「Cnoi2020」Cirno's Easy Round
前言
200分果断自闭，F是原题，所以就用原题算了
A,B,C,D,E
A 光图
分析
题目看不懂（物理只会入射角和反射角相等），
看完样例解释就知道是输出\(pk\bmod n\)，嗯
代码
#include <cstdio>
#define rr register
using namespace std;
signed main(){
rr int n,m,k;
scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
return !printf("%d",1ll*m*k%n);
}
B 向量
分析
只有会向量点积才会做此题（我连叉积都快忘了，当时点积也不会）
\(ans=\vec a\cdot \vec b+\vec b\cdot \vec c+\vec a\cdot \vec c\)
这一坨直接乘也不会，考虑推式子，把它变成\(|\vec a|^2=r1^2\)这种形式最好
\(|\vec a+\vec b+\vec c|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2+|\vec c|^2+2(\vec a\cdot \vec b+\vec a\cdot \vec c+\vec b\cdot \vec c)\)
那么\(ans=\frac{|\vec a+\vec b+\vec c|^2-{r1}^2-{r2}^2-{r3}^2}{2}\)
所以要分类讨论\(|\vec a+\vec b+\vec c|^2\)
如果这三个向量可以拼成一个三角形(两边之和大于第三边)那么这一坨等于0，
否则必须让它们共线使答案最小，这样变成\(r3-r2-r1\)
代码很好写，但是要具备高中知识，还要开\(\text{long double}\)
## 代码
#include <cstdio>
#include <cctype>
#define rr register
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
using namespace std;
typedef long double lde;
lde r1,r2,r3,t,ans;
signed main(){
scanf("%Lf%Lf%Lf",&r1,&r2,&r3),t=max(r3-r2-r1,0),
r1*=r1,r2*=r2,r3*=r3,t*=t,ans=(t-r1-r2-r3)/2.0;
return !printf("%.1Lf",ans);
}
C 高维
分析
显然只有\(n\)条路（人类智慧）
对于第\(i\)条路径第\(j\)个点可以表示为
\(0->1(i)->1->1->1->1(i+j-1)->0\)
代码特短特舒服
#include <cstdio>
#define rr register
using namespace std;
typedef long long lll;
lll n;
inline void print(lll ans){
if (ans>9) print(ans/10);
putchar(ans%10+48);
}
signed main(){
scanf("%lld",&n);
print(n);
for (rr lll i=1;i<=n;++i)
for (rr lll j=0,t=0,p=i-1;j<=n;++j){
putchar(j==0?10:32),
print(t),t|=1ll<<p;
if (++p==n) p=0;
}
return 0;
}
D 四角链
分析
先剧透是求第二类斯特林数\(S2(n,n-k)\)
设\(dp[i][j]\)表示前\(i\)个格子填了\(j\)个的方案数，那么
\(dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1]*(i-j+1)\)
答案就是\(dp[n-1][k]\)，显然不好转换，先把斯特林数的递推公式放在下面
第一类斯特林数：将\(n\)个元素分成\(k\)个圆排列的方案数
\(S1(n,k)=S1(n-1,k-1)+(n-1)*S1(n-1,k)\)
第二类斯特林数：将\(n\)个元素装入\(k\)个一模一样的盒子（不可为空）里
\(S2(n,k)=S2(n-1,k-1)+k*S2(n-1,k)\)
和第二类斯特林数长得更像233
那怎样把\(k\)变成\(n-k\)呢，很简单
\(S2(n,n-k)=S2(n-1,n-k-1)+S2(n-1,n-k)*(n-k)\)
再回到\(dp\)，\(dp[n-1][k]=dp[n-2][k]+dp[n-2][k-1]*(n-k)\)
如果我令\(f[n(A)][n-k(B)]=dp[n-1(C)][k(D)]，A=C+1=B+D\),但是乘的系数不变
那么\(f[n][n-k]=f[n-1][n-k-1]+f[n-1][n-k]*(n-k)\)，这就是\(S2(n,n-k)\)
然后预处理快速幂就可以做到\(O(n+k)\)了（前面的\(f\)只是下标平移或者翻转，本身与\(dp\)是等价的）
代码
#include <cstdio>
#include <cctype>
#define rr register
using namespace std;
const int mod=998244353,N=1000011; bool v[N];
int prime[N],mi[N],inv[N],n,k,ans,Cnt;
inline signed mo(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
inline signed ksm(int x,int y){
rr int ans=1;
for (;y;y>>=1,x=1ll*x*x%mod)
if (y&1) ans=1ll*ans*x%mod;
return ans;
}
inline signed Pro(int n,int m){
inv[0]=inv[1]=mi[1]=1;
for (rr int i=2;i<=n;++i){
inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
if (!v[i]) prime[++Cnt]=i,mi[i]=ksm(i,m);
for (rr int j=1;j<=Cnt&&prime[j]<=n/i;++j){
v[i*prime[j]]=1,
mi[i*prime[j]]=1ll*mi[i]*mi[prime[j]]%mod;
if (i%prime[j]==0) break;
}
}
for (rr int i=2;i<=n;++i) inv[i]=1ll*inv[i-1]*inv[i]%mod;
}
signed main(){
scanf("%d%d",&n,&k),k=n-k,Pro(k,n);
for (rr int i=0;i<k;++i){
rr int t=1ll*inv[i]*inv[k-i]%mod*mi[k-i]%mod;
t=(i&1)?mod-t:t,ans=mo(ans,t);
}
return !printf("%d",ans);
}
E 领域极限
分析
又双叒叕（yòushuāngruòzhuó)人类智慧题
先讲怎么求中间那一坨，排序然后维护前缀后缀和就可以了
但是竟然可以三分重心（\(n\)个数都向这个重心逼近），
还能知道这是一个下凸函数，我也真是佩服julao们
（虽然我不会证明，但是以后碰到类似的也可以这样想）
代码
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define rr register
using namespace std;
typedef long long lll;
const int N=100011;
int a[N],L[N],R[N],n,l,r;
lll ans,suf[N],pre[N];
inline signed iut(){
rr int ans=0; rr char c=getchar();
while (!isdigit(c)) c=getchar();
while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();
return ans;
}
inline signed min(int a,int b){return a<b?a:b;}
inline signed max(int a,int b){return a>b?a:b;}
inline lll calc(int now){
rr lll ans=0;
for (rr int i=1;i<=n;++i)
a[i]=max(L[i],min(now,R[i]));
sort(a+1,a+1+n);
for (rr int i=1;i<=n;++i) pre[i]=pre[i-1]+a[i];
for (rr int i=n;i>=1;--i) suf[i]=suf[i+1]+a[i];
for (rr int i=1;i<=n;++i)
ans+=1ll*a[i]*((i<<1)-n-1)-pre[i-1]+suf[i+1];
return ans;
}
signed main(){
n=iut(),l=1e9,ans=1e18;
for (rr int i=1;i<=n;++i)
l=min(l,L[i]=iut()),r=max(r,R[i]=iut());
while (l+2<r){
rr int k=(r-l+1)/3,lmid=l+k,rmid=r-k;
if (calc(lmid)<calc(rmid)) r=rmid; else l=lmid;
}
for (rr int i=l;i<=r;++i){
rr lll t=calc(i);
ans=ans<t?ans:t;
}
return !printf("%lld",ans);
}
F 明天后的幻想乡
题目
有一个数列\(\{1,2,3,...,n\}\),
求问它有多少个子序列是等比数列。
单独写啦，bye-bye，去掉长度为1或2的情况
