求解线性dp的序列问题
一.最长上升子序列（LIS）
LIS（Longest Increasing Subsequence）最长上升子序列
一个数的序列bi，当b1 < b2 < … < bS的时候，我们称这个序列是上升的。
对于给定的一个序列(a1, a2, …, aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, …, aiK)，
这里1 <= i1 < i2 < … < iK <= N。
比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。
这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).
你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。
两种求解方法：
one：O(n^2):
状态设计：dp[i]代表以a[i]结尾的LIS的长度
状态转移：dp[i]=max(dp[i], dp[j]+1) (0<=j< i, a[j]< a[i])
边界处理：dp[i]=1 (0<=j< n)
代码：
1 int LIS() 2 { 3 int ans=1; 4 for(int i=1;i<=n;i++) 5 { 6 dp[i]=1; 7 for(int j=1;j<i;j++) 8 { 9 if(a[i]>a[j]) 10 dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1); 11 } 12 } 13 for(int i=1;i<=n;i++) 14 ans=max(ans,dp[i]); 15 return ans; 16 }
two:贪心+二分
a[i]表示第i个数据。
dp[i]表示表示长度为i+1的LIS结尾元素的最小值。
利用贪心的思想，对于一个上升子序列，显然当前最后一个元素越小，越有利于添加新的元素，这样LIS长度自然更长。
因此，我们只需要维护dp数组，其表示的就是长度为i+1的LIS结尾元素的最小值，保证每一位都是最小值，
这样子dp数组的长度就是LIS的长度。
dp数组具体维护过程同样举例讲解更为清晰。
同样对于序列 a(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，dp的变化过程如下：
- dp[0] = a[0] = 1，长度为1的LIS结尾元素的最小值自然没得挑，就是第一个数。 （dp = {1}）
- 对于a[1]=7，a[1]>dp[0]，因此直接添加到dp尾，dp[1]=a[1]。（dp = {1, 7}）
- 对于a[2]=3，dp[0]< a[2]< dp[1]，因此a[2]替换dp[1]，令dp[1]=a[2]，因为长度为2的LIS，结尾元素自然是3好过于7，因为越小这样有利于后续添加新元素。 （dp = {1, 3}）
- 对于a[3]=5，a[3]>dp[1]，因此直接添加到dp尾，dp[2]=a[3]。 （dp = {1, 3, 5}）
- 对于a[4]=9，a[4]>dp[2]，因此同样直接添加到dp尾，dp[3]=a[9]。 （dp = {1, 3, 5, 9}）
- 对于a[5]=4，dp[1]< a[5]< dp[2]，因此a[5]替换值为5的dp[2]，因此长度为3的LIS，结尾元素为4会比5好，越小越好嘛。（dp = {1, 3, 4, 9}）
- 对于a[6]=8，dp[2]< a[6]< dp[3]，同理a[6]替换值为9的dp[3]，道理你懂。 （dp = {1, 3, 5, 8}）
这样子dp数组就维护完毕，所求LIS长度就是dp数组长度4。
通过上述求解，可以发现dp数组是单调递增的，因此对于每一个a[i]，先判断是否可以直接插入到dp数组尾部，
即比较其与dp数组的最大值即最后一位；如果不可以，则找出dp中第一个大于等于a[i]的位置，用a[i]替换之。
这个过程可以利用二分查找，因此查找时间复杂度为O(logN)，所以总的时间复杂度为O(N*logN)
1 int LIS() 2 { 3 memset(dp,inf,sizeof(dp)); 4 int pos=0; 5 dp[0]=a[0]; 6 for(int i=1;i<=n;i++) 7 { 8 if(a[i]>dp[pos]) 9 dp[++pos]=a[i]; 10 else 11 dp[lower_bound(dp,dp+pos+1,a[i])-dp]=a[i]; 12 } 13 return pos+1; 14 }
二.最长公共子序列（LCS）
在两个字符串中，有些字符会一样，可以形成的子序列也有可能相等，因此，长度最长的相等子序列便是两者间的最长公共字序列，其长度可以使用动态规划来求。
1 int LCS() 2 { 3 memset(dp,0,sizeof(dp)); 4 for(int i=1;i<=n;i++) 5 { 6 for(int j=1;j<=n;j++) 7 { 8 if(a[i-1]==b[j-1]) 9 dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-1]+1); 10 else 11 dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]); 12 } 13 } 14 return dp[n][n]; 15 }
三.最长公共上升子序列（LCIS）
one：O(n^3)
解析：f[i][j]表示以b[j]结尾，字符串a[i]之前的公共上升子序列最大长度;
显然：f[i][j]>=f[i−1][j];;
递推：若a[i]!=b[j]：f[i][j]=f[i−1[j];
若a[i]==b[j]：f[i][j]=max(f[k][j])+1;(1<=k<=j-1&&b[j]>b[k])
1 int LCIS() 2 { 3 int ans=0; 4 for(int i=1;i<=n;i++) 5 { 6 for(int j=1;j<=n;j++) 7 { 8 if(a[i]!=b[j]) dp[i][j]=dp[i-1][j]; 9 else 10 { 11 int maxx=0; 12 for(int k=1;k<j;k++) 13 { 14 if(b[j]>b[k]) 15 maxx=max(maxx,dp[i-1][k]); 16 } 17 dp[i][j]=maxx+1; 18 ans=max(dp[i][j],ans); 19 } 20 } 21 } 22 return ans; 23 }
two:O(n^2)
优化：通过记录对于当前a[i]与b[1-m]的匹配过程中的最大上升子序列mm，边记录，边更新，降低一维
1 void LCIS() 2 { 3 for(int i=1;i<=n;i++) 4 { 5 int maxx=0; 6 for(int j=1;j<=n;j++) 7 { 8 dp[i][j]=dp[i-1][j]; 9 if(a[i]>b[j]) 10 maxx=max(maxx,dp[i-1][j]); 11 if(a[i]==b[j]) 12 dp[i][j]=maxx+1; 13 } 14 } 15 int ans=0; 16 for(int i=1;i<=n;i++) 17 ans=max(ans,dp[n][i]); 18 return ans; 19 }
