数学题【1】
题目描述
求\(A^B\)的所有约数之和\(mod\mbox{ 9901 } (1≤A,B≤5*10^7)\)
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输入
2 3
-
输出
15
题解
(1) 整数的唯一分解定理:
任意正整数都有且只有一种方式写出其素因子的乘积表达式。
\(A=(p1^{k1})*(p2^{k2})*(p3^{k3})*....*(pn^{kn})\)其中\(pi\)均为素数
(2) 约数和公式:
对于已经分解的整数\(A=(p1^{k1})*(p2^{k2})*(p3^{k3})*....*(pn^{kn})\)
有A的所有因子之和为
\[S = (1+p1+p1^2+...p1^{k1}) * (1+p2+p2^2+….p2^{k2}) * .... *$$ $$(1+pn+pn^2+pn^3+...pn^{kn})
\]
(3) 费马小定理求逆元:
$$a^{-1} \equiv a^{P-2} \mbox{ ( mod P ) }$$
(4) 求等比数列:
$$(1+p1+p12+...p1{Bk1})=\frac{p1^{Bk1+1}-1}{p1-1}$$
特别的,若 \(p1-1\) 是9901的倍数有 \(p1 \equiv 1 \mbox{ ( mod P ) }\)
所以有,
\[(1+p1+p1^2+...p1^{B*k1})\equiv B*k1+1\mbox{ ( mod P ) }
\]
code
#include <cstdio>
#include <cctype>
#define re register int
#define int long long
using namespace std;
inline void read(int &x){
x=0;char ch=getchar();
for(;!isdigit(ch);ch=getchar());
for(; isdigit(ch);ch=getchar())
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
}
const int N=300,P=9901;
int p[N],c[N],a,b,ans=1,t,inv[100000];
inline void get(){
inv[1]=1;
for(re i=2;i<100000;++i)
inv[i]=((P-P/i)*inv[P%i])%P;
}
inline int ksm(int x,int y){
int res=1;
for(;y;y>>=1,x=x*x%P)
if(y&1) (res*=x)%=P;
return res%P;
}
signed main(){
get();
while(scanf("%lld%lld",&a,&b)!=EOF){
t=0,ans=1;
for(re i=2;i*i<=a;++i)
if(a%i==0) {
p[++t]=i,c[t]=0;
while(a%i==0)
a/=i,++c[t];
}
if(a>1) p[++t]=a,c[t]=1;
for(re i=1;i<=t;++i){
if((p[i]-1)%P==0)
(ans*=(b*c[i]+1)%P)%=P;
//没有逆元时特判
else
(ans*=((ksm(p[i],c[i]*b+1)-1+P)*ksm(p[i]-1,P-2)%P))%=P;
//ksm(p[i],c[i]*b+1)-1+P ,记得取模减法后%P+P再%P,
//调这个用了1h+
}
printf("%lld\n",ans%P);
}
return 0;
}