【题解】Luogu-P4240 毒瘤之神的考验

可以得到：

\[\varphi(ij)=\dfrac{\varphi(i)\varphi(j)}{\varphi(\gcd(i,j))}\gcd(i,j)=\varphi(\mathrm{lcm}(i,j))\gcd(i,j) \]

证明考虑 \(\varphi\) 的展开式。

选取中间的式子带进去化简。

于是无脑反演可以得到：

\[\sum_{T=1}^n \sum_{k\mid T} \mu\left(\dfrac{T}{k}\right)\dfrac{k}{\varphi(k)}\sum_{i=1}^{\left\lfloor n/T\right\rfloor} \varphi(iT)\sum_{j=1}^{\left\lfloor m/T\right\rfloor} \varphi(jT) \]

里面有关于 \(T\) 的部分，不能直接预处理某个函数接上数论分块。

设 \(f(n)=\sum_{k\mid n} \mu\left(\frac{n}{k}\right)\frac{k}{\varphi(k)}\) 暴力卷积 \(O(n\log n)\) 可以预处理。

再设 \(g(n,k)=\sum_{i=1}^n \varphi(ik)\)，由于 \(nk\le 10^5\)，所以合法状态数是 \(O(n\log n)\) 的，可以 vector 开空间预处理，递推式 \(g(n,k)=g(n-1,k)+\varphi(nk)\)。

但是这样必须逐个枚举 \(T\)，但我们希望数论分块。

之后比较优美之处在于，上界 \(\left\lfloor \frac{n}{T}\right\rfloor\) 和枚举的 \(T\) 看起来可以平衡，也就是当 \(T\) 较大时，\(\left\lfloor \frac{n}{T}\right\rfloor\) 较小，可以暴力预处理，而 \(T\) 较小时暴力逐个算就完了。

这时候我们不再关心 \(n,m\) 了，主要是把所有 \(\left(\left\lfloor \frac{n}{T}\right\rfloor,\left\lfloor \frac{m}{T}\right\rfloor\right)\) 的值都列出来，此时还需要知道 \(T\) 的值，于是设 \(h(n,a,b)=\sum_{i=1}^n f(i)\times g(a,i)\times g(b,i)\)，那么有递推式 \(h(n,a,b)=h(n-1,a,b)+f(n)\times g(a,n)\times g(b,n)\)。

这样就只要设定一个阈值 \(B\)，当 \(\left\lfloor \frac{n}{T}\right\rfloor\le B\) 时使用 \(h\) 计算，具体是形如 \(h\left(r,\left\lfloor \frac{n}{l}\right\rfloor,\left\lfloor \frac{m}{l}\right\rfloor\right)-h\left(l-1,\left\lfloor \frac{n}{l}\right\rfloor,\left\lfloor \frac{m}{l}\right\rfloor\right)\)，其他枚举 \(T\) 用 \(f,g\) 计算。预处理 \(h(n,a,b)\) 时钦定 \(b\le a\)，这样状态数是 \(O(nB)\)。

复杂度分析大致是分暴力预处理 \(f,g,h\)，两种计算答案几部分加和，于是有 \(O\left(n\log n+nB+T\sqrt{n}+T\dfrac{n}{B}\right)\)。

点击查看代码

int t;
int n,m,B=40;
int pr[maxn],mu[maxn],phi[maxn];
bool vis[maxn];
int inv[maxn],f[maxn];
vector<int> g[maxn];
vector<int> h[41][41];
inline void linear_sieve(){
    mu[1]=1,phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=lim;++i){
        if(!vis[i]) pr[++pr[0]]=i,mu[i]=-1,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;j<=pr[0]&&i*pr[j]<=lim;++j){
            vis[i*pr[j]]=1;
            mu[i*pr[j]]=-mu[i],phi[i*pr[j]]=phi[i]*phi[pr[j]];
            if(i%pr[j]==0){
                mu[i*pr[j]]=0,phi[i*pr[j]]=phi[i]*pr[j];
                break;
            }
        }
    }
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=lim;++i) inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    for(int i=1;i<=lim;++i){
        for(int j=1;i*j<=lim;++j){
            int now=(1ll*mu[i]*j*inv[phi[j]]%mod+mod)%mod;
            f[i*j]=(f[i*j]+now)%mod;
        }
    }
    for(int i=0;i<=lim;++i) g[0].push_back(0); 
    for(int i=1;i<=lim;++i){
        g[i].push_back(0);
        for(int j=1;i*j<=lim;++j){
            g[i].push_back(0);
            g[i][j]=(g[i-1][j]+phi[i*j])%mod;
        }
    }
    for(int j=1;j<=B;++j){
        for(int k=1;k<=B;++k){
            h[j][k].push_back(0);
            for(int i=1;i<=lim&&i*j<=lim&&i*k<=lim;++i){
                h[j][k].push_back(0);
                h[j][k][i]=(h[j][k][i-1]+1ll*f[i]*g[j][i]%mod*g[k][i]%mod)%mod;
            }
        }
    }
}

int ans;

int main(){
    linear_sieve();
    t=read();
    while(t--){
        n=read(),m=read();
        if(n>m) swap(n,m);
        ans=0;
        for(int i=1;i<=min(m/B,n);++i){
            ans=(ans+1ll*f[i]*g[n/i][i]%mod*g[m/i][i]%mod)%mod;
        }
        for(int l=m/B+1,r;l<=n;l=r+1){
            r=min(n/(n/l),m/(m/l));
            ans=(ans+(h[n/l][m/l][r]-h[n/l][m/l][l-1]+mod)%mod)%mod;
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}