【题解】QOJ-7412 Counting Cactus

合集 - 题解(8)

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之前没做过仙人掌，甚至没学过圆方树，理解了半天改出来了，遂记。

尝试用理解树的方法理解一个仙人掌，钦定根为 $u$，那么一个与 $u$ 有关的子仙人掌（类比子树）有如下两种情况：

• 一个 $u$ 所在的环，环中除了 $u$ 以外的节点挂任意仙人掌，套在根上。

• 一个 $u$ 引出的边 $(u,v)$，以 $v$ 为根的一个仙人掌。

结合上图，$1\sim 10$ 号节点构成的子仙人掌就是以环的形式套在根上，而另一个子仙人掌则是由 $11$ 引出的，属于第二种情况。

最基本的状态设 $f(S,u)$ 为点集 $S$ 中以 $u$ 为根的仙人掌个数。

根据上面对子仙人掌的讨论，我们知道第一种情况要求 $u$ 的连边恰好有一个环，需要另设状态 $g(S,u)$ 表示（具体定义同 $f$）；而第二种情况只要枚举连边再增加一个 $f(T,v)$ 即可。

思考符合 $g$ 定义的仙人掌怎么得到，可以理解成是一个链 $(v,w)$ 上挂若干仙人掌，存在边 $(u,v)$ 与 $(u,w)$，形成一个环，注意到这里 $u$ 在子图中只包含了两条边，是符合 $g$ 要求的。

于是我们需要维护此类链的信息，定义为 $h(S,u,v)$。

在转移之前，规定单独一个点不属于 $g$ 或 $h$ 定义范畴内，但是属于 $f$ 的。

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转移 $1$：初始状态下链是由两个仙人掌拼起来的。

$$f(T,u)\times f(S\setminus T,v)\rightarrow h(S,u,v)$$

其中 $T\subseteq S,u\in T,v\in S\setminus T,(u,v)\in E$

---

转移 $2$：在链 $(v,w)$ 的一端增加一个点 $u$。

$$f(T,u)\times h(S\setminus T,v,w)\rightarrow h(S,u,w)$$

其中 $T\subseteq S,u\in T,v,w\in S\setminus T,(u,v)\in E$。

为了去重，钦定 $v<w$。

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转移 $3$，将一个链用两条边并成一个符合 $g$ 要求的环。

$$h(S\setminus \{u\},v,w)\rightarrow g(S,u)$$

其中 $u,v,w\in S,(u,v),(u,w)\in E$。

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转移 $4$，子仙人掌第一种情况，将环套在跟上。

$$f(T,u)\times g(S\setminus T\cup \{u\},u)\rightarrow f(S,u)$$

其中 $T\subseteq S,u\in T$。

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转移 $5$，子仙人掌第二情况，由一条链引出来。

$$f(T,u)\times f(S\setminus T,v)\rightarrow f(S,u)$$

其中 $u\in T,v\in S\setminus T,(u,v)\in E$。

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要注意的是：在后两个转移中，加入一个子仙人掌会导致算重，因此我们钦定加入的子仙人掌为状态 $S\setminus \{u\}$ 的 $\operatorname{lowbit}$ 对应节点所在子仙人掌。

同时转移 $3$ 的情况会在转移 $4$ 中再传递给 $f$。（毕竟 $g$ 是 $f$ 的特殊情况。）

点击查看代码

int main(){
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=m;++i){
        int u=read(),v=read();
        E[u][v]=E[v][u]=1;
    }
    for(int i=1;i<=n;++i) f[(1<<i-1)][i]=1;
    for(int s=1;s<(1<<n);++s){
        for(int u=1;u<=n;++u){
            if(!(s&(1<<u-1))) continue;
            for(int v=1;v<=n;++v){
                if(u==v) continue;
                if(!(s&(1<<v-1))) continue;
                if(!E[u][v]) continue;
                for(int t=s^(1<<v-1);t;t=(t-1)&(s^(1<<v-1))){
                    if(!(t&(1<<u-1))) continue;
                    int t1=t,t2=s^t1;
                    h[s][u][v]=(h[s][u][v]+1ll*f[t1][u]*f[t2][v]%mod)%mod;
                }
            }
            for(int v=1;v<=n;++v){
                if(u==v) continue;
                if(!(s&(1<<v-1))) continue;
                if(!E[u][v]) continue;
                for(int w=1;w<=n;++w){
                    if(u==w||v==w) continue;
                    if(!(s&(1<<w-1))) continue;
                    for(int t=s^(1<<v-1)^(1<<w-1);t;t=(t-1)&(s^(1<<v-1)^(1<<w-1))){
                        if(!(t&(1<<u-1))) continue;
                        int t1=t,t2=s^t1;
                        h[s][u][w]=(h[s][u][w]+1ll*f[t1][u]*h[t2][v][w]%mod)%mod;
                    }
                }
            }
            for(int v=1;v<=n;++v){
                if(u==v) continue;
                if(!(s&(1<<v-1))) continue;
                if(!E[u][v]) continue;
                for(int w=v+1;w<=n;++w){
                    if(!(s&(1<<w-1))) continue;
                    if(!E[u][w]) continue;
                    g[s][u]=(g[s][u]+h[s^(1<<u-1)][v][w])%mod;
                }
            }
            if(s!=(1<<u-1)){
                int v=__lg(lowbit((s^(1<<u-1))))+1;
                for(int t=s^(1<<v-1);t;t=(t-1)&(s^(1<<v-1))){
                    if(!(t&(1<<u-1))) continue;
                    int t1=t,t2=s^t1;
                    f[s][u]=(f[s][u]+1ll*f[t1][u]*g[t2|(1<<u-1)][u]%mod);
                    for(int w=1;w<=n;++w){
                        if(!(t2&(1<<w-1))) continue;
                        if(!E[u][w]) continue;
                        f[s][u]=(f[s][u]+1ll*f[t1][u]*f[t2][w]%mod)%mod;
                    }
                }
            }
        }
    }
    printf("%d\n",f[(1<<n)-1][1]);
    return 0;
}