【考后总结】12 月北京省选模拟赛 2

12.18 省选联测 3

T1 代数

考虑 \(x_1=x_2\) 的特殊性质，发现如果两个矩形在 \(y\) 这一维有交且两个矩形恰好都选择了交的部分，那么将选择的位置纵坐标交换，行列式变号，就抵消了。

所以对 \(y\) 这一维左端点相同的矩形，只能选最小的一个，同时其他左端点相同的矩形的实际左端点变成这个最小矩形的右端点 \(+1\)，启发式合并，发现有贡献的方案是唯一的。

考虑不带特殊性质怎么做，发现在上面的过程实际快把矩形拍平了，那么可以对 \(x,y\) 分别处理一遍，再乘起来即可。具体可以看作关于编号求逆序对，这样当且今且仅当其中一维逆序一维顺序是逆序。

T2 鸽子

实际按边权从小到大加入，求二分图最大匹配。

考虑每次加入一条边 \((u,v)\)，维护 \(S\) 在残量网络上是否可达 \(u\) 与 \(v\)。若不可达 \(u\) 则这条边一定没有影响，否则若也可达 \(v\) 则 \(u,v\) 都有匹配，不会产生新的匹配。剩下一种情况就是看 \(v\) 能否达到 \(T\)，可以就流量增加，此时可以重构维护的可达性，由于遍历图的轮数是 \(O(n)\) 的，复杂度就是 \(O(nm)\)。

T3 棋子

原题：Luogu-P7294 USACO 2021 JAN Minimum Cost Paths P

考虑枚举每个从在第一维移动改为在第二维移动的纵坐标 \(p_i\)，手玩一下发现：

\[f_{1,y}=y-1 \]

\[f_{2,y}=\min_{p_1} \{f_{1,p_1}+c_{p_1}+4(y-p_1)\}=\min_{p_1}\{c_{p_1}-3p_1\}+4y-1 \]

\[f_{3,y}=\min_{p_2}\{f_{2,p_2}+c_{p_2}+9(y-p_2)\}=\min_{p1\le p_2}\{c_{p_1}-3p_1+c_{p_2}-5p_2\}+9y-1 \]

所以应当有：

\[f_{x,y}=\min_{p_1\le p_2\le \cdots\le p_{x-1}} \left\{\sum_{i=1}^{x-1} c_{p_i}-(2i+1)p_i\right\} \]

发现每个 \(p_i\) 贡献相对独立，写成 \(b=y-kx\) 的形式就是以 \(k\in [1,x-1]\) 去切 \({2j,c_j-j}\) 形成的下凸壳，得到的截距求和。

那么此时只要把询问按 \(y\) 排序，维护一个单调栈，每次询问二分即可。