《微分几何讲义(陈省身)》读书笔记 第一章 微分流形
第一章 微分流形
Note:本文中,欧氏空间中的向量的分量用上标表示。
§1 微分流形的定义
[Def 1.1] M 是一个第二可数的Hausdorff空间。若对任意 x∈M ,都存在 x 的一个邻域 U 同胚于 Rm 的一个开集,则称 M 是一个 m 维流形(或拓扑流形)。记同胚映射为 φU:U→φU(U) ,则 (U,φU) 称为 M 的一个坐标卡;对于 y∈U ,记 u=φU(y) ,则 ui (1⩽i⩽m) 称为 y 的局部坐标。
对于函数 f:U→R (U∈Rm) ,如果 f 的所有 r 阶偏导数都存在,则称 f 是 r 次可微的或 Cr 的。如果有任意阶偏导数,则称 f 是光滑的或者 C∞ 的。如果 f 在 U 的每一点的附近都可以用收敛的幂级数表示,则称 f 是解析的或者 Cω 的。
考虑两个坐标卡 (U,φU) 和 (V,φV) ,若 U∩V≠∅ ,则
是同胚,其逆为 g=φU∘φ−1V。如果 f,g 的每一个分量函数 fi,gi 都是 Cr 的,则称这两个坐标卡是 Cr 相容的。(当然,若 U∩V=∅ ,也认为两者相容)
[Def 1.2] 在 m 维流形 M 上给定一族坐标卡 A={(U,φU),(V,φV),⋯} ,若
(1) {U,V,⋯} 是 M 的开覆盖 (2) A 中任意两个坐标卡是 Cr 相容的
(3) A 是极大的,即 M 的任意一个与 A 中每个坐标卡都相容的坐标卡都在 A 中
则称 A 是 M 的一个 Cr−微分结构,给定了此结构的 M 称为一个 Cr−微分流形。 C∞−微分流形又称光滑流形, Cω−微分流形又称解析流形。必要时默认所谓流形是光滑流形。
[Eg 1.1] m 维射影空间 Pm
在 Rm+1−{0} 上定义等价关系:对于 x,y∈Rm+1−{0} ,若 ∃ α∈R 使得 x=αy ,则 x∼y 。商空间 Pm=(Rm+1−{0})/∼ 称为射影空间,数组 (xi)1⩽i⩽m+1 称为 [x]∈Pm 的齐次坐标。坐标卡:
其中的 1⩽i⩽m+1, iξj=xj/xi 。由于 {Ui} 构成开覆盖,且有坐标变换 jξk=iξk/iξj,jξi=1/iξj ,那么给定了 {(Ui,φi)} 的 Pm 是光滑流形。
[Def 1.3] 光滑流形 M 上的连续函数 f:M→R 。若对 p∈M 和包含 p 的坐标卡 (U,φU) ,函数 f∘φ−1U 在点 φU(p) 处是 C∞ 的,则称 f 在点 p 处是光滑的。处处光滑的函数 f 称为 M 上的光滑函数。 M 上全体光滑函数的集合记作 C∞(M) 。
光滑流形 M 到 N 的连续函数 f:M→N 。若对 p∈M ,以及包含 p 的坐标卡 (U,φU) 和包含 f(p) 的坐标卡 (V,ψV) ,映射 ψV∘f∘φ−1U 的每一个分量函数在点 φU(p) 处是 C∞ 的,则称 f 在点 p 处是光滑的。处处光滑的映射 f 称为 M 到 N 的光滑映射。
对于同胚 f:M→N ,若 f,f−1 都是光滑映射,则称 f 为可微同胚。
Note:光滑性和坐标卡的选取是无关的。具体而言,对于坐标卡 (U,φU) 和 (V,φV) ,由于坐标变换是光滑的,而且 f∘φ−1V=(f∘φ−1U)∘(φU∘φ−1V) ,那么 f∘φ−1V 和 f∘φ−1U 的光滑性等价。
[Def 1.4] 光滑流形 M,N 。拓扑积空间 M×N 上由坐标卡族 {Uα×Vβ,φα×ψβ} 给出的光滑流形结构称为 M 和 N 的积流形。投射 π1:M×N→M,π2:M×N→N 显然是光滑映射。
§2 切空间
类比切线、切平面的概念,微分流形可以引进切空间和余切空间的概念,以达到在每一点附近用线性空间近似流形的目的。下面从余切空间入手,再通过对偶构造切空间。
补充光滑函数的定义。开集 V⊂M 和函数 f:V→R 。若任意与 V 相交的坐标卡 (U,φU) ,函数 f∘φ−1U 是 φU(U∩V) 上的光滑函数,则称 f 是定义在 V 上的光滑函数。
固定一点 p∈M 。定义在 p 的邻域上的光滑函数构成集合 C∞p ,其上有加法和乘法(例如,对于f:U→R 和g:V→R ,函数 f+g:U∩V→R 满足 ∀p∈U∩V,(f+g)(p)=f(p)+g(p))。定义 C∞p 上的等价关系:若存在 p 的邻域 H 使得 f|H=g|H ,则 f∼g 。令商空间 Fp=C∞p/∼ ,其中的等价类 [f] 称为 p 点处的 C∞−函数芽,那么 Fp 是一个无穷维实线性空间。
光滑函数 γ:(−1,1)→M 使得 γ(0)=p 称作经过点 p 的参数曲线,其构成的集合记作 Γp。对于γ∈Γp 和 [f]∈Fp ,定义配合:
对于固定的 γ ,⟨⟨γ,⋅⟩⟩:Fp→R 是线性函数。定义 Hp={[f]∈Fp|⟨⟨γ,[f]⟩⟩=0,∀γ∈Γp} 。
[Theo 2.1] [f]∈Fp ,对于包含 p 的坐标卡 (U,φU) ,令 F=f∘φ−1U ,则 [f]∈Hp 当且仅当
Proof:记参数曲线的坐标表示为 xi(t)=(φU∘γ(t))i, 1⩽i⩽m ,则
⟨⟨γ,[f]⟩⟩=d(f∘γ)dt|t=0=ddt((f∘φ−1U)∘(φU∘γ(t)))|t=0=ddtF(x1(t),⋯,xm(t))|t=0=m∑i=1∂F∂xi|φU(p)⋅dxi(t)dt|t=0由于 γ 选取的任意性,dxi(t)dt|t=0 可取到任何实数值,因而要求所有的 ∂F∂xi|φU(p)=0 。
[Def 2.1] 商空间 Fp/Hp 称为流形 M 在 p 点的余切空间,记作 T∗p 。函数芽 [f]∈Fp 的等价类记作 (df)p ,称为流形 M 在 p 点的余切矢量。它是一个无穷维实线性空间。
对于在 p 的邻域上的光滑函数 f , (df)p 也称作 f 在 p 点的微分。若 (df)p=0 则称 p 是 f 的临界点。
[Theo 2.2] f1,⋯,fs∈C∞p ,而 F(f1(p),⋯,fs(p)) 是点 x=(f1(p),⋯,fs(p)) 附近的光滑函数,则 f=F(f1,⋯,fs) 是定义在 p 的邻域上的光滑函数,且
Proof: f 的定义域是 p 的有限个邻域的交。由于 F 光滑,则 f 光滑。记 ak=∂F∂xi|x ,则对于任意的 γ∈Γp ,有:
⟨⟨γ,[f]⟩⟩=d(f∘γ)dt|t=0=ddtF(f1∘γ(t),⋯,fs∘γ(t))|t=0=s∑k=1ak⋅d(fk∘γ(t))dt|t=0=s∑k=1ak⟨⟨γ,[fk]⟩⟩=⟨⟨γ,s∑k=1ak[fk]⟩⟩因此 [f]−∑ak[fk]∈Hp ,即 (df)p=∑ak(dfk)p 。
推论 1:对于 f,g∈C∞p,α∈R :
d(f+g)p=(df)p+(dg)pd(αf)p=α⋅(df)pd(fg)p=f(p)⋅(dg)p+g(p)⋅(df)p推论 2:dimT∗p=m
Proof:取包含 p 的坐标卡 (U,φU) ,则对于 q∈U ,局部坐标 ui(q)=(φU(q))i 是光滑函数。下证 {(dui)p}1⩽i⩽m 是 T∗p 的基。由 [Theo 2.2] 可知 {(dui)p} 张成 T∗p ,下证其线性无关。
若一组 αi∈R 使得 ∑αi(dui)p=0 ,即 ∑αi[ui]∈Hp ,则 ∀γ∈Γp 有:⟨⟨γ,m∑i=1αi[ui]⟩⟩=m∑i=1αi⋅d(ui∘γ(t))dt|t=0=0取 λk∈Γp 使得 ui∘λk(t)=ui(p)+δikt (其中 δik 是Kronecker记号),则
d(ui∘λk(t))dt|t=0=δik={1 i=k0 i≠k令 γ=λk 带入可得 αk=0 ,因此 {(dui)p} 线性无关。
反过来考虑 Γp ,定义其上的等价关系:对于 γ,γ′∈Γp ,若 ∀f∈C∞p 都有 ⟨⟨γ,[f]⟩⟩=⟨⟨γ′,[f]⟩⟩ ,则 γ∼γ′ 。对于等价类 [γ] 和 (df)p,定义
可见配合 <[γ],(df)p> 是双线性的。用局部坐标表示 γ 使 φU∘γ(t)=(u1(t),⋯,um(t)),可得
这个值由 ξi 完全决定。取 γ 使 ui(t)=(φU(p))i+ξit ,可见 ξi 可取到任意数值,那么全体 ⟨[γ],⋅⟩ 就表示了全体 T∗p 上的线性函数,继而构成 T∗p 的对偶空间, {[λk]}1⩽k⩽m 是 {(dui)p}1⩽i⩽m 的对偶基。
[Def 2.2] 商空间 Γp/∼ 称为流形 M 在 p 点的切空间,记作 Tp 。其元素称为点 p 处的切矢量。
从局部坐标的角度看,切向量有更简单的几何意义描述。对于分别由 ui,u′i 给出的曲线 γ,γ′ ,γ∼γ′ 的充要条件是相应的 ξi=ξ′i ,即在点 p 处有相同的“切线”。
切矢量 [λk] 还有另一重含义。注意到
那么 [λk] 之于 (df)p 就相当于偏微分算子 ∂∂uk|p ,因此 [γ] 可以表示为
[Def 2.3] 对于 X∈Tp,f∈C∞p ,记 Xf=<X,(df)p> ,称作函数 f 沿切矢量 X 的方向导数。
以下定理说明了方向导数是 C∞p 上的线性算子。
[Theo 2.3] 方向导数的性质。对于 X∈Tp,f,g∈C∞p,α,β∈R :
(1) X(αf+βg)=α⋅Xf+β⋅Xg (2) X(fg)=f(p)⋅Xg+g(p)⋅Xf
考虑坐标变换对这两组基的影响。对于两组局部坐标 ui,u∗i ,相应的 ξ,α 满足关系
其中 ∂u∗i∂ui=∂(φU∗∘φ−1U)∂ui 是坐标变换的Jacobi矩阵。满足前者变换规律的矢量称作反变矢量,满足后者变换规律的矢量称作协变矢量。
光滑流形之间的映射诱导出切空间和余切空间上的光滑映射。对于光滑映射 F:M→N ,记点 p∈M 的像是点 q=F(p) 。余切空间上的映射 F∗:T∗q→T∗p 定义作
这显然是线性映射。其共轭映射 F∗:Tp→Tq 使得
[Def 2.4] 映射 F∗ 称为映射 F 的微分,映射 F∗ 称为由 F 诱导的切映射。
这两个映射在局部坐标表示下有共性。对于点 p 附近的局部坐标 ui 和点 q 附近的局部坐标 vα ,函数 F 可以“按分量地”表示为 vα=Fα(u1,⋯,um) ,也就是 Fα=vα∘F。此时 F∗,F∗ 作用在相应的基上,可以得到
因此 F∗,F∗ 在相应的基下的矩阵就是Jacobi矩阵 ∂Fα∂ui|p 。
§3 子流形
首先研究光滑流形诱导的切映射的一些性质。光滑映射 F:M→N ,在点 p 处诱导了切映射 F∗:Tp→Tq ,这里 q=F(p) 。重要的是,切映射 F∗ 在 p 点的性质决定了 F 在 p 点的邻域上的性质。在微积分学中,这就是反函数定理:
[Theo 3.1] (反函数定理) Rn 的开子集 W 上定义光滑映射 f:W→Rn 。如果在一点 x0∈W 处, f 的Jacobi行列式 det∂fi∂xj|x0≠0 ,则存在 x0 的邻域 U⊂W ,使得 V=f(U) 是开集,且 f 在 V 上有光滑的反函数 g=f−1:V→U 。
根据之前的讨论,Jacobi矩阵就是切映射 f∗ ,其行列式非零意味着 f∗ 是切空间的同构。由于反函数的存在,这里的 f 限制在 U 上就是 U 到 V 的可微同胚。因此借助局部坐标,此定理可以推广到光滑流形上(此推广的证明是对光滑映射 F=ψV∘f∘φ−1U 使用 [Theo 3.1] ):
[Theo 3.2] 两个 n 维流形 M,N 以及光滑映射 f:M→N 。若点 p∈M 处切映射 f∗:Tp→Tf(p) 是同构,则存在 p 的邻域 U ,使得 V=f(U) 是开集,且 f|U:U→V 是可微同胚。
这里的流形 M,N 有相同的维数,故“ f∗ 在该点是同构”等价于“ f∗ 在该点是单射”。推广到不同维数的流形上,对于流形 M,N ,其维数 m=dimM⩽n=dimN ,当 f∗ 在点 p∈M 处是单射时(这意味着该点处的局部坐标下 f 的Jacobi矩阵的秩等于 m ,称矩阵在该点是非退化的),定理推广为:
[Theo 3.3] m 维流形 M 和 n 维流形 N ,m<n ,以及光滑映射 f:M→N 。若点 p∈M 处切映射 f∗ 是单射,则存在 p 处的局部坐标系 (U;ui) 和 q=f(p) 处的局部坐标系 (V;vα) ,使得 V=f(U) ,且
Proof:设 f 在局部坐标下表示为 vα=fα(u1,⋯,um) 。不妨 ui(p)=0,vα(q)=0 。令
In−m={(wm+1,⋯,wn)∈Rn−m|∀m+1⩽γ⩽n,|wγ|<δ} , δ∈R+选取适当小的 U 和 δ ,可以定义光滑映射 ˜f:U×In−m→V 使得
{˜fi(u1,⋯,um,wm+1,⋯,wn)=fi(u1,⋯,um)˜fγ(u1,⋯,um,wm+1,⋯,wn)=wγ+fγ(u1,⋯,um)1⩽i⩽m , m+1⩽γ⩽n显然 ˜f 的Jacobi矩阵在原点处是非退化的,由 [Theo 3.2] 不妨(即忽略定义域的问题)假设 ˜f 是可微同胚,则可以将 {ui,wγ} 与 {vα} 视作等同,那么在此局部坐标系下 ˜f 是恒同映射,则 f|U=˜f|U×{0} 满足题设。
[Def 3.1] 光滑流形 M,N 。若有光滑流形 φ:M→N 满足
(1) φ 是单射 (2) 任意点 p∈M ,该点的切映射 φ∗:Tp→Tφ(p) 是单射
则称 (φ,M) 是 N 的嵌入子流形(或简单地称作光滑子流形);若只满足 (2) ,则称 φ 是浸入, (φ,M) 是 N 的浸入子流形。
浸入在局部上是单的,而大范围上不尽然;两种子流形的区别具体而言,在于像 φ(M) 是否有自交点。
[Eg 3.1] 开子流形
U 是 N 的开子集,将 N 的光滑结构限制在 U 上,就得到 U 的光滑结构(其维数与 N 相同)。则 (idU,U) 是 N 的嵌入子流形,称为 N 的开子流形。
[Eg 3.2] 闭子流形
N 的光滑子流形 (φ,M) 若满足: (1) 像 φ(M) 是 N 的闭子集; (2) 对每一点 q∈φ(M) ,存在一个局部坐标系 (V;vα) ,使得 φ(M)∩V 是由 vm+1=⋯=vn=0 (其中 m=dimM,n=dimN )定义的;则称 (φ,M) 是 N 的闭子流形。
例如,单位球面 Sn⊂Rn+1 和恒同映射 id:Sn→Rn+1 给出 Rn+1 的闭子流形。
[Eg 3.3] 对比如下两个 R2 的子流形 (F,R) 和 (G,R) :
前者是浸入子流形(因为其在原点自交无限次),而后者是嵌入子流形(曲线的两端无限接近原点)。
[Eg 3.4] 环面 T2 可以视作单位矩形 I2 将两组对边粘合得到的商空间。取实数 a,b ,考虑映射 φ:R→T2 使得 φ(t)=(⌊at⌋,⌊bt⌋) ,若 a:b 是无理数,则 φ(R) 是稠密的嵌入子流形;若是有理数,则是浸入子流形。
嵌入子流形 (φ,M) ,在像 φ(M) 上可以给出一个微分结构使 φ:M→φ(M) 是可微同胚,这给出 φ(M) 的一个拓扑;另一方面 φ(M) 作为 N 的子集,从 N 继承了拓扑。两者通常来说不一致,且前者细于后者。两者相同的情况引出以下定义:
[Def 3.2] N 的光滑子流形 (φ,M) 。若 φ:M→φ(M) 是 M 和作为 N 的子空间的 φ(M) 之间的同胚,则称 (φ,M) 是 N 的正则子流形,且称 φ 是 M 在 N 中的正则嵌入。
[Theo 3.4] n 维光滑流形 N 的 m 维光滑子流形 (φ,M) ,其是正则子流形的充要条件是:其是 N 的开子流形的闭子流形。
Proof:⇐ :由于不需要闭集的条件,不妨假设那个“开子流形”就是 N ,即只考虑 N 的闭子流形。任意一点 p∈M ,根据闭子流形的定义,在 N 中 q=φ(p) 有一个局部坐标系 (V;vα) ,使得 φ(M)∩V 是由 vm+1=⋯=vn=0 定义的。由 φ 的连续性,存在 p 的局部坐标系 (U;ui) 使得 φ(U)⊂V 。不妨假设 p,q 是局部坐标系下的原点,并假设 V={(v1,⋯,vn)| |vα|<δ} ,那么 φ(U)⊂φ(M)∩V , φ 在 U 上局部地表示为
{vi=φi(u1,⋯,um) ,1⩽i⩽mvγ=0 ,m+1⩽γ⩽n那么Jacobi行列式 det∂(φ1,⋯,φm)∂(u1,⋯,um)|ui=0≠0 ,根据 [Theo 3.1] 存在 0<δ′<δ,函数 (φi) (视作 m 维向量场)有反函数 (ψi) 使得 |vi|<δ′ 时 ui=ψi(v1,⋯,vm) 。因此在 V′={(v1,⋯,vn)| |vα|<δ′} 满足 φ−1(φ(M)∩V′)⊂U 。由于 U 可以取得任意小,因此在 q 点 φ−1:φ(M)→M 是连续的。由于 q 的任意性, 整个 φ−1:φ(M)→M 是连续的,因此 φ 是同胚。
⇒ :由于 φ 是同胚,任意一点 p∈M 的任意邻域 U ,存在 q=φ(p) 的邻域 V 使 φ(U)=φ(M)∩V 。根据 [Theo 3.3] ,存在 p,q 的局部坐标系 (U′,ui),(V′,vα) 使得 φ(U′)⊂V′ ,且 φ 在 U 上局部地表示为φ(u1,⋯,um)=(u1,⋯,um,0,⋯,0) 。不妨 U′⊂U ,并取 V′⊂V 使得 φ(U′)=φ(M)∩V′ ,那么 φ(M)∩V′ 是由 vm+1=⋯=vn=0 定义的,正则子流形的条件 (2) 已然满足。
对于每一个 q 记这个 V′ 为 Vq ,令 W=⋃Vp ,则 W 是 N 的开子流形,只需说明 φ(M) 是 W 的闭集,这只需证 ¯φ(M)∩W⊂φ(M) 。任意 s∈¯φ(M)∩W ,存在一个 Vq∋s 。在局部坐标下 φ(M)∩Vq 之于 Vq 相当于 m 维子平面 Rm×{0}n−m 之于 Rn ,则 φ(M)∩Vq 是 Vq 的闭集,那么 s∈φ(M)∩Vq 。因此 ¯φ(M)∩W⊂φ(M) 。这就证明了 (φ,M) 是开子流形 W 的闭子流形。
推论: N 的光滑子流形 (φ,M) 是正则子流形的充要条件是: 对每一点 q∈φ(M) ,存在一个局部坐标系 (V;vα) ,使得 q 是原点,且 φ(M)∩V 是由 vm+1=⋯=vn=0 定义的。
[Theo 3.5] N 的光滑子流形 (φ,M) ,若 M 是紧致的,则其是正则子流形。
Proof:紧致空间到Hausdorff空间的连续双射是同胚[1],因此其是正则子流形。
由于欧式空间有良好的性质,希望将流形嵌入到欧式空间中进行研究。这需要使用以下的一系列重要引理,它们可以看做Urysohn引理在流形上的推广:
[Lem 3.1] D1,D2 是 Rm 的同心开球,且 ¯D1⊂D2 ,则存在光滑函数 f:Rm→[0,1] ,使得 f(D1)={1}, f(Rm−D2)={0} 。
Proof:不妨设 D1,D2 的球心为原点,半径为 r1,r2 ,令
g(t)={exp1(t−a2)(t−b2) ,t∈(a2,b2)0 ,t∉(a2,b2)F(t)=∫+∞tg(s)ds/∫+∞−∞g(s)ds则 0⩽F(t)⩽1 , 当 t⩽a2 时 F(t)=1 ,当 t⩾b2 时 F(t)=0 (如此构造 F 主要是为了光滑性)。令 f:Rm→[0,1] 为 f(x1,⋯,xm)=F((x1)2+⋯+(xm)2) ,则它满足要求。
[Lem 3.2] U,V 是 Rm 的非空开集,使得 ¯V 是紧致的,而且 ¯V⊂U,则存在光滑函数 f:Rm→[0,1] ,使得 f(V)={1},f(Rm−U)={0} 。
Proof:存在有限多组开球 {D(1)i,D(2)i} 使得 ¯D(1)i⊂D(2)i⊂U 且 {D(1)i} 覆盖 ¯V ,对每一对 D(1)i,D(2)i 利用 [Lem 3.1] 给出光滑函数 fi ,那么 f=1−∏(1−fi) 满足要求。
[Lem 3.3] (U,φU) 是光滑流形 M 的坐标卡,V 是 M 的非空开集,使得 ¯V 是紧致的,而且 ¯V⊂U,则存在光滑函数 f:M→[0,1] ,使得 f(V)={1},f(M−U)={0} 。
Proof:流形 M 是局部紧致的[2],则存在开集 U1 使得 ¯V⊂U1⊂¯U1⊂U 。对一对开集 φUV,φUU1 使用 [Lem 3.2] 给出光滑函数 h ,那么以下函数 f 满足要求:
f(p)={h∘φU(p) ,p∈U0 ,p∉U
由此,可以将紧致流形嵌入欧式空间[3]:
[Theo 3.6] M 是 m 维紧致的光滑流形,则存在一个正整数 n 和光滑映射 φ:M→Rn ,使得 (φ,M) 是 Rn 的正则子流形。
Proof:存在 M 的有限开覆盖 {Vj}1⩽j⩽r ,使得每一个 ¯Vj 是紧致的,且被包含在一个局部坐标系 (Uj;uij) 中。对于每一个 ¯Vj 存在开集 Wj 使得 ¯Vj⊂Wj⊂¯Wj⊂Uj 。对每一对 Vj,Wj 使用 [Lem 3.3] 给出光滑函数 fi ,然后在 M 上定义 n=r(m+1) 个光滑函数:
{x0j=fjxij(p)={uij(p)⋅fi(p) ,p∈Ui0 ,p∉Ui将 (xij)0⩽i⩽m,1⩽j⩽r 视作 Rn 中的一个点,那么上式给出了映射 φ:M→Rn 。
下证 φ 是正则嵌入,根据 [Theo 3.5] 只需证明 φ 是单射且是浸入。单射:若 p,q∈M 使 φ(p)=φ(q) ,则 xij(p)=xij(q) ;由于 {Vi} 是覆盖,存在一个 Vk∋p ,由于 fk(q)=x0k(q)=x0k(p)=fk(p)=1 ,且每一个 i 都有 uik(q)=uik(p) ,则 q∈Uk ,且在局部坐标系 (Uk;uik) 中 p,q 有相同的坐标,则 p=q 。浸入:∀p∈M ,存在一个 Vk∋p ,在其中 fk(p)=1 ,则 xik|Vk=uik ,因此 ∂(x1k,⋯,xmk)∂(u1k,⋯,umk)|p=1 ,因此切映射 φ∗ 是单射,φ 是嵌入。
§4 Frobenius定理
[Def 4.1] 映射 X 将光滑流形 M 的一点 p 映为切矢量 Xp∈Tp ,则称 X 是光滑流形 M 上的切矢量场。每一个切矢量 Xp 可视作函数 Xp:C∞→R ;对于 f∈C∞ ,令 (Xf)(p)=Xpf ,则 Xf 是 M 上的函数。若任意 f∈C∞ ,Xf 都是光滑函数,则称 X 是 M 上的光滑切矢量场。
由此可见,光滑切矢量场可以视作算子 X:C∞→C∞ 。[Theo 2.3] 可以照搬过来,得到算子 X 的性质: (1) X(αf+βg)=α⋅Xf+β⋅Xg (2) X(fg)=f⋅Xg+g⋅Xf
下面研究光滑切矢量场 X 的局部性质。首先对于 M 的非空开集 U ,限制 X|U 仍是光滑切矢量场。把 U 取成局部坐标系 (U;ui) ,就得到光滑切矢量场的局部表示:
[Theo 4.1] X 是光滑流形 M 上的切矢量场,则 X 是光滑切矢量场 ⇔ 对于任意点 p∈M ,存在 p 处的局部坐标系 (U;ui) ,使得 X 限制在 U 上可以表示为
其中 ξi 是定义在 U 上的光滑函数。(这是比较显然的,需要注意到 ξi=X|Uui)
Note:可以看出光滑切矢量场局部地表示为切矢量的“光滑”组合。
[Def 4.2] 对于 M 上的光滑切矢量场 X,Y ,其Poisson括号积定义为 [X,Y]=XY−YX 。
[X,Y] 也是光滑切矢量场,即 [X,Y](f+g)=[X,Y]f+[X,Y]g ,[X,Y](fg)=f[X,Y]g+g[X,Y]f 。
[Theo 4.2] 对于 M 上的光滑切矢量场 X,Y,Z 和 f,g∈C∞(M) ,以下成立(根据定义验证即可)
现在可以用局部坐标表示 [X,Y] 。对于局部坐标系 (U;ui) , X,Y 可以表示成
注意到 [∂∂ui,∂∂uj]=0 ,那么
[Def 4.3] X 是光滑流形 M 上的光滑切矢量场,若 p∈M 使得 Xp=0 ,则称 p 是 X 的一个奇点。
矢量场在奇点附近的性质是极其复杂的,与流形的拓扑性质密切相关。然而在非奇点处,光滑切矢量场的性质是十分简单的,描述如下:
[Theo 4.3] X 是 M 上的光滑切矢量场,若点 p∈M 使得 Xp≠0 ,则存在 p 处的局部坐标系 (W;wi) ,使得
Proof:根据 [Theo 4.1] 存在 p 处的局部坐标系 (U;ui) 使得
X|U=m∑i=1ξi∂∂ui由于 Xp≠0 ,不妨 ξ1(p)≠0 ,且根据连续性可以假设其在 p 的充分小的邻域上非零。根据常微分方程的理论,在 p 的充分小的邻域 W 上以下常微分方程组有解(将 u1 视作自变量,其余 ui 视作未知函数)
duidu1=ξi(u1,⋯,um)ξ1(u1,⋯,um)假设解为 ui=φi(u1) ,这个解是光滑的,并且初值 vi=φi(0) 可以在 W 上任取,且每一个解对初值组的依赖是光滑的。记 v1=u1 ,那么局部坐标系 (W;vi) 和 (U;ui) 限制在 W 上的部分之间存在光滑的坐标变换(变换是由 φi 表述的)。在局部坐标系 (W;vi) 下
X|U=m∑i=1ξi∂∂ui=ξ1m∑i=1∂ui∂v1∂∂ui=ξ1∂∂v1第二个等号利用了 u1=v1 和 ξi=ξ1∂ui∂u1 ,第三个等号是坐标变换。于是只需再令
w1=∫10dv1ξ1 , wi=vi就得到满足题意的局部坐标系。
以上定理说明光滑切矢量场在非奇点处“局部地”表现为切空间的一个自然基矢量。那么能否用多个光滑切矢量场组成一个局部坐标系的切空间的基呢?具体来说,如果 M 上有 h 个光滑切矢量场 X1,⋯,Xh ,它们在点 p 的一个邻域 U 上处处线性无关(即每一点 q∈U 都有 X1(q),⋯,Xh(q) 线性无关),那么是否存在 p 的一个局部坐标系 (W;wi) 使得 Xi|W=∂∂wi 呢?由于 [∂∂wi,∂∂wj]=0 ,这要求 [Xi,Xj]=0 。事实上,这是充要条件(证明过程类比下面的 [Theo 4.4])。
以上的要求比较强,通常考虑下面的类似的问题。
[Def 4.4] 映射 Lh 将光滑流形 M 的一点 p 映为切空间 Tp 的 h 维子空间 Lh(p) 。如果对于每一点 p ,在 p 的某个邻域 U 上存在 h 个处处线性无关的光滑切矢量场 X1,⋯,Xh ,使得任意 q∈U ,切子空间 Lh(q) 都是由矢量 X1(q),⋯,Xh(q) 张成的,则称 Lh 是 M 上的 h 维光滑分布,记作 Lh|U={X1,⋯,Xh} 。
两组张成 Lh 的光滑切矢量场之间存在着以光滑函数为系数的非退化线性变换。具体而言,对于另一组光滑切矢量场 Lh|U={Y1,⋯,Yh} ,存在由光滑函数构成的 h 阶方阵 a=(aβα) ,使得每一点处 deta≠0 ,且
问题是,是否存在局部坐标系 (W;wi) 使得
当这一条件成立时,对于 Lh|U={X1,⋯,Xh} ,存在变换
在此情况下,有
这里利用了Poisson括号积的表示和上述变换,其中的参数( a−1 表示 a 的逆矩阵)
这就是说 [Xα,Xβ] 可以表示为 X1,⋯,Xh 的线性组合。
[Def 4.5] Lh 是 M 上的 h 维光滑分布。若任意使 Lh|U={X1,⋯,Xh} 的一组光滑切矢量场 X1,⋯,Xh ,其中的每一对 [Xα,Xβ] 都可以表示为 X1,⋯,Xh 的线性组合,则称 Lh 满足Frobenius条件。
[Theo 4.4] (Frobenius定理) Lh 是 M 上的 h 维光滑分布。 Lh 在 U 上满足Frobenius条件 ⇔ 对于任意 p∈U ,存在 p 的局部坐标系 (W;wi) ,W⊂U,使得
Proof:⇐ 已经说明。 ⇒ :对维数 h 归纳。h=1 时即是 [Theo 4.3] 。若 h−1 维成立, h 维时,对于满足Frobenius条件的 Lh={X1,⋯,Xh} ,这个条件意味着[4]
[Xα,Xβ]≡0 (mod Xγ) 1⩽α,β⩽h由 [Theo 4.3] 存在 p 处的局部坐标系 (y1,⋯,ym) 使得 Xh=∂∂yh 。
以下设 1⩽λ,μ,ν⩽h−1 ,并定义X′λ=Xλ−(Xλyh)Xh显然有 X′λyh=0,Xhyh=1 。处处线性无关的组 X′1,⋯,X′h−1,Xh 仍然张成 Lh ,则由Frobenius条件
[X′λ,X′μ]≡aλμXh (mod X′ν)将上式两边同时作用于 yh ,得 aλμ=0 ,于是 L′h−1={X′1,⋯,X′h−1} 满足Frobenius条件。因此由归纳假设存在 p 的局部坐标系 (z1,⋯,zm) 使得
L′h−1={∂∂z1,⋯,∂∂zh−1}两个组之间存在光滑的非退化线性变换,则 ∂∂zλyh=0 ,因此 Xh 与它们线性无关。故
Lh={∂∂z1,⋯,∂∂zh−1,Xh}根据Frobenius条件,可设
[∂∂zλ,Xh]≡bλXh (mod ∂∂zμ)将上式两边同时作用于 yh ,得 bλ=0 ,所以
[∂∂zλ,Xh]=h−1∑μ=1Cλμ∂∂zμ在 (z1,⋯,zm) 下 Xh 可表示为 Xh=m∑i=1ξi∂∂zi ,则
[∂∂zλ,Xh]=m∑i=1∂ξi∂zλ∂∂zi两相对比,得到 1⩽λ⩽h−1,h⩽i⩽m 时 ∂ξi∂zλ=0 ,因此 ξi 是只与 zh,⋯,zm 有关的函数。于是可以令 X′h=m∑i=hξi∂∂zi ,仍然有 Lh={∂∂z1,⋯,∂∂zh−1,X′h} 。由 [Theo 4.3] 存在从 (zh,⋯,zm) 到 (wh,⋯,wm) 的坐标变换使得 X′h=∂∂wh ,再令 wλ=vλ (1⩽λ⩽h−1) ,则
Lh={∂∂w1,⋯,∂∂wh}
Note:此定理还有一个基于外微分叙述的对偶形式,见第三章 [Theo 2.4] 。
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