数学题【1】

题目描述

求\(A^B\)的所有约数之和\(mod\mbox{ 9901 } (1≤A,B≤5*10^7)\)

• 输入

2 3

• 输出

15

题解

（1）  整数的唯一分解定理：

任意正整数都有且只有一种方式写出其素因子的乘积表达式。
     \(A=(p1^{k1})*(p2^{k2})*(p3^{k3})*....*(pn^{kn})\)其中\(pi\)均为素数

（2）   约数和公式：

对于已经分解的整数\(A=(p1^{k1})*(p2^{k2})*(p3^{k3})*....*(pn^{kn})\)

有A的所有因子之和为

\[S = (1+p1+p1^2+...p1^{k1}) * (1+p2+p2^2+….p2^{k2}) * .... *$$ $$(1+pn+pn^2+pn^3+...pn^{kn}) \]

（3）   费马小定理求逆元：
      $$a^{-1} \equiv a^{P-2} \mbox{ ( mod P ) }$$
（4）   求等比数列：
      $$(1+p1+p1^2+...p1{Bk1})=\frac{p1^{Bk1+1}-1}{p1-1}$$
      特别的，若 \(p1-1\) 是9901的倍数有 \(p1 \equiv 1 \mbox{ ( mod P ) }\)
      所以有，

\[(1+p1+p1^2+...p1^{B*k1})\equiv B*k1+1\mbox{ ( mod P ) } \]

code

#include <cstdio>
#include <cctype>
#define re register int
#define int long long
using namespace std;
inline void read(int &x){
 	x=0;char ch=getchar();
 	for(;!isdigit(ch);ch=getchar());
 	for(; isdigit(ch);ch=getchar())
		  x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
}
const int N=300,P=9901;
int p[N],c[N],a,b,ans=1,t,inv[100000];
inline void get(){
	inv[1]=1;
	for(re i=2;i<100000;++i)
		inv[i]=((P-P/i)*inv[P%i])%P;
}
inline int ksm(int x,int y){
	int res=1;
	for(;y;y>>=1,x=x*x%P) 
		if(y&1) (res*=x)%=P;
	return res%P;
}
signed main(){
	get();
	while(scanf("%lld%lld",&a,&b)!=EOF){
		t=0,ans=1;
		for(re i=2;i*i<=a;++i)
			if(a%i==0) {
				p[++t]=i,c[t]=0;
				while(a%i==0) 
					a/=i,++c[t];
			}
		if(a>1) p[++t]=a,c[t]=1;
		for(re i=1;i<=t;++i){
			if((p[i]-1)%P==0)
				(ans*=(b*c[i]+1)%P)%=P;
				//没有逆元时特判
			else 	
				(ans*=((ksm(p[i],c[i]*b+1)-1+P)*ksm(p[i]-1,P-2)%P))%=P;
				//ksm(p[i],c[i]*b+1)-1+P ，记得取模减法后%P+P再%P，
				//调这个用了1h+
		}
		printf("%lld\n",ans%P);
	}
    return 0;
}