2021/3/3 乘方是群作用

在计划一篇与数集相关的文章（已经在写了）的时候，一个曾有的疑惑——为什么“乘方”与“加法”“乘法”这种典型的二元运算那么不同——得出的答案：乘方可以理解为正实数乘法群 \((\mathbb{R}^+,\times)\) 对实数集 \(\mathbb{R}\) 的群作用（考虑指数为非正数的情况对于这理解来所徒增麻烦），则其轨道仅有自身一条（也就是说 \(\mathbb{R}\) 在这个“乘方作用”下是传递的），其稳定化子为 \(\forall x \in \mathbb{R} , \mathrm{Stab}(x)=\{1\}\) (也就是说 \(\mathbb{R}\) 在这个“乘方作用”下是自由的)，综上两点 \(\mathbb{R}\) 是一个“乘方作用挠子”。窃以为如此刻画乘方的性质最为恰当。