【赛前复习】概率期望
前言
不会不会，脑子残废。
我就是废物一个……
学习博客
讲的挺好的，虽然还是有一丢丢没懂（我就是个屑）
还有推荐的博客吗，给个链接呗。
【疯狂眨眼】
简单介绍
概率就是概率，还能怎么解释？
期望嘛， 通俗的讲，就是……结果乘以其概率。（但是中间有很多需要注意的点）
题目练习
因为我菜，所以题目都很简单。。
大佬别看了，对没错，说的就是你！
快点最上面的那个 × 。
欸，快点啊，拜拜ヾ(•ω•`)o
Bovine Bones G
我是真的没怎么理解这玩意儿怎么用期望搞，暴力循环不香嘛。
蹲个大佬讲解一下。
好的，下一个。
优惠券 Coupons
每张彩票上有一个漂亮图案，图案一共n种，如果你集齐了这n种图案就可以召唤神龙兑换大奖。
现在请问，在理想（平均）情况下，你买多少张彩票才能获得大奖的？
n \(\leq\) 33
设 已获得的种类数为 x，又拿了 a 次才拿到新的种类；
这样可以推出 概率， 继而搞到 期望。
反正推狮子推过去推过来的，就得到了一个很妙的狮子。
我懒，不打了，看挂的那篇博客吧。
以前做的，至今仍然记得输出极其恶心！
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 1e3 + 5;
int t,n,a[N],b[N],c[N];
int gcd(int a,int b) {
return !b ? a : gcd(b,a % b);
}
int cnt(int x) {
int res = 0;
while(x) {
res ++;
x /= 10;
}
return res;
}
signed main() {
while(~scanf("%lld",&n)) {
a[n] = 0;
b[n] = 1;
c[n] = 0;
for(int i = n - 1; i >= 0; i --) {
c[i] = c[i + 1] + n / (n - i);
int tmp = n % (n - i);
int gcda = gcd(b[i + 1], n - i);
b[i] = b[i + 1] / gcda * (n - i);
a[i] = a[i + 1] * (n - i) / gcda + tmp * b[i + 1] / gcda;
gcda = gcd(a[i],b[i]);
a[i] /= gcda;
b[i] /= gcda;
c[i] += a[i] / b[i];
a[i] %= b[i];
}
if(!a[0]) {
printf("%lld\n",c[0]);
continue;
}
int x = cnt(c[0]);
for(int i = 1; i <= x + 1; i ++) printf(" ");
printf("%lld\n",a[0]);
printf("%lld ",c[0]);
int y = cnt(max(a[0],b[0]));
for(int i = 1; i <= y; i ++) printf("-");
printf("\n");
for(int i = 1; i <= x + 1; i ++) printf(" ");
printf("%lld\n",b[0]);
}
return 0;
}
OSU!
给定一个01串，在这个串中连续的 \(X\)个\(1\)可以贡献\(X^3\) 的分数
给出n次操作的成功率 p[i]，求期望分数。
DP
令 f[i] 表示 前 i 位总的期望， p[i] 为 第 i 位为 1 的概率。
顺着 DP 过来就好了，
关于 3 次方的处理，就多维护一个 2 次 和 1 次的数组a[]、b[]，推一推狮子。
\[f[i] = (f[i - 1] + 3 × b[i − 1] + 3 × a[i − 1] + 1) × p[i] + f[i−1] × (1 − p[i])
\]
因为求的是总的期望嘛，所以还要加上 后面那一坨 当第 i 位没有取到 1 时的贡献。
狮子还挺好推的。
关于次方的处理就很模板化了。
代码也是以前打的，好像跟讲的不大一样，先不管了。
等我周末回家了补（老鸽子人了）
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 5;
int t,n;
double dp[N][4],a[N],ans;
int main() {
scanf("%d",&n);
for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%lf",&a[i]);
for(int i = 1; i <= n; i ++) {
dp[i][1] = a[i] * (dp[i - 1][1] + 1);
dp[i][2] = a[i] * (dp[i - 1][2] + 2 * dp[i - 1][1] + 1);
dp[i][3] = a[i] * (dp[i - 1][3] + 3 * dp[i - 1][2] + 3 * dp[i - 1][1] + 1);
ans += (1 - a[i + 1]) * dp[i][3];
}
printf("%.1lf\n",ans);
return 0;
}
收集邮票
n个数1~n，第k次取数需要k元，每次取数对于所有数概率均等（\(\frac{1}{n}\) ）,问取完n个数的期望花费
怎么办，我不想写了。
那就不写了吧，
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 1e4 + 5;
int n;
double p,ans[MAXN],sum[MAXN];
int main() {
scanf("%d",&n);
for(int i = 1; i <= n; i ++) {
ans[i] = ans[i - 1] + 1.0 * n / (n - i + 1);
sum[i] = sum[i - 1] + ans[i] * 1.0 * n / (n - i + 1);
}
printf("%.2lf",sum[n]);
return 0;
}
跳过，下一个。
游走
有一个 nn 个点， mm 条边的有向无环图，随机选择一条路径，求路径的期望长度。
这道题让我深刻明白了 期望其实不一定要把概率算出来。
有些题目可以直接用 最终答案 / 总方案数
方案数和总长度的计算，就是简单的图上 点权 和 边权的统计。
所以啊，看我做题时候写的思路，我就是个屑！
/*
题目：B 城可以看作一个有 n个点 m条边的有向无环图。可能存在重边。
zbw 在 B城随机游走，他会随机选择一条路径，选择所有路径的概率相等。路径的起点和终点可以相同。
定义一条路径的长度为经过的边数，你需要求出 zbw 走的路径长度的期望，答案对 998244353取模。
思路：
遍历一遍图，类似于传递？但是我不知道怎么搞概率……
有向无环图啊……
建立源点和汇点（逐渐跑偏），加上边权， 然后开搞？
概率？？？？？？算寂寞啊
az， 期望不是只能通过概率算……，我是憨批。
可以最后处理。
好的，我萎了。
*/
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 1e5 + 5, M = 7e5 + 5, mod = 998244353;
int n, m, tot, head[N], to[M], nex[M], ans, cnt;
void add(int x, int y) {
to[++tot] = y, nex[tot] = head[x], head[x] = tot;
}
int sum[N], siz[N];
void dfs(int x) {
int ver;
if(siz[x]) return;
siz[x] = 1;
for(int i = head[x]; i; i = nex[i]) {
ver = to[i];
dfs(ver);
siz[x] = (siz[x] + siz[ver]) % mod;
sum[x] = (sum[x] + sum[ver] + siz[ver]) % mod;
}
}
int qpow(int a, int b) {
int res = 1;
while(b) {
if(b & 1) res = res * a % mod;
b >>= 1, a = a * a % mod;
}
return res;
}
signed main() {
scanf("%lld %lld", &n, &m);
int u, v;
for(int i = 1; i <= m; i ++) {
scanf("%lld %lld", &u, &v);
add(u, v);
}
for(int i = 1; i <= n; i ++) {
if(!siz[i]) dfs(i);
}
for(int i = 1; i <= n; i ++) {
ans = (ans + sum[i]) % mod;
cnt = (cnt + siz[i]) % mod;
}
ans = ans * qpow(cnt, mod - 2) % mod;
printf("%lld", ans);
return 0;
}
换教室
你有 ≤m 次换课机会从班级c[i] 转换到班级 d[i]，但是只有 k% 的概率能够成功转换，最终代价就是依次从第一个教室到最后一个教室的最短路径。问你期望总和最小是多少？
好题。妙啊
就是读题需要点耐心。虽然我看到长题面就很暴躁
dp 的状态定义挺常见的，
dp[i][j][0/1] 表示 前 i 节课 一共申请改变了 j 节， 第 i 节 申请/没申请 的期望代价
每次算贡献时，都要把前一个概率和当前概率带进去。因为是期望嘛。
体力值直接算。
然后就是喜闻乐见的推狮子了
就是要注意最短路的循环， k 是放在外面的。（不要问我是怎么知道的！）
/*
妙啊~
dp[i][j][0/1] 表示 前 i 节课 改变了 j 节， 第 i 节 改/没改 的期望
体力值直接算。
然后就是喜闻乐见的推狮子了
*/
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 2005;
int n, m, v, e, c[N], d[N], dis[305][305];
double dp[N][N][2], ans = 1e9, K[N];
int main() {
scanf("%d %d %d %d", &n, &m, &v, &e);
for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &c[i]);
for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &d[i]);
for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%lf", &K[i]);
memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
for(int i = 0; i <= n; i ++) {
for(int j = 0; j <= m; j ++) dp[i][j][0] = dp[i][j][1] = 1e9;
}
for(int i = 1; i <= v; i ++) dis[i][i] = dis[0][i] = dis[i][0] = 0;
int uu, vv, ww;
while(e --) {
scanf("%d %d %d", &uu, &vv, &ww);
dis[uu][vv] = dis[vv][uu] = min(ww, dis[vv][uu]);
}
for(int k = 1; k <= v; k ++) {
for(int i = 1; i <= v; i ++) {
for(int j = 1; j <= v; j ++) {
dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]);
}
}
}
dp[1][0][0] = dp[1][1][1] = 0;
for(int i = 2; i <= n; i ++) {
dp[i][0][0] = dp[i - 1][0][0] + dis[c[i - 1]][c[i]];
for(int j = 1; j <= min(i, m); j ++) {
dp[i][j][0] = min(dp[i][j][0], min(dp[i - 1][j][0] + dis[c[i - 1]][c[i]], dp[i - 1][j][1] + dis[d[i - 1]][c[i]] * K[i - 1] + dis[c[i - 1]][c[i]] * (1 - K[i - 1])));
dp[i][j][1] = min(dp[i][j][1], dp[i - 1][j - 1][0] + dis[c[i - 1]][c[i]] * (1 - K[i]) + dis[c[i - 1]][d[i]] * K[i]);
dp[i][j][1] = min(dp[i][j][1], dp[i - 1][j - 1][1] + dis[d[i - 1]][c[i]] * K[i - 1] * (1 - K[i]) + dis[c[i - 1]][c[i]] * (1 - K[i - 1]) * (1 - K[i]) + dis[d[i - 1]][d[i]] * K[i - 1] * K[i] + dis[c[i - 1]][d[i]] * (1 - K[i - 1]) * K[i]);
}
}
for(int i = 0; i <= m; i ++) ans = min(ans, min(dp[n][i][0], dp[n][i][1]));
printf("%.2lf", ans);
return 0;
}
配对
笑死了，这道题目告诉我们，不要轻易相信洛谷的标签。
因为这道题——根！本！不！是！期！望！！！！1
注意如果你的极大值可能会爆 int ，所以开 long long 吧。
/*
我是真没看出来哪里期望了。
可能是我太菜了吧
辣鸡标签，根本不是期望！！！！
贪心 + dp就好了
先从小到大排序，dp[i] 表示前 i 个匹配的最小绝对值
dp[i] 可由 dp[i - 2] 和 dp[i - 3] 转移过来
*/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 1e5 + 5;
int n, a[N], b[N], dp[N];
int num(int x, int y) {
if(a[x] == b[y]) return 1e9;
return a[x] < b[y] ? b[y] - a[x] : a[x] - b[y];
}
signed main() {
scanf("%lld", &n);
for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%lld %lld", &a[i], &b[i]);
if(n == 1 && a[1] == b[1]) {
puts("-1");
return 0;
}
sort(a + 1, a + 1 + n), sort(b + 1, b + 1 + n);
dp[1] = num(1, 1);
dp[2] = min(num(1, 1) + num(2, 2), num(1, 2) + num(2, 1));
for(int i = 3; i <= n; i ++) {
dp[i] = dp[i - 1] + num(i, i);
dp[i] = min(dp[i], dp[i - 2] + num(i - 1, i) + num(i, i - 1));
dp[i] = min(dp[i], dp[i - 3] + num(i - 2, i) + num(i - 1, i - 1) + num(i, i - 2));
dp[i] = min(dp[i], dp[i - 3] + num(i - 2, i - 1) + num(i - 1, i) + num(i, i - 2));
dp[i] = min(dp[i], dp[i - 3] + num(i - 2, i) + num(i - 1, i - 2) + num(i, i - 1));
}
printf("%lld", dp[n]);
return 0;
}
