微积分小感——3.简单积分
微积分小感——3.简单积分
所需的前置知识:
1)函数的概念
2)实数理论
3)极限理论(第0章)
4)导数与微分(第1章)
5)微分学基本定理(第2章)
§1.定积分
—1.定积分的定义
定积分的发明源于对曲边形面积的研究。我们先看一个简单的例子:
求二次函数 f(x)=x2f(x)=x2 与直线 x=0,x=1x=0,x=1 以及 xx 轴围成的曲边形的面积 SS 。
初看令人束手无策。对于一个素昧平生的新问题,我们还是要拿出微积分学的初心——“用有限逼近无限,用离散逼近连续”。最简单好求面积的图形是什么?矩形。那么,我们不妨将这图形切割成矩形。将区间 [0,1][0,1] 等分为 nn 份,以每份的右端点的函数值为高,计算出面积和:
当 n→∞n→∞ 时,SnSn 趋于 SS ,也就是:
得出结论 S=13S=13 。
更一般的,对于求函数 f(x)f(x) 与直线 x=a,x=bx=a,x=b 以及 xx 轴围成的曲边形的面积,我们如法炮制。首先从小到大取闭区间 [a,b][a,b] 内一定数量的点 a=x0<x1<x2<⋯<xn−1<xn=ba=x0<x1<x2<⋯<xn−1<xn=b ,取点可以不均匀(这在极限意义下都是无关紧要的),然后将两点之间的距离 Δxi=xi−xi−1 (1⩽i⩽n)Δxi=xi−xi−1 (1⩽i⩽n) 作为矩形的底边。对每一个矩形底边 ΔxiΔxi ,在区间 [xi−1,xi][xi−1,xi] 内取一点 ξiξi ,并以这一点的函数值 f(ξi)f(ξi) 作为矩形的高,算出所有矩形面积之和:
然后取极限。注意到由于是不一定均匀的取点,单纯令 n→∞n→∞ 是不能达到逼近曲边形面积的效果的(例如取区间 [a,b][a,b] 的 1/2,1/4,1/8,⋯,1/2n1/2,1/4,1/8,⋯,1/2n 处),我们应令 λ=max{Δxi}→0λ=max{Δxi}→0 ,也就是所有的底边长度的最大值趋于零,才能得到正确结果:
等式最右边就是定积分的定义式[^可积性]:
形象地看,定积分的符号就是将 SS 拉长成 ∫∫ , f(ξi)f(ξi) 写成 f(x)f(x) , ΔxΔx 写成 dxdx ,并标上区间左右端点得到的。定积分是因其结果为定数而得名的。
附注:
此处的 dxdx 在初期可以理解几何诠释中矩形的无穷小的底边,但它的实际作用是说明积分的变量。这要到后面的分部积分法和换元积分法的时候才会体现。
—2.定积分的性质
如上定积分的定义局限于 a<ba<b 的情况,简单粗暴的补充:
就可以对任意的 a,ba,b 做定积分了。
定积分满足如下显然的(所谓证明不过是套定义式罢了)运算法则:
(ⅰ)(ⅰ) 加减法则:∫ba(f(x)±g(x))dx=∫baf(x)dx±∫bag(x)dx∫ba(f(x)±g(x))dx=∫baf(x)dx±∫bag(x)dx
(ⅱ)(ⅱ) 系数法则:∫bakf(x)dx=k∫baf(x)dx∫bakf(x)dx=k∫baf(x)dx ( kk 为常数)
(ⅲ)(ⅲ) 连接法则:∫baf(x)dx+∫cbf(x)dx=∫caf(x)dx∫baf(x)dx+∫cbf(x)dx=∫caf(x)dx
或许你已经准备计算一些常见函数的定积分了,但是……这个定义式几乎没有任何用处——绝大多数函数的求和是没办法计算的。别急,插个题外话,一切便豁然开朗。
§2.不定积分
—1.不定积分的定义
求导是一种将函数变为另一个函数的运算(这被称为“算子”),如同定义了加法之后便要定义它的逆运算——减法,我们定义如下的求导的逆运算:
若两函数 F(x),f(x)F(x),f(x) 满足 F′(x)=f(x)F′(x)=f(x) ,就称:
∫f(x)dx=F(x)+C∫f(x)dx=F(x)+C其中 CC 为任意常数,此运算称为对 f(x)f(x) 的不定积分, F(x)F(x) 称为 f(x)f(x) 的原函数。
常数 CC 的存在,是由于常数不会影响求导结果。正因如此,不定积分的结果不是一个函数,而是一个函数集合 F={F(x)+C|C∈R}F={F(x)+C|C∈R} ,这也就是其被称为“不定”积分的缘故。
出于严谨,我们要检验一下不定积分的完备性,也就是不会出现 G′(x)=f(x)G′(x)=f(x) 且 G′(x)∉FG′(x)∉F :
证明: F′(x)=G′(x)F′(x)=G′(x) 当且仅当 F(x)−G(x)F(x)−G(x) 为常数。
由前推后:令 ϕ(x)=F(x)−G(x)ϕ(x)=F(x)−G(x) ,则 ϕ′(x)=F′(x)−G′(x)=0ϕ′(x)=F′(x)−G′(x)=0 ,由【第2章 §2 —1. 定理零】,ϕ(x)ϕ(x) 为常函数,得证。
由后推前:显然。
于是我们完备地得到了不定积分的定义。
根据不定积分的定义,有显然的恒等式:
我们把函数 y=f(x)y=f(x) 的导数写成微分之比 y′=dydxy′=dydx 的形式,自然地约掉 dxdx 得到:
于是,我们可以理解为: ∫∫ 和 dd 是一对互逆运算![1]
不定积分的相加和乘以系数有如下显然的运算法则:
对于函数 u=f(x)u=f(x) ,v=g(x)v=g(x) :
(ⅰ)(ⅰ) 加减法则: ∫(u±v)dx=∫udx±∫vdx∫(u±v)dx=∫udx±∫vdx
(ⅱ)(ⅱ) 系数法则: ∫(k⋅u)dx=k⋅∫udx∫(k⋅u)dx=k⋅∫udx ( kk 为常数)
但是不定积分的乘法和函数嵌套法则则涉及复杂的技巧(以至于它们甚至失掉了“乘法”和“嵌套”这两个基本的名字,改为了“分部积分法”和“换元积分法”),我们会专辟一节加以讨论,此处且按下不表。
—2.微积分基本定理
读到此处你一定会发现一件怪事:定积分和不定积分的定义迥然不同,但它们却有极其形似的名称和记号。这一切都源于如下大名鼎鼎的微积分基本定理(又名牛顿-莱布尼茨定理):
若 F′(x)=f(x)F′(x)=f(x) ,则:
∫baf(x)dx=F(b)−F(a)∫baf(x)dx=F(b)−F(a)我们有时记等号右侧为 F(x)|baF(x)|ba ,如同时记 F(x)=∫f(x)dxF(x)=∫f(x)dx ,就能得到如下的优美式子:
∫baf(x)dx=∫f(x)dx|ba∫baf(x)dx=∫f(x)dx∣∣∣ba
是不是令人折服?现在运用拉格朗日中值定理证明之:
证明:若 F′(x)=f(x)F′(x)=f(x) ,则:
∫baf(x)dx=F(b)−F(a)∫baf(x)dx=F(b)−F(a)摆出定积分的定义式:
∫baf(x)dx=limλ→0n∑i=1f(ξi)Δxi∫baf(x)dx=limλ→0n∑i=1f(ξi)Δxi对于任意一段 [xi−1,xi][xi−1,xi] ,由拉格朗日中值定理[2],有:
F(xi)−F(xi−1)=f(ci)Δxici∈(xi−1,xi)F(xi)−F(xi−1)=f(ci)Δxici∈(xi−1,xi)由于 ξiξi 的选取是任意的,不妨令 ξi=ciξi=ci ,那么:
n∑i=1f(ξi)Δxi=n∑i=1f(ci)Δxi=n∑i=1(F(xi)−F(xi−1))=F(xn)−F(x0)n∑i=1f(ξi)Δxi=n∑i=1f(ci)Δxi=n∑i=1(F(xi)−F(xi−1))=F(xn)−F(x0)所以:
∫baf(x)dx=limλ→0n∑i=1f(ξi)Δxi=limλ→0(F(xn)−F(x0))=F(b)−F(a)∫baf(x)dx=limλ→0n∑i=1f(ξi)Δxi=limλ→0(F(xn)−F(x0))=F(b)−F(a)命题得证。
有了微积分基本定理,我们就自然地搭建起了微分和积分的桥梁。从现代的角度,这定理描述的是定积分和不定积分的关系。但在微积分草创之时,其意义则十分重大:从几何角度,“积分”就是求曲边图形面积,“微分”就是求曲线斜率;从物理角度,“积分”就是求连续变化系统的宏观状态,“微分”就是求连续变化系统的微观改变;微积分基本定理就是在说,以上这两对操作分别互逆!
有了微积分基本定理之后,我们就可以专心于“如何求不定积分”这一问题,定积分的内容将很少以重要的形式再出现了。
—3.微积分基本定理的相关结论和例子
如下结论从证明的路线上来说,理应出现再微积分基本定理前边(至少是同时),但是从微积分基本定理回望它们会显得更容易理解。
-
积分中值定理
对于区间 [a,b][a,b] 上的函数 f(x)f(x) ,存在 c∈[a,b]c∈[a,b] 使得:
∫baf(x)dx=f(c)(b−a)∫baf(x)dx=f(c)(b−a)令 F(x)=∫f(x)dxF(x)=∫f(x)dx ,则由微积分基本定理结合拉格朗日中值定理:
∫baf(x)dx=F(b)−F(a)=F′(c)(b−a)=f(c)(b−a)∫baf(x)dx=F(b)−F(a)=F′(c)(b−a)=f(c)(b−a) -
原函数存在定理
对于函数 f(x)f(x) ,如下的函数 F(x)F(x) 是其原函数:
F(x)=∫xaf(t)dtF(x)=∫xaf(t)dt给定自变量增量 ΔxΔx ,则函数 F(x)F(x) 获得增量:
ΔF=F(x+Δx)−F(x)=∫x+Δxaf(t)dt−∫xaf(t)dt=∫x+Δxxf(t)dtΔF=F(x+Δx)−F(x)=∫x+Δxaf(t)dt−∫xaf(t)dt=∫x+Δxxf(t)dt根据积分的定义式,记 f(x)f(x) 在区间 [x,x+Δx][x,x+Δx] 上的最大最小值分别为 M(f),m(f)M(f),m(f) ,有:
m(f)Δx⩽∫x+Δxxf(t)dt⩽M(f)Δxm(f)Δx⩽∫x+Δxxf(t)dt⩽M(f)Δx当 Δx→0Δx→0 时,有 limm(f)=limM(f)=f(x)limm(f)=limM(f)=f(x) ,于是由夹逼定理:
limΔx→01Δx∫x+Δxxf(t)dt=f(x)limΔx→01Δx∫x+Δxxf(t)dt=f(x)套用导数的定义:
F′(x)=limΔx→0ΔFΔx=limΔx→01Δx∫x+Δxxf(t)dt=f(x)F′(x)=limΔx→0ΔFΔx=limΔx→01Δx∫x+Δxxf(t)dt=f(x)意既 F(x)F(x) 是 f(x)f(x) 的原函数。
附注:
这一定理是微积分基本定理的另一种证法(抑或另一种形式)。许多求导与积分的结合,或这极限与积分的结合,往往可使用这一定理。
下面举一些简单但有趣的积分计算的例子:
- sinxsinx 下的面积
计算函数 sinxsinx 与 xx 轴在区间 [0,π][0,π] 上围成的面积 SS 。
根据定积分的几何意义,以及由 (cosx)′=−sinx(cosx)′=−sinx ,有:
S=∫π0sinxdx=(−cosx)|π0=cos0−cosπ=2S=∫π0sinxdx=(−cosx)∣∣π0=cos0−cosπ=2
-
两个函数所夹的面积
如图(文件 §2-3-2.ggb )计算由 f:y=x2,g:y=√x+1,x=−1,x=2f:y=x2,g:y=√x+1,x=−1,x=2 围成的阴影面积 SS 。
首先算出 f,gf,g 两函数的原函数(不妨令积分常数 C=0C=0 ):
F(x)=∫f(x)dx=13x3,G(x)=∫g(x)dx=23(x+1)32F(x)=∫f(x)dx=13x3,G(x)=∫g(x)dx=23(x+1)32我们将如图的阴影分为三块:以 A,B,CA,B,C 为顶点的曲边三角状面积 S1S1 ,以 C,DC,D 为顶点的叶子状面积 S2S2 ,以 D,E,FD,E,F 为顶点的曲边三角状面积 S3S3 。整个积分区间 [−1,2][−1,2] 相应分为三段 [−1,xC],[xC,xD],[xD,2][−1,xC],[xC,xD],[xD,2] (先不解出 C,DC,D 的坐标),分别算出:
S1=∫xC−1(f(x)−g(x))dx=(F(x)−G(x))|xC−1=F(xC)−G(xC)−F(−1)+G(−1)S2=∫xDxC(g(x)−f(x))dx=(G(x)−F(x))|xDxC=G(xD)−F(xD)−G(xC)+F(xC)S3=∫2xD(f(x)−g(x))dx=(F(x)−G(x))|2xD=F(2)−G(2)−F(xD)+G(xD)S1=∫xC−1(f(x)−g(x))dx=(F(x)−G(x))∣∣xC−1=F(xC)−G(xC)−F(−1)+G(−1)S2=∫xDxC(g(x)−f(x))dx=(G(x)−F(x))∣∣xDxC=G(xD)−F(xD)−G(xC)+F(xC)S3=∫2xD(f(x)−g(x))dx=(F(x)−G(x))∣∣2xD=F(2)−G(2)−F(xD)+G(xD)将上三项相加,带入 xC≈−0.724,xD≈1.221xC≈−0.724,xD≈1.221 ,得到 S=S1+S2+S3≈2.29S=S1+S2+S3≈2.29 。
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运用积分夹逼
求证:18⩽100∑x=11√x⩽1918⩽100∑x=11√x⩽19
由于下面两幅图(文件 §2-3-3.ggb ),其中橙色和蓝色部分是原和−1−1 ,青色和黄色的部分是函数 f(x)=1√xf(x)=1√x 在区间 [2,100][2,100] 和 [1,99][1,99] 上分别做的积分,
根据图像有 S青<S蓝=S橙<S黄S青<S蓝=S橙<S黄 ,因而我们可以得到:
2√100−2√2=∫10021√xdx<100∑x=21√x<∫9911√xdx=√99−√12√100−2√2=∫10021√xdx<100∑x=21√x<∫9911√xdx=√99−√1因此:
18<2√100−2√2+1<100∑x=11√x<2√99−2√1+1<1918<2√100−2√2+1<100∑x=11√x<2√99−2√1+1<19附注:
此题当然有初等解法。注意到:√x+1+√x>2√x>√x+√x−11√x+1+√x<12√x<1√x+√x−12√x+1−2√x<1√x<2√x−2√x−1√x+1+√x>2√x>√x+√x−11√x+1+√x<12√x<1√x+√x−12√x+1−2√x<1√x<2√x−2√x−1因而原和满足(此处将 x=1x=1 单列是为了夹逼的紧度):
1+100∑x=2(2√x+1−2√x)<100∑x=11√x<1+100∑x=2(2√x−2√x−1)18<2√100−2√2+1<100∑x=11√x<2√99−2√1+1<191+100∑x=2(2√x+1−2√x)<100∑x=11√x<1+100∑x=2(2√x−2√x−1)18<2√100−2√2+1<100∑x=11√x<2√99−2√1+1<19然而认识到这一不等式,上两图的积分图像也是不可或缺的。
§3.特殊积分法
—1.分部、换元积分法
根据已经熟知的求导法则:
有对应的积分恒等式:
第一个式子被称为“分部积分法”。而第二个式子常写作
此时它起到将 uu 换为 xx 的作用,被称为“换元积分法”。如上两法的微分形式如下:
此两法的详细内容会在下一章讨论,此处先以两个例子感受一二:
-
∫secxdx∫secxdx
令 t=sinxt=sinx ,则 dx=1cosxdtdx=1cosxdt ,代入原式:
∫secxdx=∫1cosxdx=∫1cos2xdt=∫11−t2dt∫secxdx=∫1cosxdx=∫1cos2xdt=∫11−t2dt对于这个分式,采取裂项的手段处理(这也会在下一章详细讨论):
∫11−t2dt=12∫11−tdt+12∫11+tdt=12ln(1−t)+12ln(1+t)+C∫11−t2dt=12∫11−tdt+12∫11+tdt=12ln(1−t)+12ln(1+t)+C由于 t=sinx∈[−1,1]t=sinx∈[−1,1] ,故 lnln 内不必带绝对值。回代 t=sinxt=sinx ,并化简:
12ln(1−t)+12ln(1+t)+C=ln√1−sinx1+sinx+C=ln|tanx+secx|+C12ln(1−t)+12ln(1+t)+C=ln√1−sinx1+sinx+C=ln|tanx+secx|+C得到答案:
∫secxdx=ln|tanx+secx|+C∫secxdx=ln|tanx+secx|+C附注:
另有一极巧妙的做法:∫secxdx=∫sec2x+tanxsecxsecx+tanxdx=∫ln′(secx+tanx)⋅(secx+tanx)′dx=ln|tanx+secx|+C∫secxdx=∫sec2x+tanxsecxsecx+tanxdx=∫ln′(secx+tanx)⋅(secx+tanx)′dx=ln|tanx+secx|+C套用 f(g(x))+C=∫f′(g(x))g′(x)dxf(g(x))+C=∫f′(g(x))g′(x)dx 。
-
∫exsinxdx∫exsinxdx
令 u=ex,v=sinxu=ex,v=sinx ,套用两次分部积分法:
∫exsinxdx=exsinx−∫excosxdx=exsinx−(excosx−∫ex(−sinx)dx)=ex(sinx+cosx)−∫exsinxdx∫exsinxdx=exsinx−∫excosxdx=exsinx−(excosx−∫ex(−sinx)dx)=ex(sinx+cosx)−∫exsinxdx于是得出:
∫exsinxdx=ex2(sinx+cosx)∫exsinxdx=ex2(sinx+cosx)附注:此类形如 exf(x)exf(x) 的积分常用分部积分法,通常最终会在等号右侧重现原积分。
—2.反常积分
反常积分,是指在积分区间内被积函数有未定义点或无穷点的定积分,这些点被称为“瑕点”。例如
就有 −∞,−1,+1,+∞−∞,−1,+1,+∞ 四个瑕点。
总可以通过拆分,将有多个瑕点的反常积分拆分成仅含有一个瑕点,并且瑕点位于积分上下界的反常积分。既然函数在瑕点处无定义,容易想到的处理方法是通过极限逼近。于是得到反常积分的定义(以下的 cc 皆是函数无定义的点):
我们尝试求一下本节开头的积分。有些初学者在可能会做如下论断:
由于被积函数 xx2−1xx2−1 是奇函数,所以
∫+∞−∞xx2−1dx=limt→+∞(∫0−txx2−1dx+∫t0xx2−1dx)=limt→+∞(∫t0−xx2−1dx+∫t0xx2−1dx)=0∫+∞−∞xx2−1dx=limt→+∞(∫0−txx2−1dx+∫t0xx2−1dx)=limt→+∞(∫t0−xx2−1dx+∫t0xx2−1dx)=0
如此做的错误在于试图仅用一个字母解决两个极限。正确的做法是先算出不定积分:
然后老老实实按定义:
首先取出第一个积分:
依次计算剩余积分,得出的结果分别是 −∞,+∞,−∞,∞,∞−∞,+∞,−∞,∞,∞ ,这些无穷互不关联,于是原积分的结果是一个不存在的值。
—3.体积、弧长、表面积积分
所谓“面动成体”,积分给予了我们强大的计算面积的工具,那接下来自然就可以开始体积的计算。我们要解决的是称为“旋转体”的立体的体积。对于一个定义在区间 [a,b][a,b] 上的函数 f(x)f(x) ,我们将它与 xx 轴、直线 x=a,x=bx=a,x=b 围成的面积绕 xx 轴旋转一周,求得到的立体的体积。
回到积分定义的本源,我们对曲边形的处理方法是将其分割成多个矩形小条,累加来近似。如果我们将这个矩形组成的近似物绕 xx 轴旋转一周,则可以得到一组圆盘,每个圆盘的半径为矩形的高,也就是这一区间内某点的函数值,高为矩形的宽。因此,旋转体就可以横截成多个圆盘,累加来近似。
将思路落实成式子。首先分割区间 [a,b][a,b] 为点 a=x0<x1<x2<⋯<xn−1<xn=ba=x0<x1<x2<⋯<xn−1<xn=b ,然后将每两点之间的距离 Δxi=xi−xi−1 (1⩽i⩽n)Δxi=xi−xi−1 (1⩽i⩽n) 作为圆盘的厚度,同时在每个区间 [xi−1,xi][xi−1,xi] 内取一点 ξiξi ,并以这一点的函数值 f(ξi)f(ξi) 作为圆盘的半径,算出所有圆盘体积之和:
仿照积分定义的那个极限:
让我们以一个实例练手
求半径为 rr 的球的体积。
球由半圆旋转而成。半径为 rr 的半圆对应函数
y=√r2−x2(−r⩽x⩽r)y=√r2−x2(−r⩽x⩽r)套用旋转体体积公式:
V=∫r−r(√r2−x2)2dx=∫r−r(r2−x2)dx=(r2x−13x3)|r−r=4π3r3V=∫r−r(√r2−x2)2dx=∫r−r(r2−x2)dx=(r2x−13x3)∣∣r−r=4π3r3就是我们熟悉的球的体积公式。如下图(文件 §3-3.ggb ,蓝色为球,绿色为推导过程中的圆盘):
除了绕 xx 轴旋转,还可以绕 yy 轴旋转。此时的函数 f(x)f(x) 与 xx 轴、直线 x=a,x=bx=a,x=b 围成的面积旋转所得的立体,就可以如洋葱一般分割成数层柱壳,其中第 ii 层的体积为 νi=f(xi)π(x2i+1−x2i)νi=f(xi)π(x2i+1−x2i) 。若直接将其累加套入极限,是无法整理成积分的形式的。我们可将其近似为以内层圆周长 2πxi2πxi 为长、柱壳厚度 ΔxiΔxi 为宽、柱壳高度 f(ξi)f(ξi) 为高的长方体,其体积为 vi=2πxi⋅Δxi⋅f(ξi)vi=2πxi⋅Δxi⋅f(ξi) 。将其累加:
仿照积分定义的那个极限:
旋转体当然还可以由绕非 x,yx,y 轴的轴旋转得到,统一的处理方法是将其变换为坐标轴之后再积分。
积分的作用还可拓展到一维领域——求曲线弧长。若要求函数 y=f(x)y=f(x) 再闭区间 [a,b][a,b] 内的函数图像曲线的长度,首先分割区间 [a,b][a,b] 为点 a=x0<x1<x2<⋯<xn−1<xn=ba=x0<x1<x2<⋯<xn−1<xn=b ,然后算出每两点之间对应的函数图像上的点之间的距离:
将这些距离累加并求极限:
注意到当 λ→0λ→0 时, Δxi→0Δxi→0 ,则根据导数的定义有 ΔyiΔxi∼f′(x)ΔyiΔxi∼f′(x) ,于是:
我们尝试根据这个式子求圆的周长:
半径为 rr 的半圆对应函数 f(x)=√r2−x2f(x)=√r2−x2 ,则
f′(x)=−x√r2−x2f′(x)=−x√r2−x2套用弧长的公式:
L=∫r−r√1+(−x√r2−x2)2dx=∫r−rdx√r2−x2L=∫r−r√1+(−x√r2−x2)2dx=∫r−rdx√r2−x2换元 x=rsintx=rsint ,则 dx=rcostdtdx=rcostdt ,积分下限 [−π2,π2][−π2,π2] (注意定积分换元时要一并替换积分区间),原积分变为 (此区间内 cost⩾0cost⩾0 ,无需讨论符号):
L=∫π2−π2rcostdt√r2−(rsint)2=∫π2−π2rdt=rt|π2−π2=πrL=∫π2−π2rcostdt√r2−(rsint)2=∫π2−π2rdt=rt∣∣π2−π2=πr因此圆的周长 C=2L=2πrC=2L=2πr 。
将曲线绕着轴旋转,就可以得到旋转曲面。读者可仿照求旋转体体积,自行推导如下两个绕 x,yx,y 轴旋转得到旋转曲面的表面积:
§4.积分的实例
—1.万有引力势能
我们考虑一维空间中的情况[3]。经典力学中,质量为 M,mM,m 、相距 xx 的两物体之间的万有引力的方向指向对方,其大小可看作关于 xx 的函数:
假定在原点有一质量为 MM 的质点,定义无穷远点为势能零点。首先计算质量为 mm 的质点从无穷远点移动到 r0r0 点过程中万有引力 FF 做的功。我们取足够远的一点 r1r1 ,将移动过程 [r0,r1][r0,r1] 分为 nn 段,假定每一段上 FF 不变,累加所作的功(此时引力方向与移动方向相同,功为正):
使区间长 λ→0λ→0 ,右端点 r1→∞r1→∞ ,得到引力做的功的定义:
这是一个反常积分。做出不定积分:
代回原反常积分得到答案:
由于无穷远点为势能零点,因此 r0r0 点的万有引力势能:
—2.质能方程
我们考虑一维空间中的情况[4]。在狭义相对论体系中,两个相对速度为 uu 的惯性系满足洛伦兹变换:
若对于一个惯性系有一个速度为 vv 的物体,那么另一个惯性系中此物体的速度
假设有两个相对速度为 uu 的惯性系 S,S′S,S′ ,质量均为 m0m0 的两个质点分别相对于 S,S′S,S′ 静止。两质点相撞后合并为一个质点 MM ,其相对于 S,S′S,S′ 的速度分别为 v,v′v,v′ 。假定参考系中物体的质量 mm 是速度的大小 |v||v| 的函数。那么由于质量和动量守恒,对于两个惯性系分别有:
于是得到 v′=−vv′=−v ,又根据惯性系间的速度变换 (显然,u>vu>v):
因此:
于是可定义定义质量为 mm 速度为 vv 的质点的动量 pp 为:
从而质点如此运动时所受的力 FF 为:
同【§4—1】中的功的定义,此力 FF 在区间 [0,s][0,s] 上做功:
根据动量的定义计算其导数:
带回原积分:
记洛伦兹因子 γ=(1−v2/c2)−1/2γ=(1−v2/c2)−1/2 。由于合外力对物体做的功等于动能的改变量,假设初始动能为 00 ,那么点 ss 的动能就为 Ek=γmc2−mc2Ek=γmc2−mc2 。我们视第一部分 γmc2γmc2 为总能量,第二部分 E=mc2E=mc2 为静能,就得到了质能方程。
—3.蒲丰投针问题
平面内有无穷条相距 aa 的平行线,将长度为 bb 的针丢在平面内,求针与平行线相交的概率。
首先将问题转化为数学模型。我们可以用数对 (x,θ)(x,θ) 描述针在平面内的位置,其中 xx 表示针的中点到距离最近的平行线的距离, x∈[0,a2]x∈[0,a2] ;θθ 表示针与平行线的夹角, θ∈[0,π2]θ∈[0,π2] 。则针与平行线相交就可以描述为如下不等式:
我们将满足解的数对 (x,θ)(x,θ) 表在平面内,就会形成如下蓝色区域:
我们所求的概率就是蓝色区域面积与棕色矩形面积之比。在用积分求出蓝色区域面积之前,要注意到当 b>a,sinθ>abb>a,sinθ>ab 时,蓝色区域会被限制成矩形,此时要分开求积分。于是:
-
当 b⩽ab⩽a 时,
S=∫π20b2sinθdθ=−b2cosθ|π20=b2P=SS0=b2a2⋅π2=2bπaS=∫π20b2sinθdθ=−b2cosθ∣∣π20=b2P=SS0=b2a2⋅π2=2bπa -
当 b>ab>a 时,
S=∫arcsinab0b2sinθdθ+∫π2arcsinaba2dθ=−b2cosθ|arcsinab0+a2(π2−arcsinab)=πa4+b2−12√b2−a2−a2arcsinabP=SS0=πa4+b2−12√b2−a2−a2arcsinaba2⋅π2=1+2bπa−2πa√b2−a2−2πarcsinabS=∫arcsinab0b2sinθdθ+∫π2arcsinaba2dθ=−b2cosθ∣∣arcsinab0+a2(π2−arcsinab)=πa4+b2−12√b2−a2−a2arcsinabP=SS0=πa4+b2−12√b2−a2−a2arcsinaba2⋅π2=1+2bπa−2πa√b2−a2−2πarcsinab
综合起来:
读者可自证:给定 aa ,总有 0<P<10<P<1 , PP 随 bb 的增大严格减小,当 b→∞b→∞ 时 P→1P→1 。
这个实验在历史上曾用来估计 ππ 的大小,不少人做过此实验(下随意取几例):
试验者 | 时间 | 投掷次数 | 相交次数 | ππ 估计值 |
---|---|---|---|---|
Smith | 1855年 | 3204 | 1218.5 | 3.1554 |
Lazzerini | 1901年 | 3408 | 1808 | 3.1415929 |
Reina | 1925年 | 2520 | 859 | 3.1795 |
而其中多数要么很不精确,要么有造假之嫌。这个实验的“用概率估值”的精神被大名鼎鼎的蒙特卡洛方法继承,现在在计算机领域仍广为应用。
—4.不规则物体的引力
求平面内线密度 ρρ 的曲线 (x(t),y(t)),t∈[a,b](x(t),y(t)),t∈[a,b] 对质量为 mm 的质点 (p,q)(p,q) 的引力的大小。
老规矩,分割区间 [a,b][a,b] ,近似计算出每一段的质量:
取每一段上的一点 (ξi,ψi)(ξi,ψi) ,算出其到质点的距离:
计算出此段对质点的引力大小:
将力分解到坐标轴方向上:
求和求出合力,并套入极限:
于是这个引力的大小就是 F=√F2x+F2yF=√F2x+F2y 。
本章介绍了积分的定义、基本计算方法和其应用。狭义来说,积分是微分的逆操作(这将在第五章微分方程充分体现)。广义来说,对某一个函数的“累积”操作总可以抽象成关于这个函数的一个积分(积分甚至不一定连续,例如在数论中狄利克雷卷积就可以视作一种“积分”),再加以解决。积分也因此广泛地应用于物理、信息等各个领域。在下一章节,我们将介绍对于各种常见形式的积分的计算方法,那将是一个纯粹技术性的章节。
另一种理解是将 ∫dy 视作函数 f(y)=1 的积分,那么如上的操作就是下一节的换元积分法。 ↩︎
这里拉格朗日中值定理的使用条件,应由函数的可积性保证。详细的讨论会十分繁琐,并会涉及测度论等高深内容。读者仅需理解为“大部分常见的连续可导函数都可积”即可。 ↩︎
势能的定义实则是很复杂的,涉及到多维空间中的定向、零点的选取、积分是否与路径相关等。这里采取的是一维空间中的方便的简化。 ↩︎
以下内容参考了微信公众号“长尾科技”的文章你也能懂的质能方程E=mc²。 ↩︎
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