OI 知识点整理（超详细的！！！）

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 5e5 + 5;
int n,m,t,flag;
int ans[N],head[N],son[N],w[N],dep[N],size[N],check[N],l[N],r[N];
char s[N];
struct query {
	int deep,id;
};
vector<int> G[N];//存边 
vector<query> q[N];//询问 
void add_p(int x) {
	int y = s[x] - 'a';
	check[dep[x]] ^= (1 << y);//利用位运算的特点 
}
void add_tree(int x) {
	for(int i = l[x]; i <= r[x]; i ++) add_p(w[i]);//处理以x为根的子树 
}
void dfs(int x,int d) {
	size[x] = 1;
	dep[x] = d;
	l[x] = ++t;//记录子树起点 
	w[t] = x;//记录dfs序 
	for(int i = 0; i < G[x].size(); i ++) {
		int k = G[x][i];
		dfs(k,d + 1);
		size[x] += size[k];//子树个数 
		if(size[son[x]] < size[k]) son[x] = k;//重儿子处理 
	}
	r[x] = t;//子树终点 
}
void dfs2(int x) {
	for(int j = 0; j < G[x].size(); j ++) {
		int k = G[x][j];
		if(k == son[x]) continue;
		dfs2(k);//轻儿子处理 
		add_tree(k);//增加一次 
	}
	if(son[x]) dfs2(son[x]);//重儿子 
	for(int j = 0; j < G[x].size(); j ++) {
		int k = G[x][j];
		if(k == son[x]) continue;
		add_tree(k);//轻儿子的贡献清空 
	}
	add_p(x);//当前节点操作 
	for(int j = 0; j < q[x].size(); j ++) {//当前子树的查询 
		int h = check[q[x][j].deep];//深度 
		ans[q[x][j].id] = (h == (h & -h));//神奇的位运算qaq 
	}
}
int main() {
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(int i = 2; i <= n; i ++) {
		int u;
		scanf("%d",&u);
		G[u].push_back(i);
	}
	scanf("%s",s + 1);
	dfs(1,1);
	for(int i = 1; i <= m; i ++) {
		int h,v;
		scanf("%d %d",&h,&v);
		q[h].push_back((query){v,i});//储存查询 
	}
	dfs2(1); 
	for(int i = 1; i <= m; i ++) {
		if(ans[i]) printf("Yes\n");
		else printf("No\n");
	}//输出结果 
	return 0;
}

左偏树

参考链接

线段树
树状数组
平衡树
树链剖分
字典树
KMP

三 . 数学

组合计数

参考链接

例题

集合计数

$Solution :$ 参考链接

$CODE$

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 1e6 + 5,MOD = 1e9 + 7;
int n,m,k,mul[N],inv[N],f[N],ans;
int qpow(int a,int b,int mod) {
	int res = 1ll;
	while(b) {
		if(b & 1) res = res * a % mod;
		a = a * a % mod;
		b >>= 1ll;
	}
	return res;
}
void init() {
	mul[0] = 1ll;
	for(int i = 1; i <= n; i ++) mul[i] = mul[i - 1] * i % MOD;
	inv[n] = qpow(mul[n],MOD - 2,MOD);
	for(int i = n; i >= 1; i --) inv[i - 1] = inv[i] * i % MOD;
	m = n - k;
}
int c(int a,int b) {
	if(a < b) return 0;
	if(a < MOD && b < MOD) return mul[a] * inv[b] % MOD * inv[a - b] % MOD;
	return c(a / MOD,b / MOD) * c(a % MOD,b % MOD) % MOD;
}
signed main() {
	scanf("%lld %lld",&n,&k);
	init();
	for(int i = 0; i <= m; i ++) {
		int tmp = qpow(2,m - i,MOD - 1);
		f[i] = (i & 1 ? -1ll : 1ll) * c(m,i) * (qpow(2,tmp,MOD) - 1) % MOD; 
		ans = (ans + f[i] + MOD) % MOD;
	}
	ans = ans * c(n,k) % MOD; 
	printf("%lld",ans); 
	return 0;
}

博弈论

参考链接

链接

SG函数 & nim函数

参考链接

期望

参考链接

概率

参考链接

高斯消元

参考链接

容斥

参考链接

同余方程

$CODE$

#include<cstdio>
int a,b,tmp,x,y;
void gcd(int a,int b,int &x,int &y) {
	if(b==0) {
		x=1;
		y=0;
		return;
	}
	gcd(b,a%b,x,y);
	int tmp=x;
	x=y;
	y=tmp-a/b*y;
}
int main() {
	scanf("%d %d",&a,&b);
	gcd(a,b,x,y);
	printf("%d",(x%b+b)%b);
	return 0;
}

中国剩余定理

参考链接

CODE

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll tot,n,ans,m = 1,A[105],B[105],mi[105];
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) {
	if(b == 0) {x = 1, y = 0, return;}
	exgcd(b,a % b,x,y);
	int z = x;
	x = y, y = z - y * (a / b);
}
int main() {
	scanf("%lld",&n);
	for(int i = 1; i <= n; i ++) { scanf("%lld %lld",&A[i],&B[i]), m *= A[i];}
	for(int i = 1; i <= n; i ++) {
		mi[i] = m / A[i];
		ll x = 0, y = 0;
		exgcd(mi[i],A[i],x,y);
		ans += B[i] * mi[i] * (x < 0 ? x + A[i] : x);
	}
	printf("%lld",ans % m);
	return 0;
}

卢卡斯定理

参考链接

$CODE$

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 1e5 + 5;
int t,n,m,f[N],mod;
void init() {
	f[0] = 1;
	for(int i = 1; i <= mod; i ++) f[i] = f[i - 1] * i % mod;
}
int qpow(int a,int b) {
	a %= mod;
	int res = 1;
	while(b) {
		if(b & 1) res = res * a % mod;
		a = a * a % mod;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}
int c(int n,int m) {
	if(n < m) return 0;
	return f[n] * qpow(f[m],mod - 2) % mod * qpow(f[n - m],mod - 2) % mod;
}
int luc(int n,int m) {
	return !m ? 1 : luc(n / mod,m / mod) * c(n % mod,m % mod) % mod;
}
signed main() {
	scanf("%lld",&t);
	while(t--) {
		scanf("%lld %lld %lld",&n,&m,&mod);
		init();
		printf("%lld\n",luc(n + m,n));
	}
	return 0;
}

扩展欧几里得

参考链接

四 . DP

斜率优化

将与 $ i$, $j$ 都有关系的乘积项作为 $ kx$，

其中与 $i $ 有关的作为 $k$，与 $j$ 有关的作为 $x$

将只与$ j$有关系的值作为 $y$

其余的当做$ b$

例题

小P的牧场

$Solution :$ 斜率柿子要$dp[j]$和$dp[k]$之间大小比较，推成一元二次方程$y = kx + b$的形式，剩下的一般用优先队列维护。

$dp[i]$:前$i$个牧场的最小花费

$a[i]$:第$i$个牧场建立控制站的花费

$b[i]$:第$i$个牧场的放养量

$sum[i]$:前$i$个牧场$ dis[i] * b[i] $ 总和

$w[i] $: 前$i$个牧场的放养量之和

$
dp[i] = min{dp[j] - w[j] * i + sum[j]} + a[i] - sum[i] + w[i] * i; $

$dp[k] - w[k] * i + sum[k] <= dp[j] - w[j] * i + sum[j] $

$CODE$

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 1e6 + 5;
int n,q[N];
ll w[N],a[N],dp[N],sum[N];
ll x(int t) {return dp[t] + sum[t];}
ll y(int t) {return w[t];}
double k(int a,int b) {
	return 1.0 * (x(a) - x(b)) / (y(a) - y(b));
}
int main() {
	scanf("%d",&n);
	for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d",&a[i]);
	for(int i = 1; i <= n; i ++) {
		scanf("%d",&w[i]);
		sum[i] = sum[i - 1] + w[i] * i;
		w[i] += w[i - 1]; 
	}
	int l = 0,r = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i ++) {
		while(l < r && k(q[l + 1],q[l]) < i) l++;
		dp[i] = dp[q[l]] + i * (w[i] - w[q[l]]) - sum[i] + sum[q[l]] + a[i];
		while(l < r && k(q[r],q[r - 1]) > k(i,q[r]))  r --;
		q[++r] = i;
	}
  printf("%lld",dp[n]);
	return 0;
}

树形DP

题单推荐

例题

$Cow Exhibition G$

$Solution$ : 重点在于$dp$状态定义的转换，不能局限于传统的$(i,j)$定义，应适当转换。定义$dp[i,j]$ 为前$i$头奶牛，智商和为$j$时的最大情商和，将情商作为$dp$值，然后就是传统操作。还有一点要注意的就是因为智商存在负数情况，需要加上一个值使全部为正数，但是最后算答案是记得减去。

小优化：在输入时，如果有两样全为复数的，直接舍去（真是令人悲伤），不会对答案产生任何影响。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define rt register int
const int N = 405,M = 4e5;
int n,cnt,a[N],b[N],dp[2 * M + 5],mx,ans;
inline int MAX(int x,int y) {
	return x < y ? y : x;
}
inline void read(int &x) {
	x = 0; char s = getchar(); int f = 1;
	while(s < '0' || s > '9') {if(s == '-') f = -1; s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x = x * 10 + s - '0', s = getchar();}
	x *= f;
}
int main() {
	read(n);
	for(rt i = 1; i <= n; i ++) {
		read(a[++cnt]), read(b[cnt]);
		if(a[cnt] < 0 && b[cnt] < 0) cnt--;
		else mx = MAX(mx,mx + a[cnt]);
	}
	memset(dp,-0x3f,sizeof(dp));
	dp[M] = 0, mx += M;
	for(rt i = 1; i <= cnt; i ++) {
		if(a[i] >= 0) {
			for(rt j = mx; j >= a[i]; j --) dp[j] = MAX(dp[j],dp[j - a[i]] + b[i]);
		}
		else {
			for(rt j = 0; j <= mx + a[i]; j ++) dp[j] = MAX(dp[j],dp[j - a[i]] + b[i]);
		}
	}
	for(rt i = M; i <= mx; i ++) if(dp[i] >= 0) ans = MAX(ans,i + dp[i] - M);
	printf("%d",ans);
	return 0;
}