微积分小感——0.极限论
所需的前置知识:
1)函数的概念
2)实数理论
§1.序列及其极限
—1.序列
想必你小学时做过不少找序列规律的题目,比如下面这些:
xn:0,3,8,15,24,⋯,n2−1,⋯yn:√2,√2+√2,√2+√2+√2,⋯,√2+√2+⋯√2+√2n层根号,zn:3.1,3.14,3.141,3.1415,3.14159,3.141592,3.1415926,⋯
对于 xn ,相信你能十分轻易的写出通项公式;但对于更复杂的 yn ,它的通项公式就很难以初等方法写出;更变态的是 zn ,它的第 n 项就是 π 的前 n 位小数,通项公式不存在( π 是无理数)。那么到底什么是序列呢?是不是所有序列都要求有一个通项公式呢?且看序列的定义:
对于正整数:
1,2,3,⋯,n,⋯,n′,⋯(1)
存在对应的实数:
x1,x2,x3,⋯,xn,⋯,xn′,⋯(2)
满足当 n′>n 时 xn′ 在 xn 后面,就称 (2) 为序列 xn 。
这里的“序列”其实是一种正整数与实数的对应关系,也可以说是一种实数的位次,并不要求有通项公式或者确定的规律。
—2.其极限
对于像序列 xn :
x1=1,x2=12,x3=13,⋯,xn=1n,⋯
我们会发现,随 n 的增大,xn−0 会越来越小,比任意的正数都要小,但又大于 0 。一个任意的正数都要小但又大于 0 的数,难道就是无穷小吗?通过简单的反证法,我们证明不存在可以称为“无穷小”的实数(即这个差不是所谓“无穷小”),那么怎么用严格的数学语言去描述这个现象呢?这就引出序列的极限的定义:
对于任意正数 ϵ ,存在一个正整数 N ,使在 n>N 时,一切 xn 的值满足
|xn−a|<ϵ或a−ϵ<xn<a+ϵ(3)
则常数 a 称为序列 x=xn 的极限,也称变量 x 趋于 a,记作
limxn=a或xn→a
这就巧妙的利用了实数的完备性,绕过了拦路的“已死量的幽灵”。这样一个十分巧妙的定义格式被称为“ ϵ−N 语言”。
如果把序列 xn 的一切取值对应的点表示在数轴上,那么常数 a 对应的点就是这些点的凝聚中心:

特别的,把序列的极限的定义中的 (3) 换成以下的式子:
(4)|xn|<ϵ ,即 limxn=0 ,就称 xn 为无穷小
(5)xn>E ,就称 xn 为正无穷,记作 limxn=+∞ 或 xn→+∞
("+"常省略)
(6)xn<−E ,就称 xn 为负无穷,记作 limxn=−∞ 或 xn→−∞
§2.极限的定理
—1.定理
由极限的定义,能十分轻易地推得下面的定理:
对于序列 xn ,yn ,zn :
(Ⅰ) 若总有 xn=yn ,则 limxn=limyn
(Ⅱ) 若总有 xn>yn (或⩾) ,则 limxn⩾limyn (反之亦然)
(Ⅲ) 夹逼定理:若总有 xn>yn>zn (或⩾) ,且 limxn=limzn=a ,则 limyn=a
以及下面的运算法则:
对于序列 xn ,yn ,若 limxn=a , limyn=b , 则:
(ⅰ) lim(xn±yn)=a±b
(ⅱ) limk⋅xn=ka ( k 为常数,本定理可以看作定理(ⅰ)的推论)
(ⅲ) lim(xnyn)=ab
(ⅳ) limxnyn=ab (此时 b≠0 )
这些定理能很好地帮助我们解决有关极限的诸多问题。
但是,上述定理对两个无穷大的差、两个无穷大的比、两个无穷小的比以及无穷大和无穷小的积,即:
∞−∞ , ∞∞ , 00 , 0⋅∞
的值如何计算,这些定理并没有给出答案。它们被称为不定式,对它们的研究被称为不定式的定值法。
—2.例题
下面是一些求极限的例题:
-
一个非常简单的极限
对于序列 xn=n−1n+1 ,求 limxn 的值
xn=n−1n+1=1+2n+1
令 x′n=1n+1 。对于任意正数 ϵ ,取正整数 N>1ϵ−1 ,则对于任意 n>N ,有:
|x′n−0|=x′n=1n+1<1N+1<11ϵ=ϵ
即 limx′n=0 ,那么:
limxn=lim(1+2n+1)=1+lim2n+1=1+2⋅limx′n=1
这就得到答案 limxn=1 。这里用到了极限的定义和定理 (ⅰ)(ⅱ) 。
-
锥体体积的求法
求如图的三角锥体 S−ABC 的体积 V,其底面积 S△ABC=S ,高为 H 。

将锥体的高 H 进行 n 等分,过各等分点作平行于底面的平面,它们会在锥体上截出一系列与底面相似的三角形,其面积 Sk=k2n2S(k=1,2,⋯,n−1) 。以这些三角形(包括底面)作一系列内含与外包的柱体,则外包的柱体的体积之和 Vn 与内含的柱体的体积之和 V′n 满足:
Vn=n∑k=1k2Hn3S>V>V′n=n−1∑k=0k2Hn3S
但当 n 增大时,有:
Vn−V′n=HnS→0 ,即 limVn=limV′n(根据上面的定理(ⅰ))
所以根据上面的定理 (Ⅲ) ,有:
V=limVn=limV′n
因此可通过求 limVn 求得 V :
V=limVn=limn∑k=1k2Hn3S=limHSn3n∑k=1k2=HS⋅limn(n+1)(2n+1)6n3=HS⋅lim(13+12n+16n2)=HS3
这里用到了定理 (ⅰ)(ⅱ) ,以及前 n 个自然数的平方和公式。以上的证明过程可以推广到任意底面形状的锥体。
-
一个简单但著名的问题
证明: 0.˙9=1
构造序列
xn=0.999⋯9n个9=1−110n
并定义 0.˙9=limxn 。对于任意正数 ϵ ,取正整数 N>log101ϵ ,则对于任意 n>N ,有:
|xn−1|=110n<110N<110log101ϵ=11ϵ=ϵ
即 limxn=1 ,所以:
0.˙9=limxn=1
命题证明完毕。
§3.函数的极限
—1.定义及定理
函数,描述了两个变量——自变量 x 和因变量 y ——之间的一种对应关系。我们既然定义了序列(可以视作一个变量)的极限,便很自然引出函数的的极限的定义:
对于任意正数 ϵ ,存在一个正数 δ ,使得
若 |x−a|<δ则 |f(x)−A|<ϵ
则称当 x 趋于 a 时函数 f(x) 的极限为 A ,记作
limx→af(x)=A
由于这定义的格式太过于经典,也被称为“ ϵ−δ 语言”。这两个希腊字母 ϵ(epsilon) 和 δ(delta) 在以后的章节还会是我们的常客。
其实,序列 xn 可以看作是以 n 为自变量,定义域为正整数集合( n∈N )的函数 x(n) ;序列 xn 的极限 limxn 就相当于函数 x(n) 的极限 limn→∞x(n) 。函数的极限源于(至少在思想源头上相同)序列的极限,反过来又包含了序列的极限,是数学上极其典型的“父子关系”。
这里并没有给出如同序列的极限中的 (4)(5)(6) 的式子的定义,即当 x>Δ (或 <−Δ ),以及 f(x)>E (或 <−E )时,函数极限的定义。我们可以仿照序列的定义写作 limx→af(x)=∞ (当 |x−a|<δ 时,满足 f(x)>E )。其余情况请试着自己写出。
十分自然的,函数的极限”继承“了序列的极限的所有性质(如果要严格证明的话,其方法也与序列的极限的性质的证明方法类似),只不过多了一个前提条件:
对于函数 f(x) ,g(x) ,h(x) ,在充分小的邻域 (a−ϵ,a+ϵ) 中(这里实际上默认了函数在这一区间里的每一点都有定义):
(Ⅰ) 若总有 f(x)=g(x) ,则 limx→af(x)=limx→ag(x)
(Ⅱ) 若总有 f(x)>g(x) (或⩾) ,则 limx→af(x)⩾limx→ag(x) (反之亦然)
(Ⅲ) 夹逼定理:若总有 f(x)>g(x)>h(x) (或⩾) ,且 limx→af(x)=limx→ah(x)=A
,则 limx→ag(x)=A
若 limx→af(x)=A , limx→ag(x)=B ,则:
(ⅰ) limx→a(f(x)±g(x))=A±B
(ⅱ) limx→ak⋅f(x)=kA ( k 为常数)
(ⅲ) limx→a(f(x)g(x))=A⋅B
(ⅳ) limx→af(x)g(x)=AB (此时 B≠0 )
—2.一些简单的函数极限
-
有理整函数
证明:对于关于 x 的整式 f(x)=a0+a1x1+a2x2⋯+anxn (其中 n 为自然数,a0,a1,a2,⋯,an 为常数 ),函数 y=f(x) 的极限满足 limx→kf(x)=f(k) 。
我们将 f(x) 分拆成如下 n 个函数的和:
f0(x)=x0=1,f1(x)=x1=x,f2(x)=x2,⋯,fn(x)=xnf(x)=a0⋅f0(x)+a1⋅f1(x)+a2⋅f2(x)+⋯+an⋅fn(x)
考虑其中任意一个函数 fi(x)=xi ,对于任意正数 ϵ ,存在一个正数 δ=i√ϵ+ki−k ,使得当 0<x−k<δ 时,有 k<x<δ+k=i√ϵ+ki ,且:
fi(x)−fi(k)=xi−ki<(i√ϵ+ki)i−ki=ϵ+ki−ki=ϵ
即 limx→kfi(x)=fi(k) ,那么:
limx→kf(x)=limx→k(a0⋅f0(x)+a1⋅f1(x)+a2⋅f2(x)+⋯+an⋅fn(x))=limx→ka0⋅f0(x)+limx→ka1⋅f1(x)+limx→ka2⋅f2(x)+⋯+limx→kan⋅fn(x)=a0⋅limx→kf0(x)+a1⋅limx→kf1(x)+a2⋅limx→kf2(x)+⋯+an⋅limx→kfn(x)=a0⋅f0(k)+a1⋅f1(k)+a2⋅f2(k)+⋯+an⋅fn(k)=f(k)
即 limx→kf(x)=f(k) ,命题证明完毕。这里用到了极限的定义和定理 (ⅰ)(ⅱ) 。
附注:
我们把满足 limx→af(x)=f(a) 的函数 f(x) 称为在点 a 处连续。连续的函数会有一些很好的性质。所有的初等函数在它有定义的点都是连续的。
-
有理分式函数
对于上文中的 f(x) 以及关于 x 的整式 g(x)=b0+b1x1+b2x2⋯+bmxm (其中 m 为自然数,b0,b1,b2,⋯,bm 为常数 ),函数 y=f(x)g(x) 在 0 与 ±∞ 处的极限有:
limx→0y=⎧⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪⎩0(a0=0)a0b0(a0≠0,b0≠0)DNE(b0=0),limx→±∞y=⎧⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪⎩0(m>n)a0b0(m=n)±∞(m<n)
而在 g(x) 的零点 a 处的极限有:
limx→ay=⎧⎪⎨⎪⎩limx→aϕ(a)ψ(a)(f(x)=(x−a)ϕ(x),g(x)=(x−a)ψ(x))DNE(f(a)≠0)
读者不妨用极限的定理 (ⅳ) 加以证明。
-
三角函数的极限
-
cosx
证明: limx→0cosx=1
对于任意正数 ϵ ,存在一正数 δ 满足 0<sinδ2<ϵ2 ,使得当 |x|<δ 时:
1−cosx=cos0−cosx=2sin2x2<2sin2δ2<2sinδ2<ϵ
即 limx→0cosx=1 ,命题证明完毕。这里用到了和差化积和极限的定义。
-
sinx
比起 sinx 本身的极限(根据诱导公式 sinx=cos(x−π2) 可以简单地导出),我们更关心的是以下这个十分重要的极限:
证明: limx→0sinx=1
首先证明如下的重要关系式:
sinx<x<tanx(0<x<π2)
取半径为 R 的 ⊙O 中的 ∠AOB=x ,作 ⊙O 在 A 点的切线 AC 交 OB 于点 C ,如下图:

那么由图可知:
S△AOB=12R2sinx<S扇形AOB=12R2x<S△AOC=12R2tanx
各式同时除以 12R2 就得到关系式 sinx<x<tanx 。
两边同时除以 sinx 再取倒数,就得到:
1>sinxx>cosx
又 limx→0cosx=1 ,所以 limx→0sinx=1 ,命题证明完毕。这里用到了 cosx 的极限和定理 (Ⅲ) 。
附注:
我们把满足 limx→af(x)g(x)=1 的两函数 f(x) 、 g(x) 称为“当 x→a 时 f(x)∼g(x) ”。满足这样关系的函数可以在当 x→a 时相互替换而不改变式子的值。这样的关系能在很多时候把复杂的函数替换成简单的函数。
其余的三角函数皆可用上面的两个三角函数表示。
§4.极限的实操
—1.数 e 的定义
考察这样一个序列:
xn=(1+1n)n
使用二项式定理,我们发现:
xn=(1+1n)n=n∑k=0(Ckn⋅(1n)k⋅1n−k)=n∑k=0(n(n−1)(n−2)⋯(n−k+1)k!⋅1nk)=n∑k=0(1k!k−1∏i=1(1−in))
比较 xn 与 xn+1 的大小,有:
xn+1−xn=n+1∑k=0(1k!k−1∏i=1(1−in+1))−n∑k=0(1k!k−1∏i=1(1−in))=n∑k=0(1k!k−1∏i=1(1−in+1)−1k!k−1∏i=1(1−in))+1(n+1)!n∏i=1(1−in+1)>0
即 xn<xn+1 ,这个序列单调递增。将所有的 (1−in) 换成 1 ,又有:
xn<n∑k=01k!=2+n∑k=21k!<2+n∑k=212k<3
这个序列有上界。一个单调递增又有上界的序列,显然有一有限极限。我们把这一极限极限记作:
e=limxn=lim(1+1n)n
数 e 本身应用广泛,以它为底的对数函数( y=logex=lnx ,这被称为自然对数)和指数函数( y=ex )有很多优美的性质,我们在以后的章节会常常见到它们。
那么从序列拓展到函数,我们有如下的命题:
证明: limx→±∞(1+1x)x=e
首先考虑 x→+∞ 的情况。对于任意大的 x ,取正整数 n 满足 nx⩽x<nx+1 ,则当 x→+∞ 时,有 nx→+∞ 。这时:
1nx+1<1x⩽1nx1+1nx+1<1+1x⩽1+1nx(1+1nx+1)nx<(1+1x)x⩽(1+1nx)nx+1
两边的式子的极限为:
lim(1+1nx+1)nx=lim(1+1nx+1)nx+1lim(1+1nx+1)=elim(1+1nx)nx+1=lim(1+1nx)nx⋅lim(1+1nx)=e
所以有 limx→+∞(1+1x)x=e 。 x→−∞ 的情况只需换元 t=−x ,就有:
limx→−∞(1+1x)x=limt→+∞(1−1t)−t=limt→+∞(tt−1)t=limt→+∞(1+1t−1)t−1⋅limt→+∞(1+1t−1)=e
命题证明完毕。这里用到了 e 的定义和定理 (Ⅲ) 。定理的等价表述是 limx→0(1+x)1x=e 。
—2.圆的周长面积公式的验证
相信你早在小学就学过圆的周长面积公式,但并没有严谨地证明(或者说验证)它们。我们不妨从极限论的角度验证这个公式,顺便练习三角函数的极限。
我们知道对于顶角为 θ 、腰长为 r 的等腰三角形,其底边长度为 2r⋅sinθ2 ,其面积为 12r2⋅sinθ ;不妨用正 n 边形去逼近圆(相当于把圆视作正 ∞ 边形,动态演示见文件 §4-2.ggb ),那么有:
Cn=n⋅2r⋅sinπnC⊙=limCn=2nr⋅limsinπn=2nr⋅πn=2πrSn=n⋅12r2⋅sin2πnS⊙=limSn=12nr2⋅limsin2πn=12nr2⋅2πn=πr2
就得到圆的周长与面积公式。这里用到了 sinx 的极限(只需注意到 πn→0 , sinπn∼πn 即可)。
—3.一个伪证:π=4

这个伪证尽管看起来十分“合理”,但显然是不正确的。那它错在哪里呢?
若要证 π=4 ,不妨从证 4−π=0 下手。从极限论的角度,我们便要构造一个序列 xn 逼近(几何意义上) 4−π ,并尝试证明 limxn=0 。
根据上图中的“证明”,第 n 次把角折进去前,每一个角和这一个角所“夹住”的圆弧从差为 δn=4−π4n ,显然有 limδn=0 ,每一份的差的确趋于 0 。但总体的差 xn=4n⋅δn=4−π 为常数,并不能说明 4−π=limxn (这一个极限是由几何图形得来的)等于 0 。这里的 xn 其实是一个 0⋅∞ 型不等式,仅仅针对其中趋于 0 的一部分,就说整体趋于 0 ,是错误的。
华罗庚老先生说过“形少数时难入微”。在面对无穷小、无穷大这样的对象时,图形的表现往往差强人意。从极限论(乃至微积分学)的角度看,图形的作用仅在于启发思路或直观定性,真正的结论还是要从计算中得出。
—4.正方形上的蜗牛
下面一道趣题,可以看作本篇的结束。
在一个边长为 l 的正方形的四个顶点上有四只蜗牛,每只蜗牛以相同速度匀速向它顺时针方向的那一只蜗牛爬去,蜗牛在爬动过程中会不断调整爬动方向,使之正对着它要爬向的蜗牛。求四只蜗牛相遇于正方形中心所要经过的距离。
为了方便处理“连续的”转向,我们不妨假设,每只蜗牛爬了与目标蜗牛当前距离的 1k (k>2) 时才意识到自己要转向; 注意到蜗牛在相遇于正方形中心前需要无数次转向(这也是我们无法处理的),不妨假设蜗牛转向了 n 次之后就停止;如下图(紫色的曲线是蜗牛的实际路径,紫红色点是假设中蜗牛的转向处,粉红色的折线是假设中蜗牛走过的路径。动态演示见文件 §4-4.ggb ):

用式子把假设中路径的长度 Ln(k) 表示出来,并对 n 作序列 Ln(k) 的极限,得到无数次旋转后的路径长度关于 k 的函数 L(k)=limLn(k) ;要使蜗牛的“延时” 1k→0 ,就要再对 k→∞ 作函数 L(k) 的极限,即可求出答案 L=limk→∞L(k) 。
注意到四只蜗牛同批次转向点构成的正方形等比相似,相邻两次的相似比为 √(k−1)2+1k (由勾股定理得出,相似比 <1 );则第 i 个正方形的边长为 l⋅(√(k−1)2+1k)i ,而第 i 段线段的长度是边长的 1k ,即 lk⋅(√(k−1)2+1k)i ;对这些线段求和,得到:
Ln(k)=n∑i=0⎛⎝lk⋅(√(k−1)2+1k)i⎞⎠=lk⋅1−(√(k−1)2+1k)n+11−√(k−1)2+1k=lk⋅⎛⎝1−(√(k−1)2+1k)n+1⎞⎠⋅kk−√(k−1)2+1
这里用到了等比数列的计算公式。对以上式子对 n 作序列的极限(把 k 视作常数),得到:
L(k)=limLn(k)=lk⋅kk−√(k−1)2+1⋅lim⎛⎝1−(√(k−1)2+1k)n+1⎞⎠=lk−√(k−1)2+1
后一项的极限 0 是容易得到的。对以上式子对 k→∞ 作函数的极限,得到:
L=limk→∞L(k)=l⋅limk→∞1k−√(k−1)2+1
注意到当 k→∞ 时,有 √(k−1)2+1∼(k−1) (感性地理解: +1 面对 (k−1)2→∞ 是可以忽略的),把这带入以上式子,得到一个及其美妙的结果:
L=limk→∞L(k)=l
附注1:
蜗牛爬过的曲线其实是对数螺线 r=A⋅eθ (其中 A 为常数,作用为缩放函数图像,它与正方形边长 l 的具体关系是 l=√2eπ/2⋅A ),这条螺线的一些性质会在后面的章节加以研究。
附注2:
此题其实另有一个取巧的思路:考虑到蜗牛两两之间垂直方向上的初始距离为正方形边长 l ;由于连续的转向运动,蜗牛的运动方向始终两两垂直,即垂直方向上的相对速度差为 0 ,就可以视目标蜗牛在垂直方向上静止;那么要爬向距离为 l 的静止物体要经过的距离就是 l 。
极限论的内容就是这么多。它不仅是整个微积分(标准分析)的理论基础,也是思想基础。这种近乎暴力的“用有限逼近无穷,用离散逼近连续”的方法,就是微积分这种“数学方法”的本质所在。微积分的大门已在你面前敞开,我们即将跟随牛老爵爷的步伐走进微分的世界。欲知后事如何,且看下章。
Square−Circle:2020.11.1∼2021.2.11
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