杂题集萃[1]

题意

给出 \(N\) 个形如 \(f_i(x)=a_ix^2+b_i\) 的二次函数。

有 \(Q\) 次询问，每次给出一个 \(x\)，询问 \(max(f_i(x))\)。

输入格式

第一行两个整数 \(N\),\(Q\)。

接下来的 \(N\) 行，每行两个整数 \(a_i\),\(b_i\)。

接下来的 \(Q\) 行，每行一个整数 \(x\)。

输出格式

对于每个询问，输出一行一个整数表示答案。

input

2 4

3 0

4 -2

-1

0

1

2

output

6

0

3

12

限制与约定

每个测试点 \(10\) 分，共 \(10\) 个测试点：

对于所有的数据，有：

\(1≤N,Q,|x_i|,|a_i|,|b_i|<32323\)。

时间限制：1s

题解

这道题看似是数据结构，但可以离线处理。

当 \(x>0\) 时，要求 \(a_ix^2+b_ix\) 的最大值，只需要求出 \(a_ix+b_i\) 的最大值。
于是问题就转化为了，给定一堆直线，求在某些点的最大值。

显然答案一定在上凸壳上。

对于每组询问，只要二分出它在上凸壳的哪个位置就行。

同样的，当 \(x<0\) 时，答案在 \(a_ix+b_i\) 的下凸壳上，再写一个凸壳就行了。

时间复杂度 \(O((n+q)\log n)\)。

code

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define re register int    
using namespace std;
inline void read(int &x){
	x=0;char ch=getchar();bool f=0;
	for(;!isdigit(ch);ch=getchar())f|=(ch=='-');
	for(;isdigit(ch);ch=getchar())x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
	x=f?-x:x;
}
const int N=5e5+10,M=32323;
int t,k[N],b[N],id[N],n,q,p[N],a1[M+1],a2[M+1];
inline int f(int x,int i){return k[x]*i*i+b[x]*i;}
inline int cmp(int x,int y){return (k[x]==k[y])?b[x]<b[y]:k[x]<k[y];}
inline double check(int i,int j){return 1.0*(b[j]-b[i])/(k[i]-k[j]);}
signed main(){
	read(n),read(q);
	for(re i=1;i<=n;++i) read(k[i]),read(b[i]),id[i]=i;
	sort(id+1,id+n+1,cmp);t=0;
	for(re i=1;i<=n;++i){
		while(t&&k[id[i]]==k[p[t]]) --t;
		while(t>1&&check(id[i],p[t])<=check(p[t],p[t-1])) --t;
		p[++t]=id[i];
	}
	for(re i=1,j=1;i<=M;++i){
		while(j<t&&f(p[j],i)<=f(p[j+1],i)) ++j;
		a1[i]=f(p[j],i);
	}
	for(re i=1;i<=n;++i) b[i]=-b[i],p[i]=0;
	sort(id+1,id+n+1,cmp);t=0;
	for(re i=1;i<=n;++i){
		while(t&&k[id[i]]==k[p[t]]) --t;
		while(t>1&&check(id[i],p[t])<=check(p[t],p[t-1])) --t;
		p[++t]=id[i];
	}
	for(re i=1,j=1;i<=M;++i){
		while(j<t&&f(p[j],i)<=f(p[j+1],i)) ++j;
		a2[i]=f(p[j],i);
	}
	while(q--){
		int x;read(x);
		if(x>0)printf("%lld\n",a1[x]);
		if(x==0) puts("0");
		if(x<0)printf("%lld\n",a2[-x]);
	}
	return 0;
}