计算几何小记

目录

前言

只会平面几何（掺杂了一些解析几何）

平面几何

两点间的距离公式

两点的坐标分别为\(P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)\)，则\(P_1\)和\(P_2\)两点间的距离为

\[d=\sqrt{(|x_1-x_2|)^2+(|y_1-y_2|)^2} \]

线段的中点坐标公式

两点的坐标分别为\(P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)\)，则线段\(P_1P_2\)的中点坐标为\((x,y)\)，那么

\[x=\frac{x_1+x_2}{2},y=\frac{y_1+y_2}{2} \]

直线的斜率公式

两点的坐标分别为\(P_1(x_1,y_1)，P_2(x_2,y_2)\),则线段\(P_1P_2\)所在的直线的斜率为

\[k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \]

坐标系旋转

设旋转角为 \(\theta\)，对于原来的坐标 \((x,y)\)，现在的坐标 \((x',y')\)满足

\[x'=x\cos\theta+y\sin \theta,y'=y\cos\theta-x\sin\theta \]

这里指的是向量 \((x,y)\) 顺时针旋转 \(\theta\)

皮克定理

设多边形的面积为\(s\)，在多边形上的格点数为\(a\)，多边形内格点数为\(b\)，那么

\[s=a+\frac{b}{2}-1 \]

叉积与点积

\[a*b=|a||b|\cos\theta=x_a*x_b+y_a*y_b(1) \]

\[a\times b=|a||b|\sin\theta=x_a*y_b-y_a*x_b(2) \]

(1)式为点积或数量积，判定两向量夹角大小(\(\cos\theta\))

(2)式为叉积或向量积，判定逆时针或顺时针方向（正逆负顺）或求解两向量组成的三角形的面积

点到直线的距离

设 \(l:Ax+By+C=0\)，则点 \(P(x',y')\) 到 \(l\) 的距离为

\[\frac{|Ax'+By'+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \]

如果斜截式也有这么一个式子那不是很好吗？
\(l:y=kx+b\) 即 \(l:kx-y+b=0\)
同样点 \(P(x',y')\) 到 \(l\) 的距离为

\[\frac{|kx'+b-y'|}{\sqrt{k^2+1}} \]

如果套用一般式显得太拉了，考虑直接证明\doge。

代数的方法复杂在于交点坐标。

如果不存在斜率点到这条直线的距离显然就是横坐标之差的绝对值（否则 \(\cos\theta\neq 0\)）

如果这条直线可以与坐标轴平行，比如说 \(y\) 轴，那么点到直线的距离就是纵坐标之差的绝对值

PS：这里直线所谓的纵坐标指的是直线上的某个点的纵坐标（不妨取定点 \((0,b)\)）

那我只要考虑把直线旋转到与 \(y\) 轴平行就可以了，同时点也要相应的旋转。

那就直接旋转坐标轴，使新的 \(y\) 轴与直线平行。比如说：

设单位正交基底为 \(\{(\cos\theta,\sin\theta),(\cos(\theta+\frac{\pi}{2})=-\sin\theta,\sin(\theta+\frac{\pi}{2})=\cos\theta)\}\)

解一下方程可以知道对于原来的 \((x',y')\) 在新的坐标轴下的新的坐标为 \((\frac{ky+x}{\sqrt{k^2+1}},\frac{y-kx}{\sqrt{k^2+1}})\)

那么 \((0,b)\) 也就变成了 \((\frac{kb}{\sqrt{k^2+1}},\frac{b}{\sqrt{k^2+1}})\)

而纵坐标之差就是上式，然后当我发现我可以直接从一般式推过来的时候，我已经绷不住了。

与定点相关的一道题

题面

已知直线 \(l:(2m+1)x-(3m+2)y+m+2=0\)
其与 \(x\) 轴、\(y\) 轴的正半轴的交点分别为 \(A(x_0,0)\)、\(B(0,y_0)\)，
求 \(S_{\Delta{OAB}}\) 的最小值

分析

首先可以求出

\[A(-\frac{m+2}{2m+1},0),B(0,\frac{m+2}{3m+2}) \]

其中 \(m\in (-\frac{2}{3},-\frac{1}{2})\)

(1)换元法

首先要考虑将分子的二次项去掉

\[S=-\frac{1}{2}\times \frac{m^2+4m+4}{6m^2+7m+2}=-\frac{1}{2}\times \frac{\frac{1}{6}(6m^2+7m+2)+\frac{17}{6}m+\frac{11}{3}}{6m^2+7m+2}=-\frac{1}{12}-\frac{1}{2}\times \frac{\frac{17}{6}m+\frac{11}{3}}{6m^2+7m+2} \]

设 \(t=\frac{17}{6}m+\frac{11}{3},t\in (\frac{16}{9},\frac{9}{4})\)，则 \(m=\frac{6}{17}t-\frac{22}{17}\)，替换之后

\[S=-\frac{1}{12}-\frac{1}{2}\times \frac{t}{6(\frac{6}{17}t-\frac{22}{17})^2+7(\frac{6}{17}t-\frac{22}{17})+2}=-\frac{1}{12}-\frac{289}{2}\times \frac{1}{216(t+\frac{4}{t})-870} \]

当 \(t=2\) 时，\(S_{min}=-\frac{1}{12}-\frac{289}{2}\times\frac{1}{864-870}=\frac{289-1=288}{12}=24\)

(2)判别式法

\[S=-\frac{1}{2}\times \frac{m^2+4m+4}{6m^2+7m+2} \]

考虑把分母移到左边可以得到\(-2(6m^2+7m+2)S=(m^2+4m+4)\)
即

\[(12S+1)m^2+(14S+4)m+(4S+4)=0 \]

注意到 \(m\) 有解当且仅当 \(\Delta=(14S+4)^2-4(12S+1)(4S+4)=4S^2-96S\geq 0\)

要想 \(S(S-24)\geq 0\) 那也就是 \(S\leq 0\) 或 \(S\geq 24\)

所以 \(S\) 取得最小值 24，此时 \(m=-\frac{10}{17}\)

注意这种方法有局限性，首先二次项不能为0并且如果 \(m\) 取不到那么这种方法就不起作用，所以要检验。

(3)基本不等式

考虑分子可以由两个相同的一次项相乘得到，考虑取倒数

\[S=\frac{1}{2}\times \frac{1}{-\frac{2m+1}{m+2}\times \frac{3m+2}{m+2}} \]

如果构造出一组系数 \(a,b\) 使得 \(-a\frac{2m+1}{m+2}+b\frac{3m+2}{m+2}\) 是定值，

由于这两个数都是正数，根据和定积最大，其倒数就最小。

则 \(-a(2m+1)+b(3m+2)=\lambda (m+2)\) 即 \(\frac{3b-2a}{2b-a}=\frac{1}{2}\)

那么 \(b=\frac{3}{4}a\)，取 \(a=4,b=3\) 原式可以化简成

\[S=\large \frac{4\times 3}{2}\times\frac{1}{4(-\frac{2m+1}{m+2})\times 3\frac{3m+2}{m+2}} \]

由于它们的和为 \(1\)，那么 \(S_{min}=6\times\frac{1}{(\frac{1}{2})^2}=24\)

(4)求导

\[S=\frac{-m^2-4m-4}{12m^2+14m+4} \]

设 \(f(m)=-m^2-4m-4, g(m)=12m^2+14m+4\)，则 \(f'(m)=-2m-4, g'(m)=24m+14\)

\[S'=\frac{f'g-g'f}{g^2}=\frac{(-2m-4)(12m^2+14m+4)-(24m+14)(-m^2-4m-4)}{(12m^2+14m+4)^2}=\frac{17m^2+44m+10}{72m^4+168m^3+146m^2+56m+8} \]

当 \(S'=0\) 即 \((17m+10)(m+2)=0\) 当 \(m=-\frac{10}{17}\) 时 \(S_{min}=24\)

(5)定点

把直线的方程参变分离可以转化为 \(m(2x-3y+1)+(x-2y+2)=0\)
其定点就是满足 \(\begin{cases}2x-3y+1=0\\x-2y+2=0\end{cases}\) 即 \(\begin{cases}x=4\\y=3\end{cases}\)
那直线 \(AB\) 就满足 \(\large \frac{4}{x_0}+\frac{3}{y_0}=1\)，由于要求 \(\frac{1}{2}xy\) 的最小值，则

\[1=\frac{4}{x}+\frac{3}{y}\geq 2\sqrt{\frac{12}{xy}} \]

即 \(\frac{1}{4}xy\geq 12\)，所以 \(Smin_{\Delta{OAB}}=24\)

未完待续

posted @ 2019-12-20 20:31  lemondinosaur  阅读(403)  评论(0)  编辑  收藏  举报