关于分级火箭的一点理想化的计算
一分级火箭，有 \(M_1\) 质量的外壳，运载 \(M_0\) 质量的载荷。火箭被 \(n\) 个重量为均为 \(M_2\) 的分级装置均匀地分为 \(n+1\) 级，每燃烧完 \(\frac{M}{n+1}\) 质量的燃料，火箭就会抛弃一个分级装置和 \(\frac{M_1}{n+1}\) 质量的外壳（最后一次，即燃料烧完时除外）。
火箭使用一种推重比为 \(\eta\ (\eta>1)\) 的燃料，也就是说质量为 \(m\) 的燃料一瞬间完全燃烧可以推动 \(\eta m\) 质量的物体运动一瞬间。火箭瞬时的燃料消耗速度因此与火箭的瞬时总质量成正比，比值为 \(\eta\) 。推动火箭运行 \(T\) 的时间，需装填 \(M\) 质量的初始燃料。
已知 \(M_0,\ M_1,\ M_2,\ \eta,\ T,\ n\) ，求解初始燃料质量 \(M\) 。
1.分阶段
记各级的开始时间点为：
\[0=t_0<t_1<t_2<\cdots<t_n<t_{n+1}=T
\]
其中 \(t_0\) 总的开始，\(t_{n+1}\) 为总的结束。
称时间段 \([t_k,t_{k+1}]\) 为第 \(k\) 阶段， \(0\leqslant k \leqslant n\) 。
2.计算燃料函数
记第 \(k\) 阶段除燃料之外的质量总共为：
\[M_{\times}(k)=M_0+\frac{n+1-k}{n+1}M_1+(n-k)M_2
\]
设火箭该阶段燃料质量关于时间的函数为 \(m_k(t)\) ，根据“火箭瞬时的燃料消耗速度与火箭的瞬时总质量成正比”，列出方程：
\[\frac{\text{d}m_k}{\text{d}t}=-\frac{1}{\eta}(m_k+M_{\times}(k))
\]
令 \(u=\frac{\text{d}m_k}{\text{d}t}\) （注意到 \(u<0\) ），并将上式两边求导，则：
\[\frac{\text{d}u}{\text{d}t}=-\frac{1}{\eta}u
\]
分离变量：
\[\frac{\text{d}u}{u}=-\frac{1}{\eta}\text{d}t
\]
两边积分：
\[\ln \lvert u\rvert =-\frac{1}{\eta}t+C_1
\]
两边对 \(e\) 取幂，注意 \(u<0\) ：
\[u=-e^{-\frac{1}{\eta}t+C_1}
\]
对 \(u\) 积分得出 \(m_k\) ：
\[m_k=\int{u\text{d}t}=\int{-e^{-\frac{1}{\eta}t+C_1}\text{d}t}
=\eta e^{-\frac{1}{\eta}t+C_1}+C_2
\]
下面解出常数。注意到：
\[u=-\frac{1}{\eta}(m_k+M_{\times}(k))
\]
带入 \(u\) 和 \(m_k\) 就得到 \(C_2=-M_{\times}(k)\) 。又注意到第 \(k\) 阶段末尾，即第 \(k+1\) 阶段开头的燃料质量为 \(\frac{n-k}{n+1}M\) ，列出如下方程：
\[m_k(t_{k+1})=\frac{n-k}{n+1}M
\]
带入：
\[\eta e^{-\frac{1}{\eta}t_{k+1}+C_1}-M_{\times}(k)=\frac{n-k}{n+1}M
\]
为方便书写，临时记 \(M_x=\frac{n-k}{n+1}M+M_{\times}(k)\) ，于是：
\[\eta e^{-\frac{1}{\eta}t_{k+1}+C_1}=M_x
\]
解得：
\[C_1=\ln\frac{M_x}{\eta}+\frac{1}{\eta}t_{k+1}
\]
带入 \(C_1,C_2\) ，得到：
\[m_k(t)
=\eta e^{-\frac{1}{\eta}t+\ln\frac{M_x}{\eta}+\frac{1}{\eta}t_{k+1}}-M_{\times}(k)
\]
化简（注意代换掉临时量 \(M_x\) ），得到：
\[m_k(t)=\left(M_{\times}(k)+\frac{n-k}{n+1}M\right){e}^{\frac{t_{k+1}-t}{\eta}}-M_{\times}(k)
\]
3.解出未知值
我们用第 \(k\) 阶段末尾的状态解出了常数 \(C_1\) ，现在考虑第 \(k\) 阶段开头，有：
\[m_k(t_k)=\frac{n+1-k}{n+1}M
\]
带入：
\[\left(M_{\times}(k)+\frac{n-k}{n+1}M\right){e}^{\frac{t_{k+1}-t_k}{\eta}}-M_{\times}(k)=\frac{n+1-k}{n+1}M
\]
化简：
\[{e}^{\frac{t_{k+1}-t_k}{\eta}}
=\frac{M_{\times}(k)+\frac{n+1-k}{n+1}M}{M_{\times}(k)+\frac{n-k}{n+1}M}
\]
两边 \(\ln\) ，得到递推式：
\[\frac{t_{k+1}-t_k}{\eta}
=\ln{\left(M_{\times}(k)+\frac{n+1-k}{n+1}M\right)}-\ln{\left(M_{\times}(k)+\frac{n-k}{n+1}M\right)}
\]
累加，得到：
\[\frac{T}{\eta}=\frac{t_{n+1}-t_0}{\eta}=\sum_{k=0}^{n}{\frac{t_{k+1}-t_k}{\eta}}
=\sum_{k=0}^{n}{\left(\ln{\left(M_{\times}(k)+\frac{n+1-k}{n+1}M\right)}-\ln{\left(M_{\times}(k)+\frac{n-k}{n+1}M\right)}\right)}
\]
我们于是列出了关于未知数 \(M\) 的方程：
\[\sum_{k=0}^{n}{\left(\ln{\left(M_{\times}(k)+\frac{n+1-k}{n+1}M\right)}-\ln{\left(M_{\times}(k)+\frac{n-k}{n+1}M\right)}\right)}=\frac{T}{\eta}
\]
就可以解出 \(M\) 的取值。
\[\ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\
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\mathtt{Square-Circle} : 2021.9.12 \sim 2021.10.1
\ \\
\]
