关于分级火箭的一点理想化的计算

关于分级火箭的一点理想化的计算

一分级火箭,有 M1 质量的外壳,运载 M0 质量的载荷。火箭被 n 个重量为均为 M2 的分级装置均匀地分为 n+1 级,每燃烧完 Mn+1 质量的燃料,火箭就会抛弃一个分级装置和 M1n+1 质量的外壳(最后一次,即燃料烧完时除外)。

火箭使用一种推重比为 η (η>1) 的燃料,也就是说质量为 m 的燃料一瞬间完全燃烧可以推动 ηm 质量的物体运动一瞬间。火箭瞬时的燃料消耗速度因此与火箭的瞬时总质量成正比,比值为 η 。推动火箭运行 T 的时间,需装填 M 质量的初始燃料。

已知 M0, M1, M2, η, T, n ,求解初始燃料质量 M

1.分阶段

​ 记各级的开始时间点为:

0=t0<t1<t2<<tn<tn+1=T

其中 t0 总的开始,tn+1 为总的结束。

​ 称时间段 [tk,tk+1] 为第 k 阶段, 0kn

2.计算燃料函数

​ 记第 k 阶段除燃料之外的质量总共为:

M×(k)=M0+n+1kn+1M1+(nk)M2

设火箭该阶段燃料质量关于时间的函数为 mk(t) ,根据“火箭瞬时的燃料消耗速度与火箭的瞬时总质量成正比”,列出方程:

dmkdt=1η(mk+M×(k))

u=dmkdt (注意到 u<0 ),并将上式两边求导,则:

dudt=1ηu

分离变量:

duu=1ηdt

两边积分:

ln|u|=1ηt+C1

两边对 e 取幂,注意 u<0

u=e1ηt+C1

u 积分得出 mk

mk=udt=e1ηt+C1dt=ηe1ηt+C1+C2

​ 下面解出常数。注意到:

u=1η(mk+M×(k))

带入 umk 就得到 C2=M×(k) 。又注意到第 k 阶段末尾,即第 k+1 阶段开头的燃料质量为 nkn+1M ,列出如下方程:

mk(tk+1)=nkn+1M

带入:

ηe1ηtk+1+C1M×(k)=nkn+1M

为方便书写,临时记 Mx=nkn+1M+M×(k) ,于是:

ηe1ηtk+1+C1=Mx

解得:

C1=lnMxη+1ηtk+1

带入 C1,C2 ,得到:

mk(t)=ηe1ηt+lnMxη+1ηtk+1M×(k)

化简(注意代换掉临时量 Mx ),得到:

mk(t)=(M×(k)+nkn+1M)etk+1tηM×(k)

3.解出未知值

​ 我们用第 k 阶段末尾的状态解出了常数 C1 ,现在考虑第 k 阶段开头,有:

mk(tk)=n+1kn+1M

带入:

(M×(k)+nkn+1M)etk+1tkηM×(k)=n+1kn+1M

化简:

etk+1tkη=M×(k)+n+1kn+1MM×(k)+nkn+1M

两边 ln ,得到递推式:

tk+1tkη=ln(M×(k)+n+1kn+1M)ln(M×(k)+nkn+1M)

累加,得到:

Tη=tn+1t0η=k=0ntk+1tkη=k=0n(ln(M×(k)+n+1kn+1M)ln(M×(k)+nkn+1M))

我们于是列出了关于未知数 M 的方程:

k=0n(ln(M×(k)+n+1kn+1M)ln(M×(k)+nkn+1M))=Tη

就可以解出 M 的取值。

                                             SquareCircle:2021.9.122021.10.1 

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