还零钱

题目描述

考虑仅用1分、5分、10分、25分和50分这5种硬币支付某一个给定的金额。例如需要支付11分钱，有一个1分和一个10分、一个1分和两个5分、六个1分和一个5分、十一个1分这4种方式。
请写一个程序，计算一个给定的金额有几种支付方式。
注：假定支付0元有1种方式。

输入描述:

输入包含多组数据。

每组数据包含一个正整数n（1≤n≤10000），即需要支付的金额。

输出描述:

对应每一组数据，输出一个正整数，表示替换方式的种数。

示例1

输入

复制

11
26

输出

复制

4
13

思路：使用动态规划来做，dp[i][j]表示前i种零钱换总金额为j的方法种数：
如果第i种货币参与换算，那么第i中货币可能有0个，1个，2个，3个...k个，dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-1*money[i]] + dp[i-1][j-2*money[i]] +...+ dp[i-1][j-k*money[i]],其中k*money[i] <= j
　　递归递推公式：
　　　　dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-1*money[i]] + dp[i-1][j-2*money[i]] +...+ dp[i-1][j-k*money[i]],其中k*money[i] <= j
　　那么,将j = j - money[i]进行替换，则
　　　　dp[i][j-money[i]] = dp[i-1][j-1*money[i]] + dp[i-1][j-2*money[i]] +...+ dp[i-1][j-k*money[i]],其中k*money[i] <= j
　　将上面两个等式进行合并，那么：
　　　　dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-money[i]]

如果第i种货币不参与换算，那么:
　　dp[i][j] = dp[i-1][j]

最后代码实现如下：

money=[1,5,10,25,50]
dp = []
def getCount(n):
    for i in xrange(5):
        dp.append((n+1)*[0])
        dp[i][0] = 1
    for i in xrange(n+1):
        dp[0][i] = 1
    for i in xrange(1,5):
        for j in xrange(1,n+1):
            if j < money[i]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-money[i]]
getCount(10000)
while True:
    n = int(raw_input())
    if n:
        print dp[4][n]
    else:
        break

优化：二维数组每次都是只用到了2个数，那么应该可以用一维数组进行优化，它的表示是：dp[i]：总金额为i的换零钱的方法数目。

dp[0] = 1,由题目意思可得

dp[i] = dp[i-money[0]] + dp[i-money[1]] + dp[i-money[2]] + dp[i-money[3]] + dp[i-money[4]],其中i >= money[j],j=0..4

意思是，第i种状态，由前面几种状态转化而来的，类似于跳台阶。

代码如下：

money=[1,5,10,25,50]
dp = [0] * 10001
dp[0] = 1
def getCount(n):
    for i in xrange(5):
        j = money[i]
        while j < n:
            dp[j] += dp[j-money[i]]
            j = j + 1
getCount(10001)
while True:
    try:
        n = int(raw_input())
        print dp[n]
    except:
        break