 G(k,n) 表示 n 维线性空间 Vk 维子空间 Lk 构成的集合。其上有自然的微分结构,得到的 k(nk) 维微分流形称为Grassmann流形。k=1 时得到的 G(1,n) 即是射影空间 Pn1

​ 对于 LkG(k,n) ,取它的一组基 v1,,vk ,定义外矢量 ξ=v1vk ,称为该子空间的Plücker-Grassmann坐标。对于另一组基 w1,,wk ,有坐标变换

wj=i=1ktjivi

那么另一个这样的外矢量 ξ=w1wk 满足

ξ=w1wk=det(tji)v1vk=det(tji)ξ

因此Plücker-Grassmann坐标被确定到只差一个非零数量因子。 k=1 时这就是射影空间的齐次坐标[4]

​ 具体而言,取定 V 的基 {e1,,en} 。对于 LkG(k,n) ,取它的一组基 v1,,vk ,表示为

vα=i=1nvαiei

那么 Lk 的Plücker-Grassmann坐标为

ξ=v1vk=i1<<ikpi1ikei1eik

其中的系数

pi1ik=det(v1i1v1ikvki1vkik)=det(vαiβ)

被确定到只差一个非零数量因子。

​ 由于系数的个数 Cnk 不小于空间的维数 k(nk) ,各个系数 pi1ik 之间存在着约束条件。这个约束条件称为Plücker方程(又称为Plücker Relations)。



  1. 结合第一章的讨论,从对偶空间出发,利用其自然的函数性来讨论问题,能带来不少方便。 ↩︎

  2. 事实上,VV 不一定按定义式中的次序排列,这里是为了方便,并且不妨忽视排列次序这一点。 ↩︎

  3. 有必要强调上下标的意义。约定反变的基矢量使用下标,协变的基矢量使用上标。为了Einstein求和约定,相应的与反变基矢量对应的指标使用上标,与协变基矢量对应的指标使用下标。在确定了基的情况下,用分量的形式表示张量,则分量的上标对应反变阶数,下标对应协变阶数。 ↩︎

  4. 事实上 G(k,n) 与射影空间有更深刻的关系:存在着Plücker嵌入 G(k,n)PCnk1 (后者可以看作定义在 Λk(V) 上的射影空间) ↩︎

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