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《微分几何讲义(陈省身)》读书笔记 第一章 微分流形

第一章 微分流形

Note:本文中,欧氏空间中的向量的分量用上标表示。

§1 微分流形的定义

[Def 1.1] M 是一个第二可数的Hausdorff空间。若对任意 xM ,都存在 x 的一个邻域 U 同胚于 Rm 的一个开集,则称 M 是一个 m流形(或拓扑流形)。记同胚映射为 φU:UφU(U) ,则 (U,φU) 称为 M 的一个坐标卡;对于 yU ,记 u=φU(y) ,则 ui (1im) 称为 y局部坐标

​ 对于函数 f:UR   (URm) ,如果 f 的所有 r 阶偏导数都存在,则称 fr 次可微的或 Cr 的。如果有任意阶偏导数,则称 f 是光滑的或者 C 的。如果 fU 的每一点的附近都可以用收敛的幂级数表示,则称 f 是解析的或者 Cω 的。

​ 考虑两个坐标卡 (U,φU)(V,φV) ,若 UV ,则

f=φVφ1U:φU(UV)φV(UV)

是同胚,其逆为 g=φUφ1V。如果 f,g 的每一个分量函数 fi,gi 都是 Cr 的,则称这两个坐标卡是 Cr 相容的。(当然,若 UV= ,也认为两者相容)

[Def 1.2]m 维流形 M 上给定一族坐标卡 A={(U,φU),(V,φV),} ,若
(1) {U,V,}M 的开覆盖 (2) A 中任意两个坐标卡是 Cr 相容的
(3) A 是极大的,即 M 的任意一个与 A 中每个坐标卡都相容的坐标卡都在 A
则称 AM 的一个 Cr微分结构,给定了此结构的 M 称为一个 Cr微分流形C微分流形又称光滑流形Cω微分流形又称解析流形。必要时默认所谓流形是光滑流形。

[Eg 1.1] m 维射影空间 Pm
Rm+1{0} 上定义等价关系:对于 x,yRm+1{0} ,若  αR 使得 x=αy ,则 xy 。商空间 Pm=(Rm+1{0})/ 称为射影空间,数组 (xi)1im+1 称为 [x]Pm 的齐次坐标。坐标卡:

{Ui={[x]Pm|xi0}φi([x])=(iξ1,,iξi1,iξi+1,,iξm)

其中的 1im+1, iξj=xj/xi 。由于 {Ui} 构成开覆盖,且有坐标变换 jξk=iξk/iξj,jξi=1/iξj ,那么给定了 {(Ui,φi)}Pm 是光滑流形。

[Def 1.3] 光滑流形 M 上的连续函数 f:MR 。若对 pM 和包含 p 的坐标卡 (U,φU) ,函数 fφ1U 在点 φU(p) 处是 C 的,则称 f 在点 p 处是光滑的。处处光滑的函数 f 称为 M 上的光滑函数M 上全体光滑函数的集合记作 C(M)
光滑流形 MN 的连续函数 f:MN 。若对 pM ,以及包含 p 的坐标卡 (U,φU) 和包含 f(p) 的坐标卡 (V,ψV) ,映射 ψVfφ1U 的每一个分量函数在点 φU(p) 处是 C 的,则称 f 在点 p 处是光滑的。处处光滑的映射 f 称为 MN光滑映射
对于同胚 f:MN ,若 f,f1 都是光滑映射,则称 f可微同胚

Note:光滑性和坐标卡的选取是无关的。具体而言,对于坐标卡 (U,φU)(V,φV) ,由于坐标变换是光滑的,而且 fφ1V=(fφ1U)(φUφ1V) ,那么 fφ1Vfφ1U 的光滑性等价。

[Def 1.4] 光滑流形 M,N 。拓扑积空间 M×N 上由坐标卡族 {Uα×Vβ,φα×ψβ} 给出的光滑流形结构称为 MN积流形。投射 π1:M×NM,π2:M×NN 显然是光滑映射。

§2 切空间

​ 类比切线、切平面的概念,微分流形可以引进切空间和余切空间的概念,以达到在每一点附近用线性空间近似流形的目的。下面从余切空间入手,再通过对偶构造切空间。

​ 补充光滑函数的定义。开集 VM 和函数 f:VR 。若任意与 V 相交的坐标卡 (U,φU) ,函数 fφ1UφU(UV) 上的光滑函数,则称 f 是定义在 V 上的光滑函数。

​ 固定一点 pM 。定义在 p 的邻域上的光滑函数构成集合 Cp ,其上有加法和乘法(例如,对于f:URg:VR ,函数 f+g:UVR 满足 pUV,(f+g)(p)=f(p)+g(p))。定义 Cp 上的等价关系:若存在 p 的邻域 H 使得 f|H=g|H ,则 fg 。令商空间 Fp=Cp/ ,其中的等价类 [f] 称为 p 点处的 C函数芽,那么 Fp 是一个无穷维实线性空间。

​ 光滑函数 γ:(1,1)M 使得 γ(0)=p 称作经过点 p 的参数曲线,其构成的集合记作 Γp。对于γΓp[f]Fp ,定义配合:

γ,[f]=d(fγ)dt|t=0

对于固定的 γγ,:FpR 是线性函数。定义 Hp={[f]Fp|γ,[f]=0,γΓp}

[Theo 2.1] [f]Fp ,对于包含 p 的坐标卡 (U,φU) ,令 F=fφ1U ,则 [f]Hp 当且仅当

Fxi|φU(p)=0 ,    1im

Proof:记参数曲线的坐标表示为 xi(t)=(φUγ(t))i, 1im ,则

γ,[f]=d(fγ)dt|t=0=ddt((fφ1U)(φUγ(t)))|t=0=ddtF(x1(t),,xm(t))|t=0=mi=1Fxi|φU(p)dxi(t)dt|t=0

由于 γ 选取的任意性,dxi(t)dt|t=0 可取到任何实数值,因而要求所有的 Fxi|φU(p)=0

[Def 2.1] 商空间 Fp/Hp 称为流形 Mp 点的余切空间,记作 Tp 。函数芽 [f]Fp 的等价类记作 (df)p ,称为流形 Mp 点的余切矢量。它是一个无穷维实线性空间。
对于在 p 的邻域上的光滑函数 f(df)p 也称作 fp 点的微分。若 (df)p=0 则称 pf临界点

[Theo 2.2] f1,,fsCp ,而 F(f1(p),,fs(p)) 是点 x=(f1(p),,fs(p)) 附近的光滑函数,则 f=F(f1,,fs) 是定义在 p 的邻域上的光滑函数,且

(df)p=sk=1Ffk|x(dfk)p

Prooff 的定义域是 p 的有限个邻域的交。由于 F 光滑,则 f 光滑。记 ak=Fxi|x ,则对于任意的 γΓp ,有:

γ,[f]=d(fγ)dt|t=0=ddtF(f1γ(t),,fsγ(t))|t=0=sk=1akd(fkγ(t))dt|t=0=sk=1akγ,[fk]=γ,sk=1ak[fk]

因此 [f]ak[fk]Hp ,即 (df)p=ak(dfk)p

推论 1:对于 f,gCp,αR

d(f+g)p=(df)p+(dg)pd(αf)p=α(df)pd(fg)p=f(p)(dg)p+g(p)(df)p

推论 2dimTp=m

Proof:取包含 p 的坐标卡 (U,φU) ,则对于 qU ,局部坐标 ui(q)=(φU(q))i 是光滑函数。下证 {(dui)p}1imTp 的基。由 [Theo 2.2] 可知 {(dui)p} 张成 Tp ,下证其线性无关。
若一组 αiR 使得 αi(dui)p=0 ,即 αi[ui]Hp ,则 γΓp 有:

γ,mi=1αi[ui]=mi=1αid(uiγ(t))dt|t=0=0

λkΓp 使得 uiλk(t)=ui(p)+δikt (其中 δik 是Kronecker记号),则

d(uiλk(t))dt|t=0=δik={1   i=k0   ik

γ=λk 带入可得 αk=0 ,因此 {(dui)p} 线性无关。

​ 反过来考虑 Γp ,定义其上的等价关系:对于 γ,γΓp ,若 fCp 都有 γ,[f]=γ,[f] ,则 γγ 。对于等价类 [γ](df)p,定义

[γ],(df)p=γ,[f]

可见配合 <[γ],(df)p> 是双线性的。用局部坐标表示 γ 使 φUγ(t)=(u1(t),,um(t)),可得

[γ],(df)p=mi=1aiξi,     ai=(fφ1U)ui|φU(p), ξi=duidt|t=0

这个值由 ξi 完全决定。取 γ 使 ui(t)=(φU(p))i+ξit ,可见 ξi 可取到任意数值,那么全体 [γ], 就表示了全体 Tp 上的线性函数,继而构成 Tp 的对偶空间, {[λk]}1km{(dui)p}1im 的对偶基。

[Def 2.2] 商空间 Γp/ 称为流形 Mp 点的切空间,记作 Tp 。其元素称为点 p 处的切矢量

​ 从局部坐标的角度看,切向量有更简单的几何意义描述。对于分别由 ui,ui 给出的曲线 γ,γγγ 的充要条件是相应的 ξi=ξi ,即在点 p 处有相同的“切线”。

​ 切矢量 [λk] 还有另一重含义。注意到

[λk],(df)p=[λk],mi=1(fφ1U)ui|p(dui)p=(fφ1U)uk|p

那么 [λk] 之于 (df)p 就相当于偏微分算子 uk|p ,因此 [γ] 可以表示为

[γ]=mi=1ξiuk|p

[Def 2.3] 对于 XTp,fCp ,记 Xf=<X,(df)p> ,称作函数 f 沿切矢量 X方向导数

​ 以下定理说明了方向导数是 Cp 上的线性算子。

[Theo 2.3] 方向导数的性质。对于 XTp,f,gCp,α,βR
(1) X(αf+βg)=αXf+βXg (2) X(fg)=f(p)Xg+g(p)Xf

​ 考虑坐标变换对这两组基的影响。对于两组局部坐标 ui,ui ,相应的 ξ,α 满足关系

ξj=mi=1ξiujui ,    αi=mj=1αjujui

其中 uiui=(φUφ1U)ui 是坐标变换的Jacobi矩阵。满足前者变换规律的矢量称作反变矢量,满足后者变换规律的矢量称作协变矢量。

​ 光滑流形之间的映射诱导出切空间和余切空间上的光滑映射。对于光滑映射 F:MN ,记点 pM 的像是点 q=F(p) 。余切空间上的映射 F:TqTp 定义作

F(df)q=(d(fF))p ,    (df)qTq

这显然是线性映射。其共轭映射 F:TpTq 使得

FX,α=X,Fα ,    XTp,αTq

[Def 2.4] 映射 F 称为映射 F 的微分,映射 F 称为由 F 诱导的切映射

​ 这两个映射在局部坐标表示下有共性。对于点 p 附近的局部坐标 ui 和点 q 附近的局部坐标 vα ,函数 F 可以“按分量地”表示为 vα=Fα(u1,,um) ,也就是 Fα=vαF。此时 F,F 作用在相应的基上,可以得到

F(dvα)=d(vαF)=mi=1(dui)Fαui|pFui,dvβ=ui,F(dvβ)=ui,mj=1(duj)Fβuj|p=mj=1ui,dujFβuj|p=Fβui|p=nα=1vα,dvβFαui|p=nα=1vαFαui|p,dvβ

因此 F,F 在相应的基下的矩阵就是Jacobi矩阵 Fαui|p

§3 子流形

​ 首先研究光滑流形诱导的切映射的一些性质。光滑映射 F:MN ,在点 p 处诱导了切映射 F:TpTq ,这里 q=F(p) 。重要的是,切映射 Fp 点的性质决定了 Fp 点的邻域上的性质。在微积分学中,这就是反函数定理:

[Theo 3.1] (反函数定理) Rn 的开子集 W 上定义光滑映射 f:WRn 。如果在一点 x0W 处, f 的Jacobi行列式 detfixj|x00 ,则存在 x0 的邻域 UW ,使得 V=f(U) 是开集,且 fV 上有光滑的反函数 g=f1:VU

​ 根据之前的讨论,Jacobi矩阵就是切映射 f ,其行列式非零意味着 f 是切空间的同构。由于反函数的存在,这里的 f 限制在 U 上就是 UV 的可微同胚。因此借助局部坐标,此定理可以推广到光滑流形上(此推广的证明是对光滑映射 F=ψVfφ1U 使用 [Theo 3.1] ):

[Theo 3.2] 两个 n 维流形 M,N 以及光滑映射 f:MN 。若点 pM 处切映射 f:TpTf(p) 是同构,则存在 p 的邻域 U ,使得 V=f(U) 是开集,且 f|U:UV 是可微同胚。

​ 这里的流形 M,N 有相同的维数,故“ f 在该点是同构”等价于“ f 在该点是单射”。推广到不同维数的流形上,对于流形 M,N ,其维数 m=dimMn=dimN ,当 f 在点 pM 处是单射时(这意味着该点处的局部坐标下 f 的Jacobi矩阵的秩等于 m ,称矩阵在该点是非退化的),定理推广为:

[Theo 3.3] m 维流形 Mn 维流形 Nm<n ,以及光滑映射 f:MN 。若点 pM 处切映射 f 是单射,则存在 p 处的局部坐标系 (U;ui)q=f(p) 处的局部坐标系 (V;vα) ,使得 V=f(U) ,且

{vif|U=ui ,    1imvγf|U=0 ,    m+1γn

Proof:设 f 在局部坐标下表示为 vα=fα(u1,,um) 。不妨 ui(p)=0,vα(q)=0 。令

Inm={(wm+1,,wn)Rnm|m+1γn,|wγ|<δ} ,   δR+

选取适当小的 Uδ ,可以定义光滑映射 ˜f:U×InmV 使得

{˜fi(u1,,um,wm+1,,wn)=fi(u1,,um)˜fγ(u1,,um,wm+1,,wn)=wγ+fγ(u1,,um)1im , m+1γn

显然 ˜f 的Jacobi矩阵在原点处是非退化的,由 [Theo 3.2] 不妨(即忽略定义域的问题)假设 ˜f 是可微同胚,则可以将 {ui,wγ}{vα} 视作等同,那么在此局部坐标系下 ˜f 是恒同映射,则 f|U=˜f|U×{0} 满足题设。

[Def 3.1] 光滑流形 M,N 。若有光滑流形 φ:MN 满足
(1) φ 是单射 (2) 任意点 pM ,该点的切映射 φ:TpTφ(p) 是单射
则称 (φ,M)N嵌入子流形(或简单地称作光滑子流形);若只满足 (2) ,则称 φ浸入(φ,M)N浸入子流形

​ 浸入在局部上是单的,而大范围上不尽然;两种子流形的区别具体而言,在于像 φ(M) 是否有自交点。

[Eg 3.1] 开子流形
UN 的开子集,将 N 的光滑结构限制在 U 上,就得到 U 的光滑结构(其维数与 N 相同)。则 (idU,U)N 的嵌入子流形,称为 N 的开子流形。

[Eg 3.2] 闭子流形
N 的光滑子流形 (φ,M) 若满足: (1)φ(M)N 的闭子集; (2) 对每一点 qφ(M) ,存在一个局部坐标系 (V;vα) ,使得 φ(M)V 是由 vm+1==vn=0 (其中 m=dimM,n=dimN )定义的;则称 (φ,M)N 的闭子流形。
例如,单位球面 SnRn+1 和恒同映射 id:SnRn+1 给出 Rn+1 的闭子流形。

[Eg 3.3] 对比如下两个 R2 的子流形 (F,R)(G,R)

F(t)=(2sint,sin2t)G(t)=(2sin(2arctant),sin(4arctant))

前者是浸入子流形(因为其在原点自交无限次),而后者是嵌入子流形(曲线的两端无限接近原点)。

[Eg 3.4] 环面 T2 可以视作单位矩形 I2 将两组对边粘合得到的商空间。取实数 a,b ,考虑映射 φ:RT2 使得 φ(t)=(at,bt) ,若 a:b 是无理数,则 φ(R) 是稠密的嵌入子流形;若是有理数,则是浸入子流形。

​ 嵌入子流形 (φ,M) ,在像 φ(M) 上可以给出一个微分结构使 φ:Mφ(M) 是可微同胚,这给出 φ(M) 的一个拓扑;另一方面 φ(M) 作为 N 的子集,从 N 继承了拓扑。两者通常来说不一致,且前者细于后者。两者相同的情况引出以下定义:

[Def 3.2] N 的光滑子流形 (φ,M) 。若 φ:Mφ(M)M 和作为 N 的子空间的 φ(M) 之间的同胚,则称 (φ,M)N正则子流形,且称 φMN 中的正则嵌入

[Theo 3.4] n 维光滑流形 Nm 维光滑子流形 (φ,M) ,其是正则子流形的充要条件是:其是 N 的开子流形的闭子流形。

Proof :由于不需要闭集的条件,不妨假设那个“开子流形”就是 N ,即只考虑 N 的闭子流形。任意一点 pM ,根据闭子流形的定义,在 Nq=φ(p) 有一个局部坐标系 (V;vα) ,使得 φ(M)V 是由 vm+1==vn=0 定义的。由 φ 的连续性,存在 p 的局部坐标系 (U;ui) 使得 φ(U)V 。不妨假设 p,q 是局部坐标系下的原点,并假设 V={(v1,,vn)| |vα|<δ} ,那么 φ(U)φ(M)VφU 上局部地表示为

{vi=φi(u1,,um) ,1imvγ=0 ,m+1γn

那么Jacobi行列式 det(φ1,,φm)(u1,,um)|ui=00 ,根据 [Theo 3.1] 存在 0<δ<δ,函数 (φi) (视作 m 维向量场)有反函数 (ψi) 使得 |vi|<δui=ψi(v1,,vm) 。因此在 V={(v1,,vn)| |vα|<δ} 满足 φ1(φ(M)V)U 。由于 U 可以取得任意小,因此在 qφ1:φ(M)M 是连续的。由于 q 的任意性, 整个 φ1:φ(M)M 是连续的,因此 φ 是同胚。

:由于 φ 是同胚,任意一点 pM 的任意邻域 U ,存在 q=φ(p) 的邻域 V 使 φ(U)=φ(M)V 。根据 [Theo 3.3] ,存在 p,q 的局部坐标系 (U,ui),(V,vα) 使得 φ(U)V ,且 φU 上局部地表示为φ(u1,,um)=(u1,,um,0,,0) 。不妨 UU ,并取 VV 使得 φ(U)=φ(M)V ,那么 φ(M)V 是由 vm+1==vn=0 定义的,正则子流形的条件 (2) 已然满足。
对于每一个 q 记这个 VVq ,令 W=Vp ,则 WN 的开子流形,只需说明 φ(M)W 的闭集,这只需证 ¯φ(M)Wφ(M) 。任意 s¯φ(M)W ,存在一个 Vqs 。在局部坐标下 φ(M)Vq 之于 Vq 相当于 m 维子平面 Rm×{0}nm 之于 Rn ,则 φ(M)VqVq 的闭集,那么 sφ(M)Vq 。因此 ¯φ(M)Wφ(M) 。这就证明了 (φ,M) 是开子流形 W 的闭子流形。

推论: N 的光滑子流形 (φ,M) 是正则子流形的充要条件是: 对每一点 qφ(M) ,存在一个局部坐标系 (V;vα) ,使得 q 是原点,且 φ(M)V 是由 vm+1==vn=0 定义的。

[Theo 3.5] N 的光滑子流形 (φ,M) ,若 M 是紧致的,则其是正则子流形。

Proof:紧致空间到Hausdorff空间的连续双射是同胚[1],因此其是正则子流形。

​ 由于欧式空间有良好的性质,希望将流形嵌入到欧式空间中进行研究。这需要使用以下的一系列重要引理,它们可以看做Urysohn引理在流形上的推广:

[Lem 3.1] D1,D2Rm 的同心开球,且 ¯D1D2 ,则存在光滑函数 f:Rm[0,1] ,使得 f(D1)={1}, f(RmD2)={0}

Proof:不妨设 D1,D2 的球心为原点,半径为 r1,r2 ,令

g(t)={exp1(ta2)(tb2) ,t(a2,b2)0 ,t(a2,b2)F(t)=+tg(s)ds/+g(s)ds

0F(t)1 , 当 ta2F(t)=1 ,当 tb2F(t)=0 (如此构造 F 主要是为了光滑性)。令 f:Rm[0,1]f(x1,,xm)=F((x1)2++(xm)2) ,则它满足要求。

[Lem 3.2] U,VRm 的非空开集,使得 ¯V 是紧致的,而且 ¯VU,则存在光滑函数 f:Rm[0,1] ,使得 f(V)={1},f(RmU)={0}

Proof:存在有限多组开球 {D(1)i,D(2)i} 使得 ¯D(1)iD(2)iU{D(1)i} 覆盖 ¯V ,对每一对 D(1)i,D(2)i 利用 [Lem 3.1] 给出光滑函数 fi ,那么 f=1(1fi) 满足要求。

[Lem 3.3] (U,φU) 是光滑流形 M 的坐标卡,VM 的非空开集,使得 ¯V 是紧致的,而且 ¯VU,则存在光滑函数 f:M[0,1] ,使得 f(V)={1},f(MU)={0}

Proof:流形 M 是局部紧致的[2],则存在开集 U1 使得 ¯VU1¯U1U 。对一对开集 φUV,φUU1 使用 [Lem 3.2] 给出光滑函数 h ,那么以下函数 f 满足要求:

f(p)={hφU(p) ,pU0 ,pU

​ 由此,可以将紧致流形嵌入欧式空间[3]

[Theo 3.6] Mm 维紧致的光滑流形,则存在一个正整数 n 和光滑映射 φ:MRn ,使得 (φ,M)Rn 的正则子流形。

Proof:存在 M 的有限开覆盖 {Vj}1jr ,使得每一个 ¯Vj 是紧致的,且被包含在一个局部坐标系 (Uj;uij) 中。对于每一个 ¯Vj 存在开集 Wj 使得 ¯VjWj¯WjUj 。对每一对 Vj,Wj 使用 [Lem 3.3] 给出光滑函数 fi ,然后在 M 上定义 n=r(m+1) 个光滑函数:

{x0j=fjxij(p)={uij(p)fi(p) ,pUi0 ,pUi

(xij)0im,1jr 视作 Rn 中的一个点,那么上式给出了映射 φ:MRn
下证 φ 是正则嵌入,根据 [Theo 3.5] 只需证明 φ 是单射且是浸入。单射:若 p,qM 使 φ(p)=φ(q) ,则 xij(p)=xij(q) ;由于 {Vi} 是覆盖,存在一个 Vkp ,由于 fk(q)=x0k(q)=x0k(p)=fk(p)=1 ,且每一个 i 都有 uik(q)=uik(p) ,则 qUk ,且在局部坐标系 (Uk;uik)p,q 有相同的坐标,则 p=q 。浸入:pM ,存在一个 Vkp ,在其中 fk(p)=1 ,则 xik|Vk=uik ,因此 (x1k,,xmk)(u1k,,umk)|p=1 ,因此切映射 φ 是单射,φ 是嵌入。

§4 Frobenius定理

[Def 4.1] 映射 X 将光滑流形 M 的一点 p 映为切矢量 XpTp ,则称 X 是光滑流形 M 上的切矢量场。每一个切矢量 Xp 可视作函数 Xp:CR ;对于 fC ,令 (Xf)(p)=Xpf ,则 XfM 上的函数。若任意 fCXf 都是光滑函数,则称 XM 上的光滑切矢量场

​ 由此可见,光滑切矢量场可以视作算子 X:CC[Theo 2.3] 可以照搬过来,得到算子 X 的性质: (1) X(αf+βg)=αXf+βXg (2) X(fg)=fXg+gXf

​ 下面研究光滑切矢量场 X 的局部性质。首先对于 M 的非空开集 U ,限制 X|U 仍是光滑切矢量场。把 U 取成局部坐标系 (U;ui) ,就得到光滑切矢量场的局部表示:

[Theo 4.1] X 是光滑流形 M 上的切矢量场,则 X 是光滑切矢量场 对于任意点 pM ,存在 p 处的局部坐标系 (U;ui) ,使得 X 限制在 U 上可以表示为

X|U=mi=1ξiui

其中 ξi 是定义在 U 上的光滑函数。(这是比较显然的,需要注意到 ξi=X|Uui

Note:可以看出光滑切矢量场局部地表示为切矢量的“光滑”组合。

[Def 4.2] 对于 M 上的光滑切矢量场 X,Y ,其Poisson括号积定义为 [X,Y]=XYYX

[X,Y] 也是光滑切矢量场,即 [X,Y](f+g)=[X,Y]f+[X,Y]g[X,Y](fg)=f[X,Y]g+g[X,Y]f

[Theo 4.2] 对于 M 上的光滑切矢量场 X,Y,Zf,gC(M) ,以下成立(根据定义验证即可)

(1) [X,Y]=[Y,X](2) [X+Y,Z]=[X,Z]+[Y,Z](3) [fX,gY]=f(Xg)Yg(Yf)X+fg[X,Y](4) [X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0

​ 现在可以用局部坐标表示 [X,Y] 。对于局部坐标系 (U;ui)X,Y 可以表示成

X|U=mi=1ξiui ,    Y|U=mi=1ηiui

注意到 [ui,uj]=0 ,那么

[X,Y]|U=mj=1mi=1(ξiηjuiηiξjui)uj

[Def 4.3] X 是光滑流形 M 上的光滑切矢量场,若 pM 使得 Xp=0 ,则称 pX 的一个奇点

​ 矢量场在奇点附近的性质是极其复杂的,与流形的拓扑性质密切相关。然而在非奇点处,光滑切矢量场的性质是十分简单的,描述如下:

[Theo 4.3] XM 上的光滑切矢量场,若点 pM 使得 Xp0 ,则存在 p 处的局部坐标系 (W;wi) ,使得

X|W=w1

Proof:根据 [Theo 4.1] 存在 p 处的局部坐标系 (U;ui) 使得

X|U=mi=1ξiui

由于 Xp0 ,不妨 ξ1(p)0 ,且根据连续性可以假设其在 p 的充分小的邻域上非零。根据常微分方程的理论,在 p 的充分小的邻域 W 上以下常微分方程组有解(将 u1 视作自变量,其余 ui 视作未知函数)

duidu1=ξi(u1,,um)ξ1(u1,,um)

假设解为 ui=φi(u1) ,这个解是光滑的,并且初值 vi=φi(0) 可以在 W 上任取,且每一个解对初值组的依赖是光滑的。记 v1=u1 ,那么局部坐标系 (W;vi)(U;ui) 限制在 W 上的部分之间存在光滑的坐标变换(变换是由 φi 表述的)。在局部坐标系 (W;vi)

X|U=mi=1ξiui=ξ1mi=1uiv1ui=ξ1v1

第二个等号利用了 u1=v1ξi=ξ1uiu1 ,第三个等号是坐标变换。于是只需再令

w1=10dv1ξ1 ,    wi=vi

就得到满足题意的局部坐标系。

​ 以上定理说明光滑切矢量场在非奇点处“局部地”表现为切空间的一个自然基矢量。那么能否用多个光滑切矢量场组成一个局部坐标系的切空间的基呢?具体来说,如果 M 上有 h 个光滑切矢量场 X1,,Xh ,它们在点 p 的一个邻域 U 上处处线性无关(即每一点 qU 都有 X1(q),,Xh(q) 线性无关),那么是否存在 p 的一个局部坐标系 (W;wi) 使得 Xi|W=wi 呢?由于 [wi,wj]=0 ,这要求 [Xi,Xj]=0 。事实上,这是充要条件(证明过程类比下面的 [Theo 4.4])。

​ 以上的要求比较强,通常考虑下面的类似的问题。

[Def 4.4] 映射 Lh 将光滑流形 M 的一点 p 映为切空间 Tph 维子空间 Lh(p) 。如果对于每一点 p ,在 p 的某个邻域 U 上存在 h 个处处线性无关的光滑切矢量场 X1,,Xh ,使得任意 qU ,切子空间 Lh(q) 都是由矢量 X1(q),,Xh(q) 张成的,则称 LhM 上的 h光滑分布,记作 Lh|U={X1,,Xh}

​ 两组张成 Lh 的光滑切矢量场之间存在着以光滑函数为系数的非退化线性变换。具体而言,对于另一组光滑切矢量场 Lh|U={Y1,,Yh} ,存在由光滑函数构成的 h 阶方阵 a=(aβα) ,使得每一点处 deta0 ,且

Yα=hβ=1aβαXβ

问题是,是否存在局部坐标系 (W;wi) 使得

Lh|W={w1,,wh}

当这一条件成立时,对于 Lh|U={X1,,Xh} ,存在变换

Xα=hβ=1aβαwβ

在此情况下,有

[Xα,Xβ]=hδ,η=1(aδαaηβwδaδβaηαwδ)wη=hγ=1CγαβXγ

这里利用了Poisson括号积的表示和上述变换,其中的参数( a1 表示 a 的逆矩阵)

Cγαβ=hδ,η=1(aδαaηβwδaδβaηαwδ)(a1)γη

这就是说 [Xα,Xβ] 可以表示为 X1,,Xh 的线性组合。

[Def 4.5] LhM 上的 h 维光滑分布。若任意使 Lh|U={X1,,Xh} 的一组光滑切矢量场 X1,,Xh ,其中的每一对 [Xα,Xβ] 都可以表示为 X1,,Xh 的线性组合,则称 Lh 满足Frobenius条件

[Theo 4.4] (Frobenius定理) LhM 上的 h 维光滑分布。 LhU 上满足Frobenius条件 对于任意 pU ,存在 p 的局部坐标系 (W;wi)WU,使得

Lh|W={w1,,wh}

Proof 已经说明。 :对维数 h 归纳。h=1 时即是 [Theo 4.3] 。若 h1 维成立, h 维时,对于满足Frobenius条件的 Lh={X1,,Xh} ,这个条件意味着[4]

[Xα,Xβ]0 (mod Xγ)    1α,βh

[Theo 4.3] 存在 p 处的局部坐标系 (y1,,ym) 使得 Xh=yh
以下设 1λ,μ,νh1 ,并定义

Xλ=Xλ(Xλyh)Xh

显然有 Xλyh=0,Xhyh=1 。处处线性无关的组 X1,,Xh1,Xh 仍然张成 Lh ,则由Frobenius条件

[Xλ,Xμ]aλμXh (mod Xν)

将上式两边同时作用于 yh ,得 aλμ=0 ,于是 Lh1={X1,,Xh1} 满足Frobenius条件。因此由归纳假设存在 p 的局部坐标系 (z1,,zm) 使得

Lh1={z1,,zh1}

两个组之间存在光滑的非退化线性变换,则 zλyh=0 ,因此 Xh 与它们线性无关。故

Lh={z1,,zh1,Xh}

根据Frobenius条件,可设

[zλ,Xh]bλXh (mod zμ)

将上式两边同时作用于 yh ,得 bλ=0 ,所以

[zλ,Xh]=h1μ=1Cλμzμ

(z1,,zm)Xh 可表示为 Xh=mi=1ξizi ,则

[zλ,Xh]=mi=1ξizλzi

两相对比,得到 1λh1,himξizλ=0 ,因此 ξi 是只与 zh,,zm 有关的函数。于是可以令 Xh=mi=hξizi ,仍然有 Lh={z1,,zh1,Xh} 。由 [Theo 4.3] 存在从 (zh,,zm)(wh,,wm) 的坐标变换使得 Xh=wh ,再令 wλ=vλ  (1λh1) ,则

Lh={w1,,wh}

Note:此定理还有一个基于外微分叙述的对偶形式,见第三章 [Theo 2.4]



  1. 参见Munkres《拓扑学》P127 第26节 定理26.6 ↩︎

  2. 参见Munkres《拓扑学》P174 第36节后 习题1 的证明过程 ↩︎

  3. 参见Munkres《拓扑学》P175 第36节 定理36.2 ,这里的结论更强 ↩︎

  4. 这里引入的记号 uv (mod vi) 意味着 uvspan{vi} ,或者说商去 span{vi} 后两个向量等价。 ↩︎

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