CF16E Fish
题意简述:有 \(n\) 条鱼,编号从 \(1\) 到 \(n\)。每对鱼相遇的概率是一样的。如果两条标号为 \(i\) 和 \(j\) 的鱼见面,第一只吃了第二只的概率为 \(p[i][j]\),则第二只吃掉第一只的概率为 \(1 - p[i][j]\)。求每只鱼最后存活在湖里的可能性。
思路:
概率 + 状压 \(dp\)
先看题目范围,明显状压,因为题目求每只鱼最后存活的状态,所以把鱼的存活状态压进状态里,因此定义 \(dp[i]\) 为出现 \(i\) 的局面时的概率(第 \(i\) 位为 \(0\) 表示第 \(i\) 条鱼死亡,反之为存活)
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因为顺序递推会因为概率的不确定因素影响结果,所以考虑逆推。
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先枚举整体状态 \(i\),在确定该轮被吃的鱼的编号 \(j\),判断是否满足已经被吃的条件(即状态中第 \(j\) 位为 \(0\))
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满足上条件后,再枚举吃掉 \(j\) 的鱼的编号 \(k\),判断是否满足依然存在的条件(即状态中第 \(k\) 位为 \(1\))
因为任意两条鱼之间的存活概率已经得知,然后任意在存活中的鱼里选择两条鱼的概率为 $(cnt +1) * cnt / 2 \(。(\)cnt$ 为 \(i\) 状态下 \(1\) 的数量),因为是倒退,所以前一状态下,鱼 \(j\) 是活着的,因此实在 \(cnt + 1\) 条雨中选两条鱼。
就可以得出递推式,\(i\) 状态的概率加(即前一状态的概率) \(*\) (\(k\) 吃掉 \(j\) 的概率)\(*\) (选出 \(j\)、\(k\) 的概率)
所以:
\[
dp[i] += dp[i | (1 << (j - 1))] * p[k][j] / (1.0 * (cnt + 1) * cnt / 2.0);
\]
其他讲解都在代码里啦~
完整代码:
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n;
double p[25][25],dp[1 << 20];//dp[i],出现i状态的概率(1:这条鱼活着/0:它被吃啦)
int c(int x) {//计算1的个数
int res = 0;
while(x) {
res += (x & 1);
x >>= 1;
}
return res;
}
int main() {
scanf("%d",&n);
for(int i = 1; i <= n; i ++)
for(int j = 1; j <= n; j ++)
scanf("%lf",&p[i][j]);
int num = (1 << n) - 1;
dp[num] = 1;//初始状态,全部鱼都活着的概率为1
for(int i = num - 1; i; i --) {//倒序枚举状态,鱼越吃越少,1的数量也越来越少……这残忍的现实!
int cnt = c(i);//活着的鱼的数量
for(int j = 1; j <= n; j ++) {//枚举这一轮被吃到的鱼的序号
if((i & (1 << (j - 1)))) continue;//如果在当前状态下,j为1(鱼没有被吃了),跳过
for(int k = 1; k <= n; k ++) {//枚举k条鱼吃掉的鱼的编号
if(!(i & (1 << (k - 1)))) continue;//如果在当前状态下,k为0(鱼已经被吃了,k吃不到j),跳过
dp[i] += dp[i | (1 << (j - 1))] * p[k][j] / (1.0 * (cnt + 1) * cnt / 2.0);
//否则,概率为 当前概率 加上 j位存活时的概率 * k条鱼吃掉j条鱼的概率 * 在所有活着的鱼中恰好选到j,k的概率。
}
}
}
for(int i = 0; i < n; i ++) printf("%.6lf ",dp[1 << i]);//只有当前位为1的状态
return 0;
}