微积分小感——0.极限论

微积分小感——0.极限论

所需的前置知识:

​ 1)函数的概念
​ 2)实数理论

§1.序列及其极限

—1.序列

​ 想必你小学时做过不少找序列规律的题目,比如下面这些:

xn:0,3,8,15,24,,n21,yn:2,2+2,2+2+2,,2+2+2+2n,zn:3.1,3.14,3.141,3.1415,3.14159,3.141592,3.1415926,

对于 xn ,相信你能十分轻易的写出通项公式;但对于更复杂的 yn ,它的通项公式就很难以初等方法写出;更变态的是 zn ,它的第 n 项就是 π 的前 n 位小数,通项公式不存在( π 是无理数)。那么到底什么是序列呢?是不是所有序列都要求有一个通项公式呢?且看序列的定义:

对于正整数:

1,2,3,,n,,n,(1)

存在对应的实数:

x1,x2,x3,,xn,,xn,(2)

满足当 n>nxnxn 后面,就称 (2)序列 xn

​ 这里的“序列”其实是一种正整数与实数的对应关系,也可以说是一种实数的位次,并不要求有通项公式或者确定的规律。

—2.其极限

​ 对于像序列 xn

x1=1,x2=12,x3=13,,xn=1n,

我们会发现,随 n 的增大,xn0 会越来越小,比任意的正数都要小,但又大于 0 。一个任意的正数都要小但又大于 0 的数,难道就是无穷小吗?通过简单的反证法,我们证明不存在可以称为“无穷小”的实数(即这个差不是所谓“无穷小”),那么怎么用严格的数学语言去描述这个现象呢?这就引出序列的极限的定义:

对于任意正数 ϵ ,存在一个正整数 N ,使在 n>N 时,一切 xn 的值满足

|xna|<ϵaϵ<xn<a+ϵ(3)

则常数 a 称为序列 x=xn 的极限,也称变量 x 趋于 a,记作

limxn=axna

这就巧妙的利用了实数的完备性,绕过了拦路的“已死量的幽灵”。这样一个十分巧妙的定义格式被称为“ ϵN 语言”。

​ 如果把序列 xn 的一切取值对应的点表示在数轴上,那么常数 a 对应的点就是这些点的凝聚中心

§1-图1

​ 特别的,把序列的极限的定义中的 (3) 换成以下的式子:

(4)|xn|<ϵ ,即 limxn=0 ,就称 xn 为无穷小
(5)xn>E ,就称 xn 为正无穷,记作 limxn=+xn+
("+"常省略)
(6)xn<E ,就称 xn 为负无穷,记作 limxn=xn

§2.极限的定理

—1.定理

​ 由极限的定义,能十分轻易地推得下面的定理:

对于序列 xnynzn

() 若总有 xn=yn ,则 limxn=limyn
() 若总有 xn>yn () ,则 limxnlimyn (反之亦然)
() 夹逼定理:若总有 xn>yn>zn () ,且 limxn=limzn=a ,则 limyn=a

​ 以及下面的运算法则:

对于序列 xnyn ,若 limxn=alimyn=b , 则:

() lim(xn±yn)=a±b
() limkxn=kak 为常数,本定理可以看作定理()的推论)
() lim(xnyn)=ab
() limxnyn=ab (此时 b0

​ 这些定理能很好地帮助我们解决有关极限的诸多问题。

​ 但是,上述定理对两个无穷大的差、两个无穷大的比、两个无穷小的比以及无穷大和无穷小的积,即:

 ,  , 00 , 0

的值如何计算,这些定理并没有给出答案。它们被称为不定式,对它们的研究被称为不定式的定值法

—2.例题

​ 下面是一些求极限的例题:

  1. 一个非常简单的极限

    对于序列 xn=n1n+1 ,求 limxn 的值

    xn=n1n+1=1+2n+1

    xn=1n+1 。对于任意正数 ϵ ,取正整数 N>1ϵ1 ,则对于任意 n>N ,有:

    |xn0|=xn=1n+1<1N+1<11ϵ=ϵ

    limxn=0 ,那么:

    limxn=lim(1+2n+1)=1+lim2n+1=1+2limxn=1

    这就得到答案 limxn=1 。这里用到了极限的定义和定理 ()()

  2. 锥体体积的求法

    求如图的三角锥体 SABC 的体积 V,其底面积 SABC=S ,高为 H

    §2-图2

    将锥体的高 H 进行 n 等分,过各等分点作平行于底面的平面,它们会在锥体上截出一系列与底面相似的三角形,其面积 Sk=k2n2S(k=1,2,,n1) 。以这些三角形(包括底面)作一系列内含与外包的柱体,则外包的柱体的体积之和 Vn 与内含的柱体的体积之和 Vn 满足:

    Vn=k=1nk2Hn3S>V>Vn=k=0n1k2Hn3S

    但当 n 增大时,有:

    VnVn=HnS0 , limVn=limVn(())

    所以根据上面的定理 () ,有:

    V=limVn=limVn

    因此可通过求 limVn 求得 V

    V=limVn=limk=1nk2Hn3S=limHSn3k=1nk2=HSlimn(n+1)(2n+1)6n3=HSlim(13+12n+16n2)=HS3

    这里用到了定理 ()() ,以及前 n 个自然数的平方和公式。以上的证明过程可以推广到任意底面形状的锥体。

  3. 一个简单但著名的问题

    证明: 0.9˙=1

    构造序列

    xn=0.9999n9=1110n

    并定义 0.9˙=limxn 。对于任意正数 ϵ ,取正整数 N>log101ϵ ,则对于任意 n>N ,有:

    |xn1|=110n<110N<110log101ϵ=11ϵ=ϵ

    limxn=1 ,所以:

    0.9˙=limxn=1

    命题证明完毕。

§3.函数的极限

—1.定义及定理

​ 函数,描述了两个变量——自变量 x 和因变量 y ——之间的一种对应关系。我们既然定义了序列(可以视作一个变量)的极限,便很自然引出函数的的极限的定义:

对于任意正数 ϵ ,存在一个正数 δ ,使得

 |xa|<δ |f(x)A|<ϵ

则称当 x 趋于 a 时函数 f(x) 的极限为 A ,记作

limxaf(x)=A

由于这定义的格式太过于经典,也被称为“ ϵδ 语言”。这两个希腊字母 ϵ(epsilon)δ(delta) 在以后的章节还会是我们的常客。

​ 其实,序列 xn 可以看作是以 n 为自变量,定义域为正整数集合( nN )的函数 x(n) ;序列 xn 的极限 limxn 就相当于函数 x(n) 的极限 limnx(n) 。函数的极限源于(至少在思想源头上相同)序列的极限,反过来又包含了序列的极限,是数学上极其典型的“父子关系”。

​ 这里并没有给出如同序列的极限中的 (4)(5)(6) 的式子的定义,即当 x>Δ (或 <Δ ),以及 f(x)>E (或 <E )时,函数极限的定义。我们可以仿照序列的定义写作 limxaf(x)= (当 |xa|<δ 时,满足 f(x)>E )。其余情况请试着自己写出。

​ 十分自然的,函数的极限”继承“了序列的极限的所有性质(如果要严格证明的话,其方法也与序列的极限的性质的证明方法类似),只不过多了一个前提条件:

对于函数 f(x)g(x)h(x) ,在充分小的邻域 (aϵ,a+ϵ) 中(这里实际上默认了函数在这一区间里的每一点都有定义):

() 若总有 f(x)=g(x) ,则 limxaf(x)=limxag(x)
() 若总有 f(x)>g(x) () ,则 limxaf(x)limxag(x) (反之亦然)
() 夹逼定理:若总有 f(x)>g(x)>h(x) () ,且 limxaf(x)=limxah(x)=A
​ ,则 limxag(x)=A

limxaf(x)=A , limxag(x)=B ,则:

() limxa(f(x)±g(x))=A±B
() limxakf(x)=kAk 为常数)
() limxa(f(x)g(x))=AB
() limxaf(x)g(x)=AB (此时 B0

—2.一些简单的函数极限

  1. 有理整函数

    证明:对于关于 x 的整式 f(x)=a0+a1x1+a2x2+anxn (其中 n 为自然数,a0,a1,a2,,an 为常数 ),函数 y=f(x) 的极限满足 limxkf(x)=f(k)

    我们将 f(x) 分拆成如下 n 个函数的和:

    f0(x)=x0=1,f1(x)=x1=x,f2(x)=x2,,fn(x)=xnf(x)=a0f0(x)+a1f1(x)+a2f2(x)++anfn(x)

    考虑其中任意一个函数 fi(x)=xi ,对于任意正数 ϵ ,存在一个正数 δ=ϵ+kiik ,使得当 0<xk<δ 时,有 k<x<δ+k=ϵ+kii ,且:

    fi(x)fi(k)=xiki<(ϵ+kii)iki=ϵ+kiki=ϵ

    limxkfi(x)=fi(k) ,那么:

    limxkf(x)=limxk(a0f0(x)+a1f1(x)+a2f2(x)++anfn(x))=limxka0f0(x)+limxka1f1(x)+limxka2f2(x)++limxkanfn(x)=a0limxkf0(x)+a1limxkf1(x)+a2limxkf2(x)++anlimxkfn(x)=a0f0(k)+a1f1(k)+a2f2(k)++anfn(k)=f(k)

    limxkf(x)=f(k) ,命题证明完毕。这里用到了极限的定义和定理 ()()

    附注
    我们把满足 limxaf(x)=f(a) 的函数 f(x) 称为在点 a连续。连续的函数会有一些很好的性质。所有的初等函数在它有定义的点都是连续的。

  2. 有理分式函数

    对于上文中的 f(x) 以及关于 x 的整式 g(x)=b0+b1x1+b2x2+bmxm (其中 m 为自然数,b0,b1,b2,,bm 为常数 ),函数 y=f(x)g(x)0± 处的极限有:

    limx0y={0(a0=0)a0b0(a00,b00)DNE(b0=0),limx±y={0(m>n)a0b0(m=n)±(m<n)

    而在 g(x) 的零点 a 处的极限有:

    limxay={limxaϕ(a)ψ(a)(f(x)=(xa)ϕ(x),g(x)=(xa)ψ(x))DNE(f(a)0)

    读者不妨用极限的定理 () 加以证明。

  3. 三角函数的极限

    1. cosx

      证明: limx0cosx=1

      对于任意正数 ϵ ,存在一正数 δ 满足 0<sinδ2<ϵ2 ,使得当 |x|<δ 时:

      1cosx=cos0cosx=2sin2x2<2sin2δ2<2sinδ2<ϵ

      limx0cosx=1 ,命题证明完毕。这里用到了和差化积和极限的定义。

    2. sinx

      比起 sinx 本身的极限(根据诱导公式 sinx=cos(xπ2) 可以简单地导出),我们更关心的是以下这个十分重要的极限:
      证明: limx0sinx=1

      首先证明如下的重要关系式:

      sinx<x<tanx(0<x<π2)

      取半径为 RO 中的 AOB=x ,作 OA 点的切线 ACOB 于点 C ,如下图:

      §3-图3

      那么由图可知:

      SAOB=12R2sinx<S扇形AOB=12R2x<SAOC=12R2tanx

      各式同时除以 12R2 就得到关系式 sinx<x<tanx

      两边同时除以 sinx 再取倒数,就得到:

      1>sinxx>cosx

      limx0cosx=1 ,所以 limx0sinx=1 ,命题证明完毕。这里用到了 cosx 的极限和定理 ()

      附注
      我们把满足 limxaf(x)g(x)=1 的两函数 f(x)g(x) 称为“当 xaf(x)g(x) ”。满足这样关系的函数可以在当 xa 时相互替换而不改变式子的值。这样的关系能在很多时候把复杂的函数替换成简单的函数。

    其余的三角函数皆可用上面的两个三角函数表示。

§4.极限的实操

—1.数 e 的定义

​ 考察这样一个序列:

xn=(1+1n)n

使用二项式定理,我们发现:

xn=(1+1n)n=k=0n(Cnk(1n)k1nk)=k=0n(n(n1)(n2)(nk+1)k!1nk)=k=0n(1k!i=1k1(1in))

比较 xnxn+1 的大小,有:

xn+1xn=k=0n+1(1k!i=1k1(1in+1))k=0n(1k!i=1k1(1in))=k=0n(1k!i=1k1(1in+1)1k!i=1k1(1in))+1(n+1)!i=1n(1in+1)>0

xn<xn+1 ,这个序列单调递增。将所有的 (1in) 换成 1 ,又有:

xn<k=0n1k!=2+k=2n1k!<2+k=2n12k<3

这个序列有上界。一个单调递增又有上界的序列,显然有一有限极限。我们把这一极限极限记作:

e=limxn=lim(1+1n)n

​ 数 e 本身应用广泛,以它为底的对数函数( y=logex=lnx ,这被称为自然对数)和指数函数( y=ex )有很多优美的性质,我们在以后的章节会常常见到它们。

​ 那么从序列拓展到函数,我们有如下的命题:

证明: limx±(1+1x)x=e

首先考虑 x+ 的情况。对于任意大的 x ,取正整数 n 满足 nxx<nx+1 ,则当 x+ 时,有 nx+ 。这时:

1nx+1<1x1nx1+1nx+1<1+1x1+1nx(1+1nx+1)nx<(1+1x)x(1+1nx)nx+1

两边的式子的极限为:

lim(1+1nx+1)nx=lim(1+1nx+1)nx+1lim(1+1nx+1)=elim(1+1nx)nx+1=lim(1+1nx)nxlim(1+1nx)=e

所以有 limx+(1+1x)x=ex 的情况只需换元 t=x ,就有:

limx(1+1x)x=limt+(11t)t=limt+(tt1)t=limt+(1+1t1)t1limt+(1+1t1)=e

命题证明完毕。这里用到了 e 的定义和定理 () 。定理的等价表述是 limx0(1+x)1x=e

—2.圆的周长面积公式的验证

​ 相信你早在小学就学过圆的周长面积公式,但并没有严谨地证明(或者说验证)它们。我们不妨从极限论的角度验证这个公式,顺便练习三角函数的极限。

​ 我们知道对于顶角为 θ 、腰长为 r 的等腰三角形,其底边长度为 2rsinθ2 ,其面积为 12r2sinθ ;不妨用正 n 边形去逼近圆(相当于把圆视作正 边形,动态演示见文件 §4-2.ggb ),那么有:

Cn=n2rsinπnC=limCn=2nrlimsinπn=2nrπn=2πrSn=n12r2sin2πnS=limSn=12nr2limsin2πn=12nr22πn=πr2

就得到圆的周长与面积公式。这里用到了 sinx 的极限(只需注意到 πn0sinπnπn 即可)。

—3.一个伪证:π=4

§4-图4

​ 这个伪证尽管看起来十分“合理”,但显然是不正确的。那它错在哪里呢?

​ 若要证 π=4 ,不妨从证 4π=0 下手。从极限论的角度,我们便要构造一个序列 xn 逼近(几何意义上) 4π ,并尝试证明 limxn=0

​ 根据上图中的“证明”,第 n 次把角折进去前,每一个角和这一个角所“夹住”的圆弧从差为 δn=4π4n ,显然有 limδn=0 ,每一份的差的确趋于 0 。但总体的差 xn=4nδn=4π 为常数,并不能说明 4π=limxn (这一个极限是由几何图形得来的)等于 0 。这里的 xn 其实是一个 0 型不等式,仅仅针对其中趋于 0 的一部分,就说整体趋于 0 ,是错误的。

​ 华罗庚老先生说过“形少数时难入微”。在面对无穷小、无穷大这样的对象时,图形的表现往往差强人意。从极限论(乃至微积分学)的角度看,图形的作用仅在于启发思路或直观定性,真正的结论还是要从计算中得出。

—4.正方形上的蜗牛

下面一道趣题,可以看作本篇的结束。

在一个边长为 l 的正方形的四个顶点上有四只蜗牛,每只蜗牛以相同速度匀速向它顺时针方向的那一只蜗牛爬去,蜗牛在爬动过程中会不断调整爬动方向,使之正对着它要爬向的蜗牛。求四只蜗牛相遇于正方形中心所要经过的距离。

为了方便处理“连续的”转向,我们不妨假设,每只蜗牛爬了与目标蜗牛当前距离的 1k (k>2) 时才意识到自己要转向; 注意到蜗牛在相遇于正方形中心前需要无数次转向(这也是我们无法处理的),不妨假设蜗牛转向了 n 次之后就停止;如下图(紫色的曲线是蜗牛的实际路径,紫红色点是假设中蜗牛的转向处,粉红色的折线是假设中蜗牛走过的路径。动态演示见文件 §4-4.ggb ):

§4-图5

用式子把假设中路径的长度 Ln(k) 表示出来,并对 n 作序列 Ln(k) 的极限,得到无数次旋转后的路径长度关于 k 的函数 L(k)=limLn(k) ;要使蜗牛的“延时” 1k0 ,就要再对 k 作函数 L(k) 的极限,即可求出答案 L=limkL(k)

​ 注意到四只蜗牛同批次转向点构成的正方形等比相似,相邻两次的相似比为 (k1)2+1k (由勾股定理得出,相似比 <1 );则第 i 个正方形的边长为 l((k1)2+1k)i ,而第 i 段线段的长度是边长的 1k ,即 lk((k1)2+1k)i ;对这些线段求和,得到:

Ln(k)=i=0n(lk((k1)2+1k)i)=lk1((k1)2+1k)n+11(k1)2+1k=lk(1((k1)2+1k)n+1)kk(k1)2+1

这里用到了等比数列的计算公式。对以上式子对 n 作序列的极限(把 k 视作常数),得到:

L(k)=limLn(k)=lkkk(k1)2+1lim(1((k1)2+1k)n+1)=lk(k1)2+1

后一项的极限 0 是容易得到的。对以上式子对 k 作函数的极限,得到:

L=limkL(k)=llimk1k(k1)2+1

注意到当 k 时,有 (k1)2+1(k1) (感性地理解: +1 面对 (k1)2 是可以忽略的),把这带入以上式子,得到一个及其美妙的结果:

L=limkL(k)=l

附注1:
蜗牛爬过的曲线其实是对数螺线 r=Aeθ (其中 A 为常数,作用为缩放函数图像,它与正方形边长 l 的具体关系是 l=2eπ/2A ),这条螺线的一些性质会在后面的章节加以研究。

附注2:
此题其实另有一个取巧的思路:考虑到蜗牛两两之间垂直方向上的初始距离为正方形边长 l ;由于连续的转向运动,蜗牛的运动方向始终两两垂直,即垂直方向上的相对速度差为 0 ,就可以视目标蜗牛在垂直方向上静止;那么要爬向距离为 l 的静止物体要经过的距离就是 l


​ 极限论的内容就是这么多。它不仅是整个微积分(标准分析)的理论基础,也是思想基础。这种近乎暴力的“用有限逼近无穷,用离散逼近连续”的方法,就是微积分这种“数学方法”的本质所在。微积分的大门已在你面前敞开,我们即将跟随牛老爵爷的步伐走进微分的世界。欲知后事如何,且看下章。

          SquareCircle:2020.11.12021.2.11 



  1. 证明如下:假设存在正数 a (负数同理),使得任意正数 n 都有 n>a>0 ,则根据实数的稠密性,必存在一个正数 b 满足 a>b>0 ,假设不成立。即不存在这样的正数 a↩︎

  2. 1734年,大主教乔治·贝克莱以“渺小的哲学家”之名出版了一本标题很长的书《分析学家:或一篇致一位不信神数学家的论文,其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达,或更明显的推理》。在这本书中,贝克莱对当时的分析理论进行了攻击。因为无穷小量在当时的分析理论中一会儿说是零,一会儿又说不是零。因此,贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”。 ↩︎

  3. 证明如下:根据条件和极限的定义,对于任意正数 ϵ ,存在一个正整数 N ,使在 n>N 时,一切 xn,zn 的值满足 a+ϵ>xn>zn>aϵ ,又有 xn>yn>zn,则 a+ϵ>yn>aϵ ,即 limyn=a↩︎

  4. 在《美丽新世界》中,“delta“、“epsilon”分别指第四、第五等公民。 ↩︎

  5. 对于点 a 与正数 δ ,开区间 (aδ,a+δ) 即为中心为点 a 、半径为 δ 的一个邻域。绝大多数情况下,除去邻域中的点 a (即只考虑区间 (aδ,a)(a,a+δ) )不会影响讨论的普遍性。 ↩︎

  6. 下文中的“DNE”即“不存在(Do Not Exist)”的缩写。极限存在性的具体条件会在本章的附加章节里详细讨论。 ↩︎

  7. 如果没有特别说明,一切三角函数的自变量(乃至一切角度)都采用弧度制,这样做的好处会在涉及三角函数的极限中充分体现。 ↩︎

  8. cosαcosβ=2sinαβ2sinα+β2 ↩︎

  9. 这里不妨考虑单调递增但有上界的序列 xn 。根据“上确界原理”,存在实数 m=sup{xn} ;根据上确界的性质,对于任意正数 ϵ ,存在 mxN<ϵ ;又由单调性,对于任意 n>N ,有 xn>xN ,则有 mxn<ϵ 。这就满足极限的定义,有 m=limxn↩︎

  10. i=0nai=1ai+11a(0<a<1) ↩︎

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