一道物理题

题目大意

有一个物体在高度为 \(h\) 的位置以 \(v_0\) 的初速度斜向上抛出，

不考虑阻力，问抛出角为多大时该物体运动的水平位移最大。

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分析

不妨设抛出角为 \(\theta\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)\)，整个过程分成三个部分，起点到最高点，最高点到同一高度的点，最后到地面。

前面两个部分实际上是一样的，也就相当于第一部分时间的两倍，知道竖直分速度和重力加速度第一部分的时间肯定能求出来。

第三部分竖直分速度知道，高度知道，那么时间就可以通过一元二次方程解出来，最后将两部分时间合起来就是最终的式子。

\[v_0\sin\theta =gt_0 \]

\[\therefore t_0=\frac{v_0\sin\theta}{g} \]

\[v_0\sin\theta\times t_1+\frac{1}{2}gt_1^2=h \]

\[\therefore t_1=\frac{-v_0\sin\theta+\sqrt{\left(v_0\sin\theta\right)^2+2gh}}{g} \]

\[t=2*t_0+t_1 \]

\[x=v_0\cos\theta\times t \]

\[\therefore x=\frac{v_0^2}{g}\left(\sin\theta+\sqrt{\sin^2\theta+\frac{2gh}{{v_0}^2}}\right)\cos\theta \]

不妨设 \(a=\frac{2gh}{{v_0}^2},a>0\)，那么其实就是要求 \(f(\theta)=\left(\sin\theta+\sqrt{\sin^2\theta+a}\right)\cos\theta\) 的极值点。

这个函数比较类似正弦函数 \(\left(2\sin\theta\cos\theta=\sin{2\theta}\right)\)，当 \(\theta\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)\) 时会有一个最大值。

给它求个导，好像不是很好搞，UOJ群上的julao巧妙地利用性质 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)

则 \(\large f(\theta)=\frac{\left[\sin\theta+\sqrt{\sin^2\theta+a\left(\sin^2\theta+\cos^2\theta\right)}\right]\cos\theta}{\sin^2\theta+\cos^2\theta}\)

那么分子分母同时除以 \(\cos^2\theta\)，并且换元。

令 \(x=\tan\theta,x\in\left(0,+\infty\right)\)，则 \(\large g(x)=\frac{x+\sqrt{\left(a+1\right)x^2+a}}{x^2+1}\)，

julao的做法是在这里分子有理化（我直接求导之后方程解不出来，弃了弃了），

很巧妙地，分子分母同时消去 \(x^2+1\)，得到 \(\large g(x)=\frac{a}{\sqrt{\left(a+1\right)x^2+a}-x}\)

显然 \(g(x)>0\)，求导得到，

\[g'(x)=-\frac{\left(a+1\right)x-\sqrt{\left(a+1\right)x^2+a}}{\left(x^2+1\right)\sqrt{\left(a+1\right)x^2+a}} \]

感性理解一下，\(g'(x)\) 只有一个零点 \(x_0\)，并且 \(\forall 0<x<x_0,g'(x)>0\) 以及 \(\forall x>x_0,g'(x)<0\)

那么在零点处取得最大值，则 \(\left(a+1\right)^2x^2=\left(a+1\right)x^2+a\)，即当 \(x=\sqrt\frac{v_0^2}{v_0^2+2gh}\)，

或者说，当 \(\theta=\tan^{-1}\sqrt\frac{v_0^2}{v_0^2+2gh}\) 时，水平位移最大。

当然可以将 \(\cos{x}\) 替换成 \(\sqrt{1-\sin^2{x}}\)，然后直接用 \(\sin{x}\) 换元，这样从思维难度来说比较简单，不过不好算。