#min-max容斥，FWT#洛谷 3175 [HAOI2015]按位或

题目

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分析

按位去看，最终的答案要求 \(E(\max S)\) 就是 \(S\) 出现的期望时间。

根据min-max容斥，\(E(\max S)=\sum_{T\subset S}(-1)^{|T|-1}E(\min T)\)

那么 \(E(\min T)\) 也就是 \(T'\subset T\) 出现的期望时间，与不在 \(T\) 中的 1 不能出现的概率有关

\[E(\min T)=\frac{1}{1-P'(\lnot T)}=\frac{1}{1-\sum_{S' \subset\lnot T}P(S')} \]

下面这个求和可以用子集卷积实现，FWT 的或卷积就可以做到 \(O(2^nn)\)

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代码

#include <cstdio>
#define rr register
using namespace std;
const int N=1050011;
int n,al,xo[N]; double f[N],ans;
inline void FWT_OR(double *f){
	for (rr int p=2;p<=n;p<<=1){
		rr int len=p>>1;
		for (rr int i=0;i<n;i+=p)
		    for (rr int j=i;j<i+len;++j)
		        f[j+len]+=f[j];
	}
}
signed main(){
	scanf("%d",&n),n=1<<n,al=n-1;
	for (rr int i=0;i<n;++i) scanf("%lf",&f[i]);
	for (rr int i=1;i<n;++i) xo[i]=xo[i&(i-1)]+1;
	FWT_OR(f);
	for (rr int i=1;i<n;++i)
	if (1-f[al^i]>1e-8)
	    ans+=(xo[i]&1?1:-1)/(1-f[al^i]);
	if (ans<1e-8) printf("INF");
	    else printf("%.8lf",ans);
	return 0;
}