关于树状数组的小总结（树状数组）
该博客借鉴大佬博客理论内容：https://www.cnblogs.com/xenny/p/9739600.html
1.什么是树状数组？
顾名思义，就是用数组来模拟树形结构呗。那么衍生出一个问题，为什么不直接建树？答案是没必要，因为树状数组能处理的问题就没必要建树。和Trie树的构造方式有类似之处。
2.树状数组可以解决什么问题
可以解决大部分基于区间上的更新以及求和问题。
3.树状数组和线段树的区别在哪里
树状数组可以解决的问题都可以用线段树解决，这两者的区别在哪里呢？树状数组的系数要少很多，就比如字符串模拟大数可以解决大数问题，也可以解决1+1的问题，但没人会在1+1的问题上用大数模拟。
4.树状数组的优点和缺点
修改和查询的复杂度都是O(logN)，而且相比线段树系数要少很多，比传统数组要快，而且容易写。
缺点是遇到复杂的区间问题还是不能解决，功能还是有限。
一、树状数组介绍
二叉树大家一定都知道，如下图
如果每个父亲都存的是两个儿子的值，是不是就可以解决这类区间问题了呢。是的没错，但是这样的树形结构，叫做线段树。
那真的的树形结构是怎样的，和上图类似，但省去了一些节点，以达到用数组建树。
黑色数组代表原来的数组（下面用A[i]代替），红色结构代表我们的树状数组(下面用C[i]代替)，发现没有，每个位置只有一个方框，令每个位置存的就是子节点的值的和，则有
- C[1] = A[1];
- C[2] = A[1] + A[2];
- C[3] = A[3];
- C[4] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4];
- C[5] = A[5];
- C[6] = A[5] + A[6];
- C[7] = A[7];
- C[8] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4] + A[5] + A[6] + A[7] + A[8];
可以发现，这颗树是有规律的
C[i] = A[i - 2k+1] + A[i - 2k+2] + ... + A[i]; //k为i的二进制中从最低位到高位连续零的长度
例如i = 8(1000)时候，k = 3，可自行验证。
这个怎么实现求和呢，比如我们要找前7项和，那么应该是SUM = C[7] + C[6] + C[4];
而根据上面的式子，容易的出SUMi = C[i] + C[i-2k1] + C[(i - 2k1) - 2k2] + .....；
其实树状数组就是一个二进制上面的应用。
现在新的问题来了2^k该怎么求呢，不难得出2^k = i&(i^(i-1));但这个还是不好求出呀，前辈的智慧就出来了，2^k = i&(-i);
为什么呢？
这里利用的负数的存储特性，负数是以补码存储的，对于整数运算 x&(-x)有
● 当x为0时，即 0 & 0，结果为0；
●当x为奇数时，最后一个比特位为1，取反加1没有进位，故x和-x除最后一位外前面的位正好相反，按位与结果为0。结果为1。
●当x为偶数，且为2的m次方时，x的二进制表示中只有一位是1（从右往左的第m+1位），其右边有m位0，故x取反加1后，从右到左第有m个0，第m+1位及其左边全是1。这样，x& (-x) 得到的就是x。
●当x为偶数，却不为2的m次方的形式时，可以写作x= y * (2^k)。其中，y的最低位为1。实际上就是把x用一个奇数左移k位来表示。这时，x的二进制表示最右边有k个0，从右往左第k+1位为1。当对x取反时，最右边的k位0变成1，第k+1位变为0；再加1，最右边的k位就又变成了0，第k+1位因为进位的关系变成了1。左边的位因为没有进位，正好和x原来对应的位上的值相反。二者按位与，得到：第k+1位上为1，左边右边都为0。结果为2^k。
总结一下：x&(-x)，当x为0时结果为0；x为奇数时，结果为1；x为偶数时，结果为x中2的最大次方的因子。
而且这个有一个专门的称呼，叫做lowbit，即取2^k。
二、如何建立树状数组
上面已经解释了如何用树状数组求区间和，那么如果我们要更新某一个点的值呢，还是一样的，上面说了C[i] = A[i - 2k+1] + A[i - 2k+2] + ... + A[i]，那么如果我们更新某个A[i]的值，则会影响到所有包含有A[i]位置。如果求A[i]包含哪些位置里呢，同理有
A[i] 包含于 C[i + 2k]、C[(i + 2k) + 2k]...；
好，现在已经搞清楚了更新和求和，就可以来建树状数组了。如果上面的求和、更新或者lowbit步骤还没搞懂的化，建议再思考弄懂再往下看。
那么构造一个树状数组则为
1 int n; 2 int a[1005],c[1005]; //对应原数组和树状数组 3 4 int lowbit(int x){ 5 return x&(-x); 6 } 7 8 void updata(int i,int k){ //在i位置加上k 9 while(i <= n){ 10 c[i] += k; 11 i += lowbit(i); 12 } 13 } 14 15 int getsum(int i){ //求A[1 - i]的和 16 int res = 0; 17 while(i > 0){ 18 res += c[i]; 19 i -= lowbit(i); 20 } 21 return res; 22 }
三、树状数组的实际应用
1.单点修改，区间查询
题目：hdu-1166 敌兵布阵
题意：有n个敌军军营，需要及时的了解到各个军营中的敌军数目，有增（点），减（点），查询（区间）三种操作。
ac代码：
1 //from:Onion 2 //hdu 1166 树状数组 单点更新区间查询 3 #include<iostream> 4 #include<cstring> 5 #include<cstdio> 6 #include<algorithm> 7 #include<cmath> 8 using namespace std; 9 typedef long long ll; 10 11 const int maxn=1e5+10; 12 int a[maxn],c[maxn]; 13 int n; 14 int lowbit(int x) 15 { 16 return x&-x; 17 } 18 void update(int x,int val) 19 { 20 while(x<=n) 21 { 22 c[x]+=val; 23 x+=lowbit(x); 24 } 25 } 26 int query(int x) 27 { 28 int res=0; 29 while(x>0) 30 { 31 res+=c[x]; 32 x-=lowbit(x); 33 } 34 return res; 35 } 36 int main() 37 { 38 int t; 39 scanf("%d",&t); 40 int kase=0; 41 while(t--) 42 { 43 scanf("%d",&n); 44 memset(a,0,sizeof(a)); 45 memset(c,0,sizeof(c)); 46 for(int i=1;i<=n;i++) 47 { 48 scanf("%d",&a[i]); 49 update(i,a[i]); 50 } 51 printf("Case %d:\n",++kase); 52 char op[10]; 53 while(1) 54 { 55 scanf("%s",&op); 56 if(strcmp(op,"End")==0) 57 break; 58 if(op[0]=='Q') 59 { 60 int x,y; 61 scanf("%d%d",&x,&y); 62 printf("%d\n",query(y)-query(x-1)); 63 } 64 else if(op[0]=='A') 65 { 66 int x,y; 67 scanf("%d%d",&x,&y); 68 update(x,y); 69 } 70 else if(op[0]=='S') 71 { 72 int x,y; 73 scanf("%d%d",&x,&y); 74 update(x,-y); 75 } 76 } 77 } 78 }
2.区间修改，单点查询
如果题目是让你把x-y区间内的所有值全部加上k或者减去k，然后查询操作是问某个点的值，这种时候该怎么做呢。如果是像上面的树状数组来说，就必须把x-y区间内每个值都更新，这样的复杂度肯定是不行的，这个时候，就不能再用数据的值建树了，这里我们引入差分，利用差分建树。
假设我们规定A[0] = 0;
则有 A[i] = Σij = 1D[j];(D[j] = A[j] - A[j-1])，即前面i项的差值和，这个有什么用呢？例如对于下面这个数组
- A[] = 1 2 3 5 6 9
- D[] = 1 1 1 2 1 3
如果我们把[2,5]区间内值加上2，则变成了
- A[] = 1 4 5 7 8 9
- D[] = 1 3 1 2 1 1
发现了没有，当某个区间[x,y]值改变了，区间内的差值是不变的，只有D[x]和D[y+1]的值发生改变，至于为什么我想我就不用解释了吧。
所以我们就可以利用这个性质对D[]数组建立树状数组
题目：洛谷3368 【模板】树状数组2
题意：已知一个数列，你需要进行下面两种操作：1.将某区间每一个数数加上x，2.求出某一个数的值
ac代码：
1 //from:Onion 2 //洛谷3368 树状数组-区间修改单点查询 3 #include<iostream> 4 #include<cstring> 5 #include<cstdio> 6 #include<algorithm> 7 #include<cmath> 8 using namespace std; 9 typedef long long ll; 10 11 const int maxn=1e6+10; 12 int a[maxn],c[maxn]; 13 int n,m; 14 int lowbit(int x) 15 { 16 return x&-x; 17 } 18 void update(int x,int val) 19 { 20 while(x<=n) 21 { 22 c[x]+=val; 23 x+=lowbit(x); 24 } 25 } 26 int query(int x) 27 { 28 int res=0; 29 while(x>0) 30 { 31 res+=c[x]; 32 x-=lowbit(x); 33 } 34 return res; 35 } 36 37 38 int main() 39 { 40 scanf("%d%d",&n,&m); 41 a[0]=0; 42 for(int i=1;i<=n;i++) 43 { 44 scanf("%d",&a[i]); 45 update(i,a[i]-a[i-1]); 46 } 47 int op,x,y,k; 48 while(m--) 49 { 50 scanf("%d",&op); 51 if(op==1) 52 { 53 scanf("%d%d%d",&x,&y,&k); 54 update(x,k);//A[x]-A[x-1]增加k 55 update(y+1,-k);//A[y+1]-A[y]减少k 56 } 57 else if(op==2) 58 { 59 scanf("%d",&x); 60 printf("%d\n",query(x)); 61 } 62 } 63 }
3.区间修改，区间查询
上面我们说的差值建树状数组，得到的是某个点的值，那如果我既要区间更新，又要区间查询怎么办。这里我们还是利用差分，由上面可知
∑ni = 1A[i] = ∑ni = 1 ∑ij = 1D[j];
则A[1]+A[2]+...+A[n]
= (D[1]) + (D[1]+D[2]) + ... + (D[1]+D[2]+...+D[n])
= n*D[1] + (n-1)*D[2] +... +D[n]
= n * (D[1]+D[2]+...+D[n]) - (0*D[1]+1*D[2]+...+(n-1)*D[n])
所以上式可以变为∑ni = 1A[i] = n*∑ni = 1D[i] - ∑ni = 1( D[i]*(i-1) );
如果你理解前面的都比较轻松的话，这里也就知道要干嘛了，维护两个数状数组，sum1[i] = D[i]，sum2[i] = D[i]*(i-1);
题目：poj 3468 A Simple Problem with Integers
题意：给定序列，有两种操作，修改某段区间（整体加减值），或者查询某段区间
ac代码：
1 //from:Onion 2 //poj 3468 树状数组 区间修改区间查询 3 #include<iostream> 4 #include<cstring> 5 #include<cstdio> 6 #include<algorithm> 7 #include<cmath> 8 using namespace std; 9 typedef long long ll; 10 11 const int maxn=1e5+1000; 12 ll a[maxn]; 13 ll c1[maxn]; 14 ll c2[maxn]; 15 int n,m; 16 int lowbit(int x) 17 { 18 return x&-x; 19 } 20 void update(int x,ll val) 21 { 22 int i=x; 23 while(i<=n) 24 { 25 c1[i]+=val; 26 c2[i]+=(x-1)*val; 27 i+=lowbit(i); 28 } 29 } 30 ll query(int x) 31 { 32 int i=x; 33 ll res=0; 34 while(i>0) 35 { 36 res+=x*c1[i]-c2[i]; 37 i-=lowbit(i); 38 } 39 return res; 40 } 41 int main() 42 { 43 scanf("%d%d",&n,&m); 44 a[0]=0; 45 for(int i=1;i<=n;i++) 46 { 47 scanf("%lld",&a[i]); 48 update(i,a[i]-a[i-1]); 49 } 50 char op[5]; 51 int x,y,k; 52 while(m--) 53 { 54 scanf("%s",&op); 55 if(op[0]=='Q') 56 { 57 scanf("%d%d",&x,&y); 58 printf("%lld\n",query(y)-query(x-1)); 59 } 60 else if(op[0]=='C') 61 { 62 scanf("%d%d%d",&x,&y,&k); 63 update(x,k); 64 update(y+1,-k); 65 } 66 } 67 }
