【AtCoder】Small Multiple

Des

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求k的所有倍数中，各个数字和最小的那一个是多少。

Sol

emmm……很巧妙的一道题

建图方法特别有意思=￣ω￣=

首先，考虑暴力（一个一个枚举倍数，找最小值）肯定不现实，

那，还能从哪些方面入手呢？

• 数位？
• 余数？

观察数据范围，八九不离十了

让我们尝试一下下

那怎么用余数和数位跟倍数扯上关系呢？

可以想到，数 \(x\) 的倍数模上 \(x\) 的余数是 \(0\)，我们就可以用这个性质来胡乱搞一发。。

呐，令 \(dis[i]\) 为 模 \(k\) 余 \(i\) 的数 的最小数字和。

那么，我们就只用考虑在他后面添数字 0~9，

假设我们当前状态为 \(x\)， 添加的数字为 \(i\)， 则添加后的表示显然为 \(y = (x * 10 + i) % k\)

\[dis[y] = min(dis[x] + i) \]

其实就是跑一个最短路。。。

初始条件就是，把所有 \(dis\) 赋成最大值，然后 \(dis[i] = i(1 \le i \le 9)\) —— 只有一位数字时的情况。

然后就最短路模板直接来

很明显，答案就是 \(dis[0]\)

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue> 
using namespace std;
const int N = 1e5 + 5;
int dis[N], k;
bool vis[N];

void bfs() {
	queue<int> q;
	memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
	for(int i = 1; i <= 9; i ++) q.push(i), dis[i] = i, vis[i] = 1;
	int now, ver;
	while(!q.empty()) {
		now = q.front(), q.pop(), vis[now] = 0;
		for(int i = 0; i <= 9; i ++) {
			ver = (now * 10 + i) % k;
			if(dis[ver] > dis[now] + i) {
				dis[ver] = dis[now] + i;
				if(!vis[ver]) q.push(ver), vis[ver] = 1; 
			}
		}
	}
}

int main() {
	
	scanf("%d", &k);
	bfs();
	printf("%d\n", dis[0]);
	return 0;
}