CF16E Fish

Fish

题意简述：有 \(n\) 条鱼，编号从 \(1\) 到 \(n\)。每对鱼相遇的概率是一样的。如果两条标号为 \(i\) 和 \(j\) 的鱼见面，第一只吃了第二只的概率为 \(p[i][j]\)，则第二只吃掉第一只的概率为 \(1 - p[i][j]\)。求每只鱼最后存活在湖里的可能性。

思路：

概率 + 状压 \(dp\)

先看题目范围，明显状压，因为题目求每只鱼最后存活的状态，所以把鱼的存活状态压进状态里，因此定义 \(dp[i]\) 为出现 \(i\) 的局面时的概率（第 \(i\) 位为 \(0\) 表示第 \(i\) 条鱼死亡，反之为存活）

• 因为顺序递推会因为概率的不确定因素影响结果，所以考虑逆推。

• 先枚举整体状态 \(i\)，在确定该轮被吃的鱼的编号 \(j\)，判断是否满足已经被吃的条件(即状态中第 \(j\) 位为 \(0\))

• 满足上条件后，再枚举吃掉 \(j\) 的鱼的编号 \(k\)，判断是否满足依然存在的条件（即状态中第 \(k\) 位为 \(1\)）

因为任意两条鱼之间的存活概率已经得知，然后任意在存活中的鱼里选择两条鱼的概率为 $(cnt +１) * cnt / 2 \(。(\)cnt$ 为 \(i\) 状态下 \(1\) 的数量)，因为是倒退，所以前一状态下，鱼 \(j\) 是活着的，因此实在 \(cnt + 1\) 条雨中选两条鱼。

就可以得出递推式，\(i\) 状态的概率加（即前一状态的概率） \(*\) （\(k\) 吃掉 \(j\) 的概率）\(*\) (选出 \(j\)、\(k\) 的概率)

所以：

\[ dp[i] += dp[i | (1 << (j - 1))] * p[k][j] / (1.0 * (cnt + 1) * cnt / 2.0); \]

其他讲解都在代码里啦~

完整代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n;
double p[25][25],dp[1 << 20];//dp[i],出现i状态的概率（1:这条鱼活着/0:它被吃啦） 
int c(int x) {//计算1的个数 
	int res = 0;
	while(x) {
		res += (x & 1);
		x >>= 1;
	}
	return res;
}
int main() {
	scanf("%d",&n);
	for(int i = 1; i <= n; i ++)
		for(int j = 1; j <= n; j ++)
			scanf("%lf",&p[i][j]);
	int num = (1 << n) - 1;
	dp[num] = 1;//初始状态，全部鱼都活着的概率为1
	for(int i = num - 1; i; i --) {//倒序枚举状态，鱼越吃越少，1的数量也越来越少……这残忍的现实！ 
		int cnt = c(i);//活着的鱼的数量 
		for(int j = 1; j <= n; j ++) {//枚举这一轮被吃到的鱼的序号 
			if((i & (1 << (j - 1)))) continue;//如果在当前状态下，j为1（鱼没有被吃了），跳过
			for(int k = 1; k <= n; k ++) {//枚举k条鱼吃掉的鱼的编号 
				if(!(i & (1 << (k - 1)))) continue;//如果在当前状态下，k为0（鱼已经被吃了,k吃不到j），跳过
				dp[i] += dp[i | (1 << (j - 1))] * p[k][j] / (1.0 * (cnt + 1) * cnt / 2.0);
				//否则，概率为 当前概率 加上 j位存活时的概率 * k条鱼吃掉j条鱼的概率 * 在所有活着的鱼中恰好选到j,k的概率。 
			}
		}
	}
	for(int i = 0; i < n; i ++) printf("%.6lf ",dp[1 << i]);//只有当前位为1的状态 
	return 0;
}