技巧与结论

关于子序列的问题，回归到原序列中是选定位置 $p_1,p_2\dots p_k$ ，对应值 $v_1,v_2\dots v_k$ ，此时 $(p_k,n]$ 部分可以任意选， $[1,p1)$ 不能有 $v_1$ ， $(p1,p2)$ 不能有 $v_2$ ，以此类推。

例题：CodeForces-660E Different Subsets For All Tuples *2300

字典序比较转化成一个前缀一致，后一位不同，枚举不同的这一位。要求字典序较大的最小串或字典序较小的最大串，优先匹配尽量多之后再出现不同位置。

例题：CodeForces-1037H Security *3200

对于任何满足 $f_n=xf_{n-1}+yf_{n-2}$ 的序列，都有：

f_{n + m} = y \times f_{n} \times f_{m - 1} + f_{n + 1} \times f_{m}

$f_{n+m}=y\times f_{n}\times f_{m-1}+f_{n+1}\times f_{m}$

当 $\gcd(x,y)=1$ 时，还满足：

gcd (f_{n}, f_{m}) = f_{gcd (n, m)}

$\gcd(f_n,f_m)=f_{\gcd(n,m)}$

证明：闲话

例题：Luogu-P1306 斐波那契公约数、BZOJ-4833 最小公倍佩尔数

一个由中国剩余定理产生的推论：

对于同余方程组：

{\begin{cases} x_{1}^{a} \equiv b (\mod p_{1}^{α_{1}}) \\ x_{2}^{a} \equiv b (\mod p_{2}^{α_{2}}) \\ \dots \\ x_{k}^{a} \equiv b (\mod p_{k}^{α_{k}}) \end{cases}

$\begin{cases} x_1^a\equiv b\pmod {p_1^{\alpha_1}}\\ x_2^a\equiv b\pmod {p_2^{\alpha_2}}\\ \cdots\\ x_k^a\equiv b\pmod {p_k^{\alpha_k}} \end{cases}$

以及同余方程：

x^{a} \equiv b (\mod \prod_{i = 1}^{k} p_{i}^{α_{i}})

$x^a\equiv b\pmod {\prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i}}$

假定所有 $x$ 的取值范围均为小于方程模数的自然数，则该方程解的个数等于拆成若干模数互质的方程解的个数之积。

显然满足 $x^a \bmod {\prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i}}=b$ 就一定满足 $x^a\bmod p_i^{\alpha_i}=b$ 。

于是方程的解 $x$ 一定与方程组中每个方程 $i$ 的一个解 $x_{i,j}$ 在模 $p_i^{\alpha_i}$ 意义下同余，从而构造出线性同余方程组，解在给定取值范围内是唯一的。

因此存在多少组构造出的线性同余方程组，就存在多少个解。

在点分树上，节点 $u$ 是 $v$ 的祖先当且仅当原树上路径 $(u,v)$ 中 $u$ 是第一个被选取的节点。

随机选取下一个分治点同样具有这样的性质，复杂度的期望可根据期望的线性性求出。即一个节点的深度为其产生的贡献，深度等价于点分树上祖先个数（包括自己）。

上面已经说到 $u$ 是 $v$ 的祖先当且仅当第一个被选取，概率为 $\frac{1}{\mathrm{dist}(u,v)}$ 。

因此答案应为：

\sum_{u = 1}^{n} \sum_{v = 1}^{n} \frac{1}{d i s t (u, v)}

$\sum_{u=1}^n\sum_{v=1}^n\frac{1}{\mathrm{dist}(u,v)}$

可以统计每个距离对应路径个数，使用点分治以及 FFT 加速卷积，复杂度 $O(n\log^2n)$ 。

例题：BZOJ-3451 Normal

期望的线性性：

\begin{aligned} E (X + Y) & = \sum_{x} \sum_{y} (x + y) P (X = x, Y = y) \\ = \sum_{x} \sum_{y} x P (X = x, Y = y) + \sum_{x} \sum_{y} y P (X = x, Y = y) \\ = \sum_{x} x \sum_{y} P (X = x, Y = y) + \sum_{y} y \sum_{x} P (X = x, Y = y) \\ = \sum_{x} x \sum_{y} P (X = x ∣ Y = y) \times P (Y = y) + \sum_{y} y \sum_{x} P (Y = y ∣ X = x) \times P (X = x) \\ = \sum_{x} x P (X = x) + \sum_{y} y P (Y = y) \\ = E (X) + E (Y) \end{aligned}

$\begin{aligned} E(X+Y)&=\sum_{x}\sum_{y} (x+y)P(X=x,Y=y)\\ &=\sum_{x}\sum_{y} xP(X=x,Y=y)+\sum_{x}\sum_{y} yP(X=x,Y=y)\\ &=\sum_{x} x\sum_{y} P(X=x,Y=y)+\sum_{y} y\sum_{x} P(X=x,Y=y)\\ &=\sum_{x} x\sum_{y} P(X=x\mid Y=y)\times P(Y=y)+\sum_{y} y\sum_{x} P(Y=y\mid X=x)\times P(X=x)\\ &=\sum_{x} xP(X=x)+\sum_{y} yP(Y=y)\\ &=E(X)+E(Y) \end{aligned}$

计算 $\sum_{l=1}^n \sum_{r=l}^n f(l,r)$ 可以考虑计算 $\sum_{l=1}^n \sum_{r=1}^n f(\min(l,r),\max(l,r))$ 再处理。

\sum_{i = 1}^{m} E (x = i) = \sum_{i = 1}^{m} i \times P (x = i) = \sum_{i = 1}^{m} P (x \geq i)

$\sum_{i=1}^m E(x=i)=\sum_{i=1}^m i\times P(x=i)=\sum_{i=1}^m P(x\ge i)$

例题：AtCoder-ABC295_E Kth Number

平均数等于 $x$ 等价于 $\sum_{i=1}^n s_i-x=0$ ，也即 $\sum_{s_i<x} x-s_i=\sum_{s_i>x} s_i-x$ 。

例题：AtCoder-ARC104_D Multiset Mean

对 $\mathrm{LIS}$ 的计数可以枚举偏序关系（离散化后的数组）再填值域。

例题：AtCoder-ARC104_E Random LIS

博弈论可以考虑“模仿操作”，即后手会由于某种目的模仿先手的操作从而保持局面没有实质改变。

对于树上任意节点 $u$ ，其到所有节点路径中最大的一条 $(u,v)$ ， $v$ 一定是树上直径的一端点。

证明考虑路径 $(u,v)$ 以及直径 $(x,y)$ 拐点 $p$ 与 $q$ ，如果 $(u,v)$ 最大则说明将路径与直径各自一半以及拐点的连边应当比直径更大。

例题：AtCoder-ARC108_F Paint Tree

单模式串子串匹配或回文子序列匹配，可以考虑使用卷积。

对于回文而言就是卷到对称中心二倍的位置，正常的匹配可以将模式串翻转就等价于回文了。

通配符匹配可以先卷积求出有多少位置有通配符，再将通配符设成 $0$ ， $s$ 串字符从小到大设成 $base^0,base^1\dots base^{25}$ ， $t$ 串字符从小到大设成 $base^{25},base^{24}\dots base^0$ ，卷积后结果应该是 $base^{25}$ 的幂，指数为长度减去通配符个数。

例题：Luogu-P4199 万径人踪灭、Luogu-P4173 残缺的字符串

答案要求所有满足条件集合的 $\gcd$ 之和，大多是只考虑 $i$ 的倍数再容斥，同时只考虑 $i$ 的倍数指向了根号分治。

题目形如每个元素有一权值 $v_i$ ，可以放在位置集合 $S_i$ ，每个位置只能放 $a_j$ 个元素，求合法的最大权值和。

使用拟阵或模拟费用流的每次增广可以证明从大到小能放即放一定不劣，接下来就是常规二分图匹配，从大到小加入元素判断是否有完美匹配，使用 Hall 定理。可能需要数据结构维护。

例题：Luogu-P9168 省选联考 2023 人员调度

多组询问，每次询问规模为 $k_i$ ， $\sum k_i$ 与 $n$ 同级，则 $k_i$ 的取值有 $O(\sqrt{n})$ 中，可以离线暴力。

树上距离满足某个条件的二元组、三元组计数，考虑在 $\mathrm{LCA}$ 而不是路径交点位置统计，这样可以长链剖分优化。

例题：Luogu-P5904 POI 2014 HOT-Hotels 加强版

树上黑白染色连通块统计，在连通块深度最小位置记录答案，那么只需判断 $col_u=1$ 且 $col_{fa_{u}}=0$ 。

有序链表插入 $O(\log n)$ ，删除 $O(1)$ ，可以使用只删除莫队降低复杂度。

例题：Luogu-P8078 WC 2022 秃子酋长

树上 DP 和组合计数有关时，需要排列数之类的情况可以改成算概率，这样子树间独立。

例题：UniversalOJ-607 UR#20 跳蚤电话

树上 $k$ 级祖先可以重链剖分在 DFS 序上暴跳链顶，再在某一重链取到结果（重链上 DFS 序连续），比倍增常数小。

树上关于 $k$ 级祖先的二分也可以重链剖分在 DFS 序上暴跳链顶，再在某一重链上二分，比直接二分少一个 $\log$ 。

莫比乌斯反演后不能直接数论分块且多次询问的问题，可以考虑对 $\left\lfloor\dfrac{n}{T}\right\rfloor$ 关于 $B$ 分治，通常是大于直接枚举暴力算，小于预处理函数。

例题：Luogu-P4240 毒瘤之神的考验、Luogu-P5572 CmdOI 2019 简单的数论题

形如 $\left|\sum a_i\right|$ 的可以设 $S^+=\sum a_i[a_i>0],S^-=\sum -a_i[a_i<0]$ ，这样就转成 $\max(S^+,S^-)-\min(S^+,S^-)=S^++S^--2\min(S^+,S^-)=\sum |a_i|-2\min(S^+,S^-)$ ，可以化简问题。

例题：AtCoder-ARC107_F Sum of Abs

统计有多少节点是祖先中第一个符合条件的，也就是有多少节点本身合法且父亲不合法，就是对合法节点构成的子树计数，有等式：

\sum_{v \in s u b t r e e (u)} d e g_{v} = 2 s i z_{u} - 1

$\sum_{v\in \mathrm{subtree}(u)} deg_v=2siz_u-1$

因此令合法节点权值为 $2-deg_u$ ，求权值和即可。（应用前提是满足父亲合法儿子一定合法。）

例题：Luogu-P4183 USACO 2018 JAN Cow at Large P

一个图的最小度数不会大于 $\sqrt{2m}$ ，可以暴力枚举。

例题：Luogu-P8905 USACO 2022 DEC Strongest Friendship Group G

有等式 $n^2=2\binom{n}{2}+\binom{n}{1}$ 成立，当贡献为平方时，可以考虑拆成点对计算。

曼哈顿距离转切比雪夫距离：

曼哈顿距离 $|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$ 可以表示为 $\max(x_1-x_2+y_1-y_2,x_1-x_2+y_2-y_1,x_2-x_1+y_1-y_2,x_2-x_1+y_2-y_1)$ ，这等价于 $\max(|(x_1+y_1)-(x_2+y_2)|,|(x_1-y_1)-(x_2-y_2)|)$ ，也就是 $(x,y)$ 改为 $(x+y,x-y)$ 。