数论函数群在数论多项式生成函数集上的作用

数论函数群在数论多项式生成函数集上的作用

导言：本论文的内容是在研究数论中的莫比乌斯反演函数时，由分圆多项式的性质以及分圆多项式与欧拉函数的对应关系所引发的一系列遐想。此文仅为展现其精妙的结构，实际作用暂无。

§1.定义

【定义1.1】数论函数群

​ 数论函数群 \(\mathfrak{f}\) 意味着集合^[1]：

\[\mathfrak{f}=\{f \vert f\colon\mathbb{N}^*\to\mathbb{Z}\} \]

以及其上的运算 \(*\) （狄利克雷卷积）：

\[(f*g)(n)=\sum_{d \mid n}{f(d)g\left(\frac{n}{d}\right)} =\sum_{d \mid n}{f\left(\frac{n}{d}\right)g(d)}\qquad f,g\in\mathfrak{f},n\in\mathbb{N}^* \]

容易验证这是一个交换群^[2]。单位元为函数 \(e\) ：

\[e(n)= \left\{ \begin{align*} &1 &&n=1 \\ &0 &&n\neq1 \end{align*} \right. \]

【定义1.2】数论多项式生成函数

​ 称集合 \(\mathfrak{F}\) ：

\[\mathfrak{F}=\{F \vert F\colon\mathbb{N}^*\to \mathbb{Z}[x]\} \]

为数论多项式生成函数集。其中的元素 \(F\in\mathfrak{F}\) 称为数论多项式生成函数。

【定义1.3】（幺半）群作用^定义1.3 1.4 出处

​ 设 \(X\) 为集合， \(M\) 为（幺半）群。\(M\) 在 \(X\) 上的作用定义为一个映射

\[a\colon M \times X\to X \]

称为作用映射，它必须满足以下性质：
\((\text{i})\) 对所有 \(g,g'\in M\) 和 \(x\in X\) ，有 \(a(g',a(g,x))=a(g'g,x)\) （结合律），
\((\text{ii})\) 对所有 \(x\in X\) ，有 \(a(1,x)=x\) 。
带有 \(M\) 作用的集合称为 \(M\)-集。

​ 习惯将 \(M\)-集带有的作用映射略去，并将 \(a(m,x)\) 写成 \(m\cdot x\) 或 \(mx\) ，如此作用映射的条件即：

\[m'(mx)=(m'm)x \\ 1\cdot x=x \\ \]

【定义1.4】等变映射^定义1.3 1.4 出处

​ 对于（幺半）群 \(M\) ， \(M\) 对集合 \(X,Y\) 分别有作用映射 \(a\colon M \times X\to X\) 和 \(b\colon M \times Y\to Y\) 。若两 \(M\)-集间的映射 \(f\colon X\to Y\) 满足：

\[f(a(m,x))=b(m,f(x)) \qquad m\in M,x\in X \]

则称为 \(M\)-等变映射。若将 \(a(m,x)\) 写成 \(mx\) ，\(b(m,y)\) 写成 \(m\times y\)，这定义也就是：

\[f(mx)=m\times f(x) \]

§2.作用

—1.证明

【定义2.1】数论函数群在数论多项式生成函数集上的作用

定义 \(\mathfrak{f}\) 对 \(\mathfrak{F}\) 的作用映射 \(a\colon \mathfrak{f}\times\mathfrak{F}\to\mathfrak{F}\) （简记做 \(\cdot\) ）如下：

\[(f\cdot F)(n)=\prod_{d\mid n}{F(d)^{f\left(\frac{n}{d}\right)}} =\prod_{d\mid n}{F\left(\frac{n}{d}\right)^{f(d)}} \qquad f\in\mathfrak{f},F\in\mathfrak{F},n\in\mathbb{N}^* \]

​ 下面证明其良定。

​ 对于【定义1.3】\((\text{ii})\) ，显然对任意 \(F\in\mathfrak{F}\) ：

\[(e\cdot F)(n)=\prod_{d\mid n}{F\left(\frac{n}{d}\right)^{e(d)}} =F(n)^1\cdot\prod_{d\mid n,d\neq1}{F\left(\frac{n}{d}\right)^{0}} =F(n) \]

满足条件。

​ 对于【定义1.3】\((\text{i})\) ，取 \(f,g\in\mathfrak{f}\) ， \(F\in\mathfrak{F}\) ，定义：

\[G=g\cdot(f\cdot F)\\ G'=(g*f)\cdot F \]

下证 \(G=G'\) 。根据定义，展开 \(G\) 和 \(G'\) ：

\[G(n)=(g\cdot(f\cdot F))(n) =\prod_{d\mid n}{(f\cdot F)\left(\frac{n}{d}\right)^{g(d)}} =\prod_{d\mid n}{\left(\prod_{k\mid\frac{n}{d}}{F(k)^{f\left(\frac{n}{dk}\right)}}\right)^{g(d)}} =\prod_{d\mid n}{\prod_{k\mid\frac{n}{d}}{F(k)^{f\left(\frac{n}{dk}\right)g(d)}}} \]

\[G'(n)=((g*f)\cdot F) =\prod_{k\mid n}{F(k)^{(g*f)\left(\frac{n}{k}\right)}} =\prod_{k\mid n}{F(k)^{\sum_{d\mid\frac{n}{k}}{f\left(\frac{n}{dk}\right)g(d)}}} =\prod_{k\mid n}{\prod_{d\mid\frac{n}{k}}{F(k)^{f\left(\frac{n}{dk}\right)g(d)}}} \]

由 \(d\mid n,k\mid\frac{n}{d}\) 当且仅当 \(k\mid n,d\mid\frac{n}{k}\) ，故上下两式的两层枚举效果相同，所以 \(G=G'\) ，满足条件。

​ 综上，我们定义了数论函数群 \(\mathfrak{f}\) 在数论多项式生成函数集 \(\mathfrak{F}\) 上的作用。

—2.应用

​ 定义三个数论多项式生成函数 \(\Sigma,\text{ID},\Phi \in\mathfrak{F}\) 如下：

\[\begin{align*} \Sigma(n) & =\prod_{d\mid n}{(x^d-1)} \\ \text{ID}(n) & =x^n-1 \\ \Phi(n) & =\text{n阶分圆多项式}=\prod_{d<n,\gcd(d,n)=1}{\left(x-e^{\frac{d}{n}2\pi i}\right)} \end{align*} \]

以及四个个数论函数（恒一函数、约数个数函数、莫比乌斯反演函数、莫比乌斯函数的自卷积）：

\[\begin{align*} \text{i}(n) &= 1 \\ \text{d}(n) &=(\text{i}*\text{i})(n) =\sum_{d\mid n}{1} \\ \mu(n) &= \left\{ \begin{aligned} & 0 && \text{n有非平凡平方因子} \\ & (-1)^k && \text{n的质因子个数为k} \end{aligned} \right. \\ \text{m}(n) &= (\mu*\mu)(n) =\left\{ \begin{aligned} & 0 && \text{n有非平凡立方因子} \\ & (-2)^k && \text{n的非平方质因子个数为k} \end{aligned} \right. \\ \end{align*} \]

其中 \(\text{i}*\mu=e\) ， \(\text{d}*\text{m}=e\) ，也就是其间有两对互逆关系。

​ 我们有连等式（上下两式由如上两对互逆关系的存在而等价）：

\[\begin{matrix} &\Sigma &=& \text{i} \cdot \text{ID} &=& \text{i}\cdot(\text{i}\cdot\Phi) &=& (\text{i}*\text{i})\cdot \Phi &=& \text{d}\cdot \Phi \\ &\Phi &=& \mu\cdot\text{ID} &=& \mu\cdot(\mu\cdot\Sigma) &=& (\mu*\mu)\cdot\Sigma &=& \text{m}\cdot\Sigma \end{matrix} \]

这实则是分圆多项式的性质：

\[x^n-1=\prod_{d\mid n}{\Phi_d(x)}\ ,\ \Phi_n(x) =\prod_{d\mid n}{(x^d-1)^{\mu\left(\frac{n}{d}\right)}} \]

​ 对于三个数论多项式生成函数 \(\Sigma,\text{ID},\Phi \in\mathfrak{F}\) ，可以发现分别与之对应的三个数论函数 \(\sigma,\text{id},\varphi\in\mathfrak{f}\) （约数和函数，恒等函数，欧拉函数）：

\[\begin{align*} \sigma(n) & =\prod_{d\mid n}{d} \\ \text{id}(n) & =n \\ \varphi(n) & =\prod_{d<n,\gcd(d,n)=1}{1} \end{align*} \]

它们满足近似的连等式：

\[\begin{matrix} &\sigma &=& \text{i}\ *\text{id} &=& \text{i}*\text{i}*\varphi &=& \text{d}*\varphi \\ &\varphi &=& \mu*\text{id} &=& \mu*\mu*\sigma &=& \text{m}*\sigma \end{matrix} \]

如果将 \(\mathfrak{f}\) 上的运算看作 \(\mathfrak{f}\) 在自身上的作用（容易验证这个作用良定），并定义一个 \(\mathfrak{f}\)-等变映射 \(\chi\colon \mathfrak{f}\to\mathfrak{F}\) ，那么如上的两组连等式相当于说：

\[\chi(\sigma)=\Sigma \ ,\ \chi(\text{id})=\text{ID} \ ,\ \chi(\varphi)=\Phi \]

§3.映射

​ 现在细观所定义的 \(\mathfrak{f}\)-等变映射 \(\chi\colon \mathfrak{f}\to\mathfrak{F}\) ，由【定义1.4】：

\[\chi(g*f)=g\cdot\chi(f)\qquad f,g\in\mathfrak{f} \]

令其中的 \(f=e\) ，则对任意 \(g\in\mathfrak{f}\) ，有：

\[\chi(g)=\chi(g*f)=g\cdot\chi(e) \]

也就是说，如果定义了 \(\chi(e)\) ，就可以由上式定义出任意 \(g\in\mathfrak{f}\) 的 \(\chi(g)\in\mathfrak{F}\) 。

​ 反之，对于给定的一组互不矛盾的：

\[F_i=\chi(f_i) \qquad \{f_i\}\in\mathfrak{f},\{F_i\}\in\mathfrak{F} \]

总能解出合适的 \(\chi(e)=f_i^{-1}\cdot F_i\) 使其满足上述一切条件。下面简单说明其对任意 \(i\) 的一致性：若对于 \(f_i,f_j\in\mathfrak{f}\) ，有 \(f_i=g*f_j\ (g\in\mathfrak{F})\) ，则 \(f_j^{-1}=f_i^{-1}*g\) ，那么：

\[\chi(e)=f_i^{-1}\cdot F_i =f_i^{-1}\cdot\chi(g*f_j)=f_i^{-1}\cdot(g\cdot\chi(f_j)) =(f_i^{-1}*g)\cdot F_j=f_j^{-1}\cdot F_j \]

无矛盾。故 \(\chi(e)=f_i^{-1}\cdot F_i\) 良定。

​ 由上，我们就可以根据所需，选取合适的 \(E=\chi(e)\in\mathfrak{F}\) ，从而导出一整套 \(\mathfrak{f}\) 到 \(\mathfrak{F}\) 的对应。例如基于 \(\chi(\text{id})=\text{ID}\) ，定义：

\[E(n)=\chi(e)(n)=(\text{id}^{-1}\cdot\text{ID})(n) =\prod_{d\mid n}{(x^{\frac{n}{d}}-1)^{d\mu(d)}} \]

则容易验证 §2.—1. 中的 \(\Phi=\chi(\varphi)=\varphi\cdot\chi(e)\ , \ \Sigma=\chi(\sigma)=\sigma\cdot\chi(e)\) 。

§4.推广

—1.作用

​ 由于对群作用的证明中只使用了数论函数定义域为自然数这一性质，我们可以自然地做出推广。

【定义4.1】广义数论函数群

​ 广义数论函数群 \(\mathcal{F}\) 意味着集合（其中 \(R\) 为交换环，加、乘法幺元为 \(0,1\) ）：

\[\mathcal{F}=\{f \vert f\colon\mathbb{N}^*\to R\} \]

以及其上的运算 \(*\) ：

\[(f*g)(n)=\sum_{d \mid n}{f(d)g\left(\frac{n}{d}\right)} =\sum_{d \mid n}{f\left(\frac{n}{d}\right)g(d)} \]

容易验证这是一个交换群。其单位元为 \(e_f\) ：

\[e_f(n)= \left\{ \begin{align*} &1 &&n=1 \\ &0 &&n\neq1 \end{align*} \right. \]

【定义4.2】广义数论生成函数

​ 称集合 \(\mathscr{F}\) （其中 G 为交换群）：

\[\mathscr{F}=\{F \vert F\colon\mathbb{N}^*\to G\} \]

为广义数论生成函数集。其中的元素 \(F\in\mathscr{F}\) 称为广义数论多生成函数。

【定义4.3】模^定义4.3 出处

​ 对于交换环 \(R\) （其运算为 \(+\) 和 \(\cdot\) ，乘法幺元为 \(1_R\) ）和交换群 \(G\) （其运算为 \(\times\) ），定义映射 \(a\colon R\times M\to M\) ，满足（ \(r,r_1,r_2\in R\,;m,m_1,m_2\in M\) ）：

\[a(r,m_1\times m_2)=a(r,m_1)\times a(r,m_2)\\ a(r_1,m)\times a(r_2,m)=a(r_1+r_2,m) \\ a(r_2,a(r_1,m))=a(r_2r_1,m) \\ a(1_R,m)=m \]

则称 \(M\) 为 \(R\)-模。

【定义4.4】广义数论函数群在广义数论生成函数集上的作用：

​ 对于一个广义数论函数群 \(\mathcal{F}\) ：

\[\mathcal{F}=\{f \vert f\colon\mathbb{N}^*\to R\} \]

和一个广义数论生成函数集 \(\mathscr{F}\) ：

\[\mathscr{F}=\{F \vert F\colon\mathbb{N}^*\to M\} \]

若 \(M\) 为 \(R\)-模（记 \(a(r,m)\) 为 \(m^r\) ），定义 \(\mathcal{F}\) 对 \(\mathscr{F}\) 的作用映射 \(\mathcal{F}\times\mathscr{F}\to\mathscr{F}\) （简记做 \(\cdot\) ）如下：

\[(f\cdot F)(n)=\prod_{d\mid n}{F(d)^{f\left(\frac{n}{d}\right)}} =\prod_{d\mid n}{F\left(\frac{n}{d}\right)^{f(d)}} \qquad f\in\mathcal{F},F\in\mathscr{F} \]

​ 【定义4.4】的良定性可同 §2.—1. 证明。

—2.对应

​ 如果我们定义 \(\mathcal{F}\) 上的显然加法：

\[(f+g)(n)=f(n)+g(n)\qquad f,g\in\mathcal{F},n\in\mathbb{N}^* \]

以及 \(\mathscr{F}\) 上的显然交换乘法：

\[(F\times G)(n)=F(n)\times G(n)\qquad F,G\in\mathscr{F},n\in\mathbb{N}^* \]

此时 \(\mathcal{F}\) 称为交换环而 \(\mathscr{F}\) 成为交换群，那么可以验证 \(\mathscr{F}\) 是 \(\mathcal{F}\)-模（模定义中的映射即为作用映射， \(f,g\in\mathcal{F}\,;F,G\in\mathscr{F}\) ）：

\[f\cdot(F\times G)=(f\cdot F)\times (f\cdot G) \\ (f\cdot F)\times(g\cdot F)=(f+g)\cdot F \\ g\cdot(f\cdot F)=(g*f)\cdot F \\ e_f\cdot F=F \]

验证这些仅需展开作用的定义式，并套用模的运算法则即可。

​ 如果我们定义如下映射来表示这些对象间的关系^[3]：

\[\mathfrak{N} \colon X\to(\mathbb{N}^*\to X)\qquad X\in\mathbf{Set} \\ \text{Mod}\colon R\to M\qquad R\in\mathbf{CRing},M\in \textit{R-}\mathbf{Mod} \]

那么就能得到下图（ \(\mathfrak{N}\) 在此语境下是环同态和模同态）：

\[\begin{matrix} & \large R & \xrightarrow{\quad\text{Mod}\quad} & \large M \\ &\quad\left\downarrow \begin{align} \\ \mathfrak{N}\\ \\ \end{align}\right. & &\quad\left\downarrow \begin{aligned} \\ \mathfrak{N}\\ \\ \end{aligned}\right. \\ & \large\mathcal{F} & \xrightarrow{\quad\text{Mod}\quad} & \large\mathscr{F} \end{matrix} \]

这何尝不是又一种奇妙的对应呢。

§5.问题

1. 此结构有何作用？是否有更多此结构的有意义的（非为了构造而构造的）实例？
2. \(\mathfrak{N} \colon X\to(\mathbb{N}^*\to X)\) 中的 \(\mathbb{N}^*\) 能否换成其他集合？换言之是 \(\mathbb{N}^*\) 的什么结构保证了群作用？
3. 文末的交换图应用什么结构加以描述？

​ 作者才疏学浅，对如上问题（以及可能存在的更多问题）尚无明确的认知和解答。望有志于此的同人能给出答案或建设性的观点。

\[\ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \mathtt{Square-Circle} : 2021.10.15 \sim 2021.12.12 \ \\ \]

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1. \(\mathbb{N}^*\) 正整数集合； \(\mathbb{Z}\) 整数集合； \(\mathbb{Z}[x]\) 整系数多项式集合。 ↩︎

2. 事实上它仅仅是幺半群，但我们大部分时候只考虑其可逆的部分。 ↩︎

3. 全体集合构成的类记作 \(\mathbf{Set}\) ，全体交换环构成的类记作 \(\mathbf{CRing}\) ，全体 \(R\)-模构成的类记作 \(\textit{R-}\mathbf{Mod}\) 。 ↩︎