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微积分小感——3.简单积分

微积分小感——3.简单积分

所需的前置知识:
1)函数的概念
2)实数理论
3)极限理论(第0章
4)导数与微分(第1章
5)微分学基本定理(第2章

§1.定积分

—1.定积分的定义

​ 定积分的发明源于对曲边形面积的研究。我们先看一个简单的例子:

求二次函数 f(x)=x2f(x)=x2 与直线 x=0,x=1x=0,x=1 以及 xx 轴围成的曲边形的面积 SS

初看令人束手无策。对于一个素昧平生的新问题,我们还是要拿出微积分学的初心——“用有限逼近无限,用离散逼近连续”。最简单好求面积的图形是什么?矩形。那么,我们不妨将这图形切割成矩形。将区间 [0,1][0,1] 等分为 nn 份,以每份的右端点的函数值为高,计算出面积和:

Sn=ni=1f(in)1n=ni=1i2n3=1n3ni=1i2=1n3n(n+1)(2n+1)6=13+12n+16n2Sn=ni=1f(in)1n=ni=1i2n3=1n3ni=1i2=1n3n(n+1)(2n+1)6=13+12n+16n2

nn 时,SnSn 趋于 SS ,也就是:

S=limnSn=limn(13+12n+16n2)=13S=limnSn=limn(13+12n+16n2)=13

得出结论 S=13S=13

​ 更一般的,对于求函数 f(x)f(x) 与直线 x=a,x=bx=a,x=b 以及 xx 轴围成的曲边形的面积,我们如法炮制。首先从小到大取闭区间 [a,b][a,b] 内一定数量的点 a=x0<x1<x2<<xn1<xn=ba=x0<x1<x2<<xn1<xn=b ,取点可以不均匀(这在极限意义下都是无关紧要的),然后将两点之间的距离 Δxi=xixi1 (1in)Δxi=xixi1 (1in) 作为矩形的底边。对每一个矩形底边 ΔxiΔxi ,在区间 [xi1,xi][xi1,xi] 内取一点 ξiξi ,并以这一点的函数值 f(ξi)f(ξi) 作为矩形的高,算出所有矩形面积之和:

Sn=ni=1f(ξi)ΔxiSn=ni=1f(ξi)Δxi

然后取极限。注意到由于是不一定均匀的取点,单纯令 nn 是不能达到逼近曲边形面积的效果的(例如取区间 [a,b][a,b]1/2,1/4,1/8,,1/2n1/2,1/4,1/8,,1/2n 处),我们应令 λ=max{Δxi}0λ=max{Δxi}0 ,也就是所有的底边长度的最大值趋于零,才能得到正确结果:

S=limλ0Sn=limλ0ni=1f(ξi)ΔxiS=limλ0Sn=limλ0ni=1f(ξi)Δxi

等式最右边就是定积分的定义式[^可积性]:

baf(x)dx=limλ0ni=1f(ξi)Δxibaf(x)dx=limλ0ni=1f(ξi)Δxi

形象地看,定积分的符号就是将 SS 拉长成 f(ξi)f(ξi) 写成 f(x)f(x)ΔxΔx 写成 dxdx ,并标上区间左右端点得到的。定积分是因其结果为定数而得名的。

附注:
此处的 dxdx 在初期可以理解几何诠释中矩形的无穷小的底边,但它的实际作用是说明积分的变量。这要到后面的分部积分法和换元积分法的时候才会体现。

—2.定积分的性质

​ 如上定积分的定义局限于 a<ba<b 的情况,简单粗暴的补充:

aaf(x)dx=0,abf(x)dx=baf(x)dxaaf(x)dx=0,abf(x)dx=baf(x)dx

就可以对任意的 a,ba,b 做定积分了。

​ 定积分满足如下显然的(所谓证明不过是套定义式罢了)运算法则:

()() 加减法则:ba(f(x)±g(x))dx=baf(x)dx±bag(x)dxba(f(x)±g(x))dx=baf(x)dx±bag(x)dx
()() 系数法则:bakf(x)dx=kbaf(x)dxbakf(x)dx=kbaf(x)dxkk 为常数)
()() 连接法则:baf(x)dx+cbf(x)dx=caf(x)dxbaf(x)dx+cbf(x)dx=caf(x)dx

​ 或许你已经准备计算一些常见函数的定积分了,但是……这个定义式几乎没有任何用处——绝大多数函数的求和是没办法计算的。别急,插个题外话,一切便豁然开朗。

§2.不定积分

—1.不定积分的定义

​ 求导是一种将函数变为另一个函数的运算(这被称为“算子”),如同定义了加法之后便要定义它的逆运算——减法,我们定义如下的求导的逆运算:

若两函数 F(x),f(x)F(x),f(x) 满足 F(x)=f(x)F(x)=f(x) ,就称:

f(x)dx=F(x)+Cf(x)dx=F(x)+C

其中 CC 为任意常数,此运算称为对 f(x)f(x) 的不定积分, F(x)F(x) 称为 f(x)f(x) 的原函数。

常数 CC 的存在,是由于常数不会影响求导结果。正因如此,不定积分的结果不是一个函数,而是一个函数集合 F={F(x)+C|CR}F={F(x)+C|CR} ,这也就是其被称为“不定”积分的缘故。

​ 出于严谨,我们要检验一下不定积分的完备性,也就是不会出现 G(x)=f(x)G(x)=f(x)G(x)FG(x)F

证明: F(x)=G(x)F(x)=G(x) 当且仅当 F(x)G(x)F(x)G(x) 为常数。

  • 由前推后:令 ϕ(x)=F(x)G(x)ϕ(x)=F(x)G(x) ,则 ϕ(x)=F(x)G(x)=0ϕ(x)=F(x)G(x)=0 ,由【第2章 §2 —1. 定理零】,ϕ(x)ϕ(x) 为常函数,得证。

  • 由后推前:显然。

于是我们完备地得到了不定积分的定义。

​ 根据不定积分的定义,有显然的恒等式:

f(x)dx=f(x)+Cf(x)dx=f(x)+C

我们把函数 y=f(x)y=f(x) 的导数写成微分之比 y=dydxy=dydx 的形式,自然地约掉 dxdx 得到:

ydx=dydxdx=dy=y+Cydx=dydxdx=dy=y+C

于是,我们可以理解为: dd 是一对互逆运算![1]

​ 不定积分的相加和乘以系数有如下显然的运算法则:

对于函数 u=f(x)u=f(x)v=g(x)v=g(x)

()() 加减法则: (u±v)dx=udx±vdx(u±v)dx=udx±vdx
()() 系数法则: (ku)dx=kudx(ku)dx=kudxkk 为常数)

但是不定积分的乘法和函数嵌套法则则涉及复杂的技巧(以至于它们甚至失掉了“乘法”和“嵌套”这两个基本的名字,改为了“分部积分法”和“换元积分法”),我们会专辟一节加以讨论,此处且按下不表。

—2.微积分基本定理

​ 读到此处你一定会发现一件怪事:定积分和不定积分的定义迥然不同,但它们却有极其形似的名称和记号。这一切都源于如下大名鼎鼎的微积分基本定理(又名牛顿-莱布尼茨定理):

F(x)=f(x)F(x)=f(x) ,则:

baf(x)dx=F(b)F(a)baf(x)dx=F(b)F(a)

我们有时记等号右侧为 F(x)|baF(x)|ba ,如同时记 F(x)=f(x)dxF(x)=f(x)dx ,就能得到如下的优美式子:

baf(x)dx=f(x)dx|babaf(x)dx=f(x)dxba

​ 是不是令人折服?现在运用拉格朗日中值定理证明之:

证明:若 F(x)=f(x)F(x)=f(x) ,则:

baf(x)dx=F(b)F(a)baf(x)dx=F(b)F(a)

摆出定积分的定义式:

baf(x)dx=limλ0ni=1f(ξi)Δxibaf(x)dx=limλ0ni=1f(ξi)Δxi

对于任意一段 [xi1,xi][xi1,xi] ,由拉格朗日中值定理[2],有:

F(xi)F(xi1)=f(ci)Δxici(xi1,xi)F(xi)F(xi1)=f(ci)Δxici(xi1,xi)

由于 ξiξi 的选取是任意的,不妨令 ξi=ciξi=ci ,那么:

ni=1f(ξi)Δxi=ni=1f(ci)Δxi=ni=1(F(xi)F(xi1))=F(xn)F(x0)ni=1f(ξi)Δxi=ni=1f(ci)Δxi=ni=1(F(xi)F(xi1))=F(xn)F(x0)

所以:

baf(x)dx=limλ0ni=1f(ξi)Δxi=limλ0(F(xn)F(x0))=F(b)F(a)baf(x)dx=limλ0ni=1f(ξi)Δxi=limλ0(F(xn)F(x0))=F(b)F(a)

命题得证。

​ 有了微积分基本定理,我们就自然地搭建起了微分和积分的桥梁。从现代的角度,这定理描述的是定积分和不定积分的关系。但在微积分草创之时,其意义则十分重大:从几何角度,“积分”就是求曲边图形面积,“微分”就是求曲线斜率;从物理角度,“积分”就是求连续变化系统的宏观状态,“微分”就是求连续变化系统的微观改变;微积分基本定理就是在说,以上这两对操作分别互逆!

​ 有了微积分基本定理之后,我们就可以专心于“如何求不定积分”这一问题,定积分的内容将很少以重要的形式再出现了。

—3.微积分基本定理的相关结论和例子

​ 如下结论从证明的路线上来说,理应出现再微积分基本定理前边(至少是同时),但是从微积分基本定理回望它们会显得更容易理解。

  1. 积分中值定理

    对于区间 [a,b][a,b] 上的函数 f(x)f(x) ,存在 c[a,b]c[a,b] 使得:

    baf(x)dx=f(c)(ba)baf(x)dx=f(c)(ba)

    F(x)=f(x)dxF(x)=f(x)dx ,则由微积分基本定理结合拉格朗日中值定理:

    baf(x)dx=F(b)F(a)=F(c)(ba)=f(c)(ba)baf(x)dx=F(b)F(a)=F(c)(ba)=f(c)(ba)

  2. 原函数存在定理

    对于函数 f(x)f(x) ,如下的函数 F(x)F(x) 是其原函数:

    F(x)=xaf(t)dtF(x)=xaf(t)dt

    给定自变量增量 ΔxΔx ,则函数 F(x)F(x) 获得增量:

    ΔF=F(x+Δx)F(x)=x+Δxaf(t)dtxaf(t)dt=x+Δxxf(t)dtΔF=F(x+Δx)F(x)=x+Δxaf(t)dtxaf(t)dt=x+Δxxf(t)dt

    根据积分的定义式,记 f(x)f(x) 在区间 [x,x+Δx][x,x+Δx] 上的最大最小值分别为 M(f),m(f)M(f),m(f) ,有:

    m(f)Δxx+Δxxf(t)dtM(f)Δxm(f)Δxx+Δxxf(t)dtM(f)Δx

    Δx0Δx0 时,有 limm(f)=limM(f)=f(x)limm(f)=limM(f)=f(x) ,于是由夹逼定理:

    limΔx01Δxx+Δxxf(t)dt=f(x)limΔx01Δxx+Δxxf(t)dt=f(x)

    套用导数的定义:

    F(x)=limΔx0ΔFΔx=limΔx01Δxx+Δxxf(t)dt=f(x)F(x)=limΔx0ΔFΔx=limΔx01Δxx+Δxxf(t)dt=f(x)

    意既 F(x)F(x)f(x)f(x) 的原函数。

    附注
    这一定理是微积分基本定理的另一种证法(抑或另一种形式)。许多求导与积分的结合,或这极限与积分的结合,往往可使用这一定理。

​ 下面举一些简单但有趣的积分计算的例子:

  1. sinxsinx 下的面积

计算函数 sinxsinxxx 轴在区间 [0,π][0,π] 上围成的面积 SS

根据定积分的几何意义,以及由 (cosx)=sinx(cosx)=sinx ,有:

S=π0sinxdx=(cosx)|π0=cos0cosπ=2S=π0sinxdx=(cosx)π0=cos0cosπ=2

  1. 两个函数所夹的面积

    如图(文件 §2-3-2.ggb )计算由 f:y=x2,g:y=x+1,x=1,x=2f:y=x2,g:y=x+1,x=1,x=2 围成的阴影面积 SS

    §2-图1

    首先算出 f,gf,g 两函数的原函数(不妨令积分常数 C=0C=0 ):

    F(x)=f(x)dx=13x3,G(x)=g(x)dx=23(x+1)32F(x)=f(x)dx=13x3,G(x)=g(x)dx=23(x+1)32

    我们将如图的阴影分为三块:以 A,B,CA,B,C 为顶点的曲边三角状面积 S1S1 ,以 C,DC,D 为顶点的叶子状面积 S2S2 ,以 D,E,FD,E,F 为顶点的曲边三角状面积 S3S3 。整个积分区间 [1,2][1,2] 相应分为三段 [1,xC],[xC,xD],[xD,2][1,xC],[xC,xD],[xD,2] (先不解出 C,DC,D 的坐标),分别算出:

    S1=xC1(f(x)g(x))dx=(F(x)G(x))|xC1=F(xC)G(xC)F(1)+G(1)S2=xDxC(g(x)f(x))dx=(G(x)F(x))|xDxC=G(xD)F(xD)G(xC)+F(xC)S3=2xD(f(x)g(x))dx=(F(x)G(x))|2xD=F(2)G(2)F(xD)+G(xD)S1=xC1(f(x)g(x))dx=(F(x)G(x))xC1=F(xC)G(xC)F(1)+G(1)S2=xDxC(g(x)f(x))dx=(G(x)F(x))xDxC=G(xD)F(xD)G(xC)+F(xC)S3=2xD(f(x)g(x))dx=(F(x)G(x))2xD=F(2)G(2)F(xD)+G(xD)

    将上三项相加,带入 xC0.724,xD1.221xC0.724,xD1.221 ,得到 S=S1+S2+S32.29S=S1+S2+S32.29

  2. 运用积分夹逼

    求证:18100x=11x1918100x=11x19

    由于下面两幅图(文件 §2-3-3.ggb ),其中橙色和蓝色部分是原和11 ,青色和黄色的部分是函数 f(x)=1xf(x)=1x 在区间 [2,100][2,100][1,99][1,99] 上分别做的积分,

    §2-图2

    根据图像有 S<S=S<SS<S=S<S ,因而我们可以得到:

    210022=10021xdx<100x=21x<9911xdx=991210022=10021xdx<100x=21x<9911xdx=991

    因此:

    18<210022+1<100x=11x<29921+1<1918<210022+1<100x=11x<29921+1<19

    附注
    此题当然有初等解法。注意到:

    x+1+x>2x>x+x11x+1+x<12x<1x+x12x+12x<1x<2x2x1x+1+x>2x>x+x11x+1+x<12x<1x+x12x+12x<1x<2x2x1

    因而原和满足(此处将 x=1x=1 单列是为了夹逼的紧度):

    1+100x=2(2x+12x)<100x=11x<1+100x=2(2x2x1)18<210022+1<100x=11x<29921+1<191+100x=2(2x+12x)<100x=11x<1+100x=2(2x2x1)18<210022+1<100x=11x<29921+1<19

    然而认识到这一不等式,上两图的积分图像也是不可或缺的。

§3.特殊积分法

—1.分部、换元积分法

​ 根据已经熟知的求导法则:

(f(x)g(x))=f(x)g(x)+f(x)g(x)(f(g(x)))=f(g(x))g(x)(f(x)g(x))=f(x)g(x)+f(x)g(x)(f(g(x)))=f(g(x))g(x)

有对应的积分恒等式:

f(x)g(x)dx=f(x)g(x)f(x)g(x)dxf(g(x))+C=f(g(x))g(x)dxf(x)g(x)dx=f(x)g(x)f(x)g(x)dxf(g(x))+C=f(g(x))g(x)dx

第一个式子被称为“分部积分法”。而第二个式子常写作

f(u)du=f(u(x))u(x)dxf(u)du=f(u(x))u(x)dx

此时它起到将 uu 换为 xx 的作用,被称为“换元积分法”。如上两法的微分形式如下:

udv=uvvdudydxdx=dydududxdxudv=uvvdudydxdx=dydududxdx

​ 此两法的详细内容会在下一章讨论,此处先以两个例子感受一二:

  1. secxdxsecxdx

    t=sinxt=sinx ,则 dx=1cosxdtdx=1cosxdt ,代入原式:

    secxdx=1cosxdx=1cos2xdt=11t2dtsecxdx=1cosxdx=1cos2xdt=11t2dt

    对于这个分式,采取裂项的手段处理(这也会在下一章详细讨论):

    11t2dt=1211tdt+1211+tdt=12ln(1t)+12ln(1+t)+C11t2dt=1211tdt+1211+tdt=12ln(1t)+12ln(1+t)+C

    由于 t=sinx[1,1]t=sinx[1,1] ,故 lnln 内不必带绝对值。回代 t=sinxt=sinx ,并化简:

    12ln(1t)+12ln(1+t)+C=ln1sinx1+sinx+C=ln|tanx+secx|+C12ln(1t)+12ln(1+t)+C=ln1sinx1+sinx+C=ln|tanx+secx|+C

    得到答案:

    secxdx=ln|tanx+secx|+Csecxdx=ln|tanx+secx|+C

    附注
    另有一极巧妙的做法:

    secxdx=sec2x+tanxsecxsecx+tanxdx=ln(secx+tanx)(secx+tanx)dx=ln|tanx+secx|+Csecxdx=sec2x+tanxsecxsecx+tanxdx=ln(secx+tanx)(secx+tanx)dx=ln|tanx+secx|+C

    套用 f(g(x))+C=f(g(x))g(x)dxf(g(x))+C=f(g(x))g(x)dx

  2. exsinxdxexsinxdx

    u=ex,v=sinxu=ex,v=sinx ,套用两次分部积分法:

    exsinxdx=exsinxexcosxdx=exsinx(excosxex(sinx)dx)=ex(sinx+cosx)exsinxdxexsinxdx=exsinxexcosxdx=exsinx(excosxex(sinx)dx)=ex(sinx+cosx)exsinxdx

    于是得出:

    exsinxdx=ex2(sinx+cosx)exsinxdx=ex2(sinx+cosx)

    附注:此类形如 exf(x)exf(x) 的积分常用分部积分法,通常最终会在等号右侧重现原积分。

—2.反常积分

​ 反常积分,是指在积分区间内被积函数有未定义点或无穷点的定积分,这些点被称为“瑕点”。例如

+xx21dx+xx21dx

就有 ,1,+1,+,1,+1,+ 四个瑕点。

​ 总可以通过拆分,将有多个瑕点的反常积分拆分成仅含有一个瑕点,并且瑕点位于积分上下界的反常积分。既然函数在瑕点处无定义,容易想到的处理方法是通过极限逼近。于是得到反常积分的定义(以下的 cc 皆是函数无定义的点):

caf(x)dx=limtctaf(x)dx(t[a,c))bcf(x)dx=limtcbtf(x)dx(t(c,b])+af(x)dx=limt+taf(x)dxbf(x)dx=limtbtf(x)dxcaf(x)dx=limtctaf(x)dx(t[a,c))bcf(x)dx=limtcbtf(x)dx(t(c,b])+af(x)dx=limt+taf(x)dxbf(x)dx=limtbtf(x)dx

​ 我们尝试求一下本节开头的积分。有些初学者在可能会做如下论断:

由于被积函数 xx21xx21 是奇函数,所以

+xx21dx=limt+(0txx21dx+t0xx21dx)=limt+(t0xx21dx+t0xx21dx)=0+xx21dx=limt+(0txx21dx+t0xx21dx)=limt+(t0xx21dx+t0xx21dx)=0

如此做的错误在于试图仅用一个字母解决两个极限。正确的做法是先算出不定积分:

xx21dx=121x1dx+121x+1dx=12(ln|x1|+ln|x+1|)+Cxx21dx=121x1dx+121x+1dx=12(ln|x1|+ln|x+1|)+C

然后老老实实按定义:

+xx21dx=lima2axx21dx+limb1b2xx21dx+limc10cxx21dx+limd1d0xx21dx+limp12pxx21dx+limq+q2xx21dx+xx21dx=lima2axx21dx+limb1b2xx21dx+limc10cxx21dx+limd1d0xx21dx+limp12pxx21dx+limq+q2xx21dx

首先取出第一个积分:

lima2axx21dx=lima12(ln|x1|+ln|x+1|)|2a=lima12(ln3+ln1ln(1a)ln(1a))=lima2axx21dx=lima12(ln|x1|+ln|x+1|)2a=lima12(ln3+ln1ln(1a)ln(1a))=

依次计算剩余积分,得出的结果分别是 ,+,,,,+,,, ,这些无穷互不关联,于是原积分的结果是一个不存在的值。

—3.体积、弧长、表面积积分

​ 所谓“面动成体”,积分给予了我们强大的计算面积的工具,那接下来自然就可以开始体积的计算。我们要解决的是称为“旋转体”的立体的体积。对于一个定义在区间 [a,b][a,b] 上的函数 f(x)f(x) ,我们将它与 xx 轴、直线 x=a,x=bx=a,x=b 围成的面积绕 xx 轴旋转一周,求得到的立体的体积。

​ 回到积分定义的本源,我们对曲边形的处理方法是将其分割成多个矩形小条,累加来近似。如果我们将这个矩形组成的近似物绕 xx 轴旋转一周,则可以得到一组圆盘,每个圆盘的半径为矩形的高,也就是这一区间内某点的函数值,高为矩形的宽。因此,旋转体就可以横截成多个圆盘,累加来近似。

​ 将思路落实成式子。首先分割区间 [a,b][a,b] 为点 a=x0<x1<x2<<xn1<xn=ba=x0<x1<x2<<xn1<xn=b ,然后将每两点之间的距离 Δxi=xixi1 (1in)Δxi=xixi1 (1in) 作为圆盘的厚度,同时在每个区间 [xi1,xi][xi1,xi] 内取一点 ξiξi ,并以这一点的函数值 f(ξi)f(ξi) 作为圆盘的半径,算出所有圆盘体积之和:

Vn=ni=1π(f(ξi))2ΔxiVn=ni=1π(f(ξi))2Δxi

仿照积分定义的那个极限:

V=limλ0Vn=limλ0ni=1π(f(ξi))2Δxi=baπ(f(x))2dxV=limλ0Vn=limλ0ni=1π(f(ξi))2Δxi=baπ(f(x))2dx

​ 让我们以一个实例练手

求半径为 rr 的球的体积。

球由半圆旋转而成。半径为 rr 的半圆对应函数

y=r2x2(rxr)y=r2x2(rxr)

套用旋转体体积公式:

V=rr(r2x2)2dx=rr(r2x2)dx=(r2x13x3)|rr=4π3r3V=rr(r2x2)2dx=rr(r2x2)dx=(r2x13x3)rr=4π3r3

就是我们熟悉的球的体积公式。如下图(文件 §3-3.ggb ,蓝色为球,绿色为推导过程中的圆盘):

§3-图3

​ 除了绕 xx 轴旋转,还可以绕 yy 轴旋转。此时的函数 f(x)f(x)xx 轴、直线 x=a,x=bx=a,x=b 围成的面积旋转所得的立体,就可以如洋葱一般分割成数层柱壳,其中第 ii 层的体积为 νi=f(xi)π(x2i+1x2i)νi=f(xi)π(x2i+1x2i) 。若直接将其累加套入极限,是无法整理成积分的形式的。我们可将其近似为以内层圆周长 2πxi2πxi 为长、柱壳厚度 ΔxiΔxi 为宽、柱壳高度 f(ξi)f(ξi) 为高的长方体,其体积为 vi=2πxiΔxif(ξi)vi=2πxiΔxif(ξi) 。将其累加:

Vn=ni=12πxif(ξi)ΔxiVn=ni=12πxif(ξi)Δxi

仿照积分定义的那个极限:

V=limλ0Vn=limλ0ni=12πxif(ξi)Δxi=ba2πxf(x)dxV=limλ0Vn=limλ0ni=12πxif(ξi)Δxi=ba2πxf(x)dx

​ 旋转体当然还可以由绕非 x,yx,y 轴的轴旋转得到,统一的处理方法是将其变换为坐标轴之后再积分。

​ 积分的作用还可拓展到一维领域——求曲线弧长。若要求函数 y=f(x)y=f(x) 再闭区间 [a,b][a,b] 内的函数图像曲线的长度,首先分割区间 [a,b][a,b] 为点 a=x0<x1<x2<<xn1<xn=ba=x0<x1<x2<<xn1<xn=b ,然后算出每两点之间对应的函数图像上的点之间的距离:

li=(xixi1)2+(yiyi1)2=1+(ΔyiΔxi)2Δxili=(xixi1)2+(yiyi1)2=1+(ΔyiΔxi)2Δxi

将这些距离累加并求极限:

L=limλ0Ln=limλ0ni=11+(ΔyiΔxi)2ΔxiL=limλ0Ln=limλ0ni=11+(ΔyiΔxi)2Δxi

注意到当 λ0λ0 时, Δxi0Δxi0 ,则根据导数的定义有 ΔyiΔxif(x)ΔyiΔxif(x) ,于是:

L=limλ0ni=11+(ΔyiΔxi)2Δxi=ba1+(f(x))2dxL=limλ0ni=11+(ΔyiΔxi)2Δxi=ba1+(f(x))2dx

​ 我们尝试根据这个式子求圆的周长:

半径为 rr 的半圆对应函数 f(x)=r2x2f(x)=r2x2 ,则

f(x)=xr2x2f(x)=xr2x2

套用弧长的公式:

L=rr1+(xr2x2)2dx=rrdxr2x2L=rr1+(xr2x2)2dx=rrdxr2x2

换元 x=rsintx=rsint ,则 dx=rcostdtdx=rcostdt ,积分下限 [π2,π2][π2,π2] (注意定积分换元时要一并替换积分区间),原积分变为 (此区间内 cost0cost0 ,无需讨论符号):

L=π2π2rcostdtr2(rsint)2=π2π2rdt=rt|π2π2=πrL=π2π2rcostdtr2(rsint)2=π2π2rdt=rtπ2π2=πr

因此圆的周长 C=2L=2πrC=2L=2πr

​ 将曲线绕着轴旋转,就可以得到旋转曲面。读者可仿照求旋转体体积,自行推导如下两个绕 x,yx,y 轴旋转得到旋转曲面的表面积:

x:  S=ba2πf(x)1+(f(x))2dxy:  S=ba2πx1+(f(x))2dxx:  S=ba2πf(x)1+(f(x))2dxy:  S=ba2πx1+(f(x))2dx

§4.积分的实例

—1.万有引力势能

​ 我们考虑一维空间中的情况[3]。经典力学中,质量为 M,mM,m 、相距 xx 的两物体之间的万有引力的方向指向对方,其大小可看作关于 xx 的函数:

F(x)=GMmx2F(x)=GMmx2

假定在原点有一质量为 MM 的质点,定义无穷远点为势能零点。首先计算质量为 mm 的质点从无穷远点移动到 r0r0 点过程中万有引力 FF 做的功。我们取足够远的一点 r1r1 ,将移动过程 [r0,r1][r0,r1] 分为 nn 段,假定每一段上 FF 不变,累加所作的功(此时引力方向与移动方向相同,功为正):

Wn=ni=1FiΔxiWn=ni=1FiΔxi

使区间长 λ0λ0 ,右端点 r1r1 ,得到引力做的功的定义:

WG=limr1limλ0Wn=limr1limλ0ni=1FiΔxi=limr1r1r0F(x)dx=r0F(x)dxWG=limr1limλ0Wn=limr1limλ0ni=1FiΔxi=limr1r1r0F(x)dx=r0F(x)dx

这是一个反常积分。做出不定积分:

F(x)dx=GMmx2dx=GMmx+CF(x)dx=GMmx2dx=GMmx+C

代回原反常积分得到答案:

WG=r0F(x)dx=limr1GMmx|r1r0=GMmr0limr1GMmr1=GMmr0WG=r0F(x)dx=limr1GMmxr1r0=GMmr0limr1GMmr1=GMmr0

由于无穷远点为势能零点,因此 r0r0 点的万有引力势能:

V(r0)=VWG=GMmr0V(r0)=VWG=GMmr0

—2.质能方程

​ 我们考虑一维空间中的情况[4]。在狭义相对论体系中,两个相对速度为 uu 的惯性系满足洛伦兹变换:

{x=xut1u2/c2t=tux/c21u2/c2⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪x=xut1u2/c2t=tux/c21u2/c2

若对于一个惯性系有一个速度为 vv 的物体,那么另一个惯性系中此物体的速度

v=dxdt=dx/dudt/du=uc2(xut)(1u2/c2)3/2uc2(tux/c2)(1u2/c2)3/2=xuttux/c2=vu1uv/c2v=dxdt=dx/dudt/du=uc2(xut)(1u2/c2)3/2uc2(tux/c2)(1u2/c2)3/2=xuttux/c2=vu1uv/c2

​ 假设有两个相对速度为 uu 的惯性系 S,SS,S ,质量均为 m0m0 的两个质点分别相对于 S,SS,S 静止。两质点相撞后合并为一个质点 MM ,其相对于 S,SS,S 的速度分别为 v,vv,v 。假定参考系中物体的质量 mm 是速度的大小 |v||v| 的函数。那么由于质量和动量守恒,对于两个惯性系分别有:

S:{m0+m(|u|)=M(|v|)0+m(|u|)u=M(|v|)vm0m(|u|)+1=uvS:{m0+m(|u|)=M(|v|)0+m(|u|)(u)=M(|v|)vm0m(|u|)+1=uvS:{m0+m(|u|)=M(|v|)0+m(|u|)u=M(|v|)vm0m(|u|)+1=uvS:{m0+m(|u|)=M(|v|)0+m(|u|)(u)=M(|v|)vm0m(|u|)+1=uv

于是得到 v=vv=v ,又根据惯性系间的速度变换 (显然,u>vu>v):

v=vu1uv/c2v=vu1uv/c2uv=1+1u2/c2v=vu1uv/c2v=vu1uv/c2uv=1+1u2/c2

因此:

m(|u|)=m01u2/c2m(|u|)=m01u2/c2

​ 于是可定义定义质量为 mm 速度为 vv 的质点的动量 pp 为:

p=m(|v|)v=mv1v2/c2p=m(|v|)v=mv1v2/c2

从而质点如此运动时所受的力 FF 为:

F=ma=mdvdt=dpdtF=ma=mdvdt=dpdt

同【§4—1】中的功的定义,此力 FF 在区间 [0,s][0,s] 上做功:

WF=s0Fdx=t0dpdtvdt=p0vdp=v0vdpdvdvWF=s0Fdx=t0dpdtvdt=p0vdp=v0vdpdvdv

根据动量的定义计算其导数:

dpdv=m1v2/c2mvv/c21v2/c2(1v2/c2)2=m(1v2/c2)3/2dpdv=m1v2/c2mvv/c21v2/c2(1v2/c2)2=m(1v2/c2)3/2

带回原积分:

WF=v0vdpdvdv=v0mv(1v2/c2)3/2dv=mc21v2/c2|v0=mc21v2/c2mc2WF=v0vdpdvdv=v0mv(1v2/c2)3/2dv=mc21v2/c2∣ ∣v0=mc21v2/c2mc2

记洛伦兹因子 γ=(1v2/c2)1/2γ=(1v2/c2)1/2 。由于合外力对物体做的功等于动能的改变量,假设初始动能为 00 ,那么点 ss 的动能就为 Ek=γmc2mc2Ek=γmc2mc2 。我们视第一部分 γmc2γmc2 为总能量,第二部分 E=mc2E=mc2 为静能,就得到了质能方程。

—3.蒲丰投针问题

平面内有无穷条相距 aa 的平行线,将长度为 bb 的针丢在平面内,求针与平行线相交的概率。

首先将问题转化为数学模型。我们可以用数对 (x,θ)(x,θ) 描述针在平面内的位置,其中 xx 表示针的中点到距离最近的平行线的距离, x[0,a2]x[0,a2]θθ 表示针与平行线的夹角, θ[0,π2]θ[0,π2] 。则针与平行线相交就可以描述为如下不等式:

xb2sinθxb2sinθ

我们将满足解的数对 (x,θ)(x,θ) 表在平面内,就会形成如下蓝色区域:

§4-图4

​ 我们所求的概率就是蓝色区域面积与棕色矩形面积之比。在用积分求出蓝色区域面积之前,要注意到当 b>a,sinθ>abb>a,sinθ>ab 时,蓝色区域会被限制成矩形,此时要分开求积分。于是:

  1. baba 时,

    S=π20b2sinθdθ=b2cosθ|π20=b2P=SS0=b2a2π2=2bπaS=π20b2sinθdθ=b2cosθπ20=b2P=SS0=b2a2π2=2bπa

  2. b>ab>a 时,

    S=arcsinab0b2sinθdθ+π2arcsinaba2dθ=b2cosθ|arcsinab0+a2(π2arcsinab)=πa4+b212b2a2a2arcsinabP=SS0=πa4+b212b2a2a2arcsinaba2π2=1+2bπa2πab2a22πarcsinabS=arcsinab0b2sinθdθ+π2arcsinaba2dθ=b2cosθarcsinab0+a2(π2arcsinab)=πa4+b212b2a2a2arcsinabP=SS0=πa4+b212b2a2a2arcsinaba2π2=1+2bπa2πab2a22πarcsinab

综合起来:

P={2bπa(ba)1+2bπa2πab2a22πarcsinab(b>a)P=⎪ ⎪⎪ ⎪2bπa(ba)1+2bπa2πab2a22πarcsinab(b>a)

读者可自证:给定 aa ,总有 0<P<10<P<1PPbb 的增大严格减小,当 bbP1P1

​ 这个实验在历史上曾用来估计 ππ 的大小,不少人做过此实验(下随意取几例):

试验者 时间 投掷次数 相交次数 ππ 估计值
Smith 1855年 3204 1218.5 3.1554
Lazzerini 1901年 3408 1808 3.1415929
Reina 1925年 2520 859 3.1795

而其中多数要么很不精确,要么有造假之嫌。这个实验的“用概率估值”的精神被大名鼎鼎的蒙特卡洛方法继承,现在在计算机领域仍广为应用。

—4.不规则物体的引力

求平面内线密度 ρρ 的曲线 (x(t),y(t)),t[a,b](x(t),y(t)),t[a,b] 对质量为 mm 的质点 (p,q)(p,q) 的引力的大小。

老规矩,分割区间 [a,b][a,b] ,近似计算出每一段的质量:

Mi=ρ(ΔxiΔti)2+(ΔyiΔti)2ΔtiMi=ρ(ΔxiΔti)2+(ΔyiΔti)2Δti

取每一段上的一点 (ξi,ψi)(ξi,ψi) ,算出其到质点的距离:

Li=(ξip)2+(ψiq)2Li=(ξip)2+(ψiq)2

计算出此段对质点的引力大小:

Fi=GmMiL2i=Gmρ(ΔxiΔti)2+(ΔyiΔti)2Δti(ξip)2+(ψiq)2Fi=GmMiL2i=Gmρ(ΔxiΔti)2+(ΔyiΔti)2Δti(ξip)2+(ψiq)2

将力分解到坐标轴方向上:

Fix=Ficosθi=Gmρ(ξip)(ΔxiΔti)2+(ΔyiΔti)2Δti((ξip)2+(ψiq)2)3/2Fiy=Fisinθi=Gmρ(ψiq)(ΔxiΔti)2+(ΔyiΔti)2Δti((ξip)2+(ψiq)2)3/2Fix=Ficosθi=Gmρ(ξip)(ΔxiΔti)2+(ΔyiΔti)2Δti((ξip)2+(ψiq)2)3/2Fiy=Fisinθi=Gmρ(ψiq)(ΔxiΔti)2+(ΔyiΔti)2Δti((ξip)2+(ψiq)2)3/2

求和求出合力,并套入极限:

Fx=limλ0ni=1Fix=baGmρ(x(t)p)(x(t))2+(y(t))2((x(t)p)2+(y(t)q)2)3/2dtFy=limλ0ni=1Fiy=baGmρ(y(t)p)(x(t))2+(y(t))2((x(t)p)2+(y(t)q)2)3/2dtFx=limλ0ni=1Fix=baGmρ(x(t)p)(x(t))2+(y(t))2((x(t)p)2+(y(t)q)2)3/2dtFy=limλ0ni=1Fiy=baGmρ(y(t)p)(x(t))2+(y(t))2((x(t)p)2+(y(t)q)2)3/2dt

于是这个引力的大小就是 F=F2x+F2yF=F2x+F2y


本章介绍了积分的定义、基本计算方法和其应用。狭义来说,积分是微分的逆操作(这将在第五章微分方程充分体现)。广义来说,对某一个函数的“累积”操作总可以抽象成关于这个函数的一个积分(积分甚至不一定连续,例如在数论中狄利克雷卷积就可以视作一种“积分”),再加以解决。积分也因此广泛地应用于物理、信息等各个领域。在下一章节,我们将介绍对于各种常见形式的积分的计算方法,那将是一个纯粹技术性的章节。

                 SquareCircle:2021..2022.5.2 



  1. 另一种理解是将 dy​ 视作函数 f(y)=1​ 的积分,那么如上的操作就是下一节的换元积分法。 ↩︎

  2. 这里拉格朗日中值定理的使用条件,应由函数的可积性保证。详细的讨论会十分繁琐,并会涉及测度论等高深内容。读者仅需理解为“大部分常见的连续可导函数都可积”即可。 ↩︎

  3. 势能的定义实则是很复杂的,涉及到多维空间中的定向、零点的选取、积分是否与路径相关等。这里采取的是一维空间中的方便的简化。 ↩︎

  4. 以下内容参考了微信公众号“长尾科技”的文章你也能懂的质能方程E=mc²↩︎

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