【学习笔记】SG 函数与 SG 定理

合集 - 学习笔记(42)

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30.【学习笔记】SG 函数与 SG 定理2023-08-05

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收起

公平组合游戏#

公平组合游戏满足以下条件：

• 两个玩家参与游戏，轮流操作。

• 游戏以某个玩家不能操作未结束，且不能操作的玩家失败，游戏不含平局。

• 游戏的操作与玩家无关，只与当前的状态有关。

• 游戏状态不会重复出现，若将状态设为点，将一次操作对状态的改变设为有向边，将得到有向无环图。

博弈图#

根据公平组合游戏的最后一个条件，定义没有出边的状态必败状态，有连向必败状态出边的状态为必胜状态，没有连向必败状态出边的状态为必败状态。

可以通过搜索在 $O(n+m)$ 的复杂度判断每个状态是否必胜或必败。

Nim 游戏#

$n$ 堆石子，第 $i$ 堆有 $a_i$ 个，轮流操作，每次操作可以任选一堆石子拿走若干，不能不拿，最终不能操作玩家的失败。

结论：当且仅当 $\bigoplus_{i=1}^n a_i=0$ 时先手必败，否则先手必胜。

根据上面对状态必胜必败的定义，可以证明：

• 最终不能操作时 $a_i=0$，有 $\bigoplus_{i=1}^n a_i=0$，必败。

• 若 $\bigoplus_{i=1}^n a_i=k\neq 0$，设 $k$ 的二进制最高位 $2^d$，那么一定存在一个 $a_i$ 满足 $a_i$ 在 $2^d$ 上为 $1$，此时一定有 $a_i>a_i\oplus k$，令 $a_i\leftarrow a_i\oplus k$，就可以到达一个异或和为 $0$ 的必败状态，必胜。

• 若 $\bigoplus_{i=1}^n a_i=0$，不难发现修改任意一个 $a_i$ 一定会改变异或和，因此该状态只能到达异或和不为 $0$ 的状态，必败。

SG 函数#

定义一个状态 $x$ 的 SG 函数 $\mathrm{SG}(x)$，计算方式为：

$$\mathrm{SG}(x)=\mathrm{mex}(\mathrm{SG}(y_i))$$

其中 $y_i$ 是 $x$ 连向的状态，$\mathrm{mex}$ 定义为集合中未出现的最小自然数。

若 $\mathrm{SG}(x)=0$，则 $x$ 状态是必败状态，否则是必胜状态。

证明依旧类似：

• 终止状态的 $\mathrm{SG}(x)=0$，必败。

• 若 $\mathrm{SG}(x)\neq 0$，说明存在 $\mathrm{SG}(y_i)=0$，即可以到达一个必败状态，必胜。

• 若 $\mathrm{SG}(x)=0$，说明不存在 $\mathrm{SG}(y_i)=0$，即无法到达一个必败状态，必败。

我们发现 $\mathrm{mex}$ 函数的引入并不突兀，它只是十分契合判断必败必胜的方法。

SG 定理#

定义一个局面 $x$ 由若干互不影响的子游戏状态 $x_i$ 组成，那么 $\mathrm{SG}(x)=\bigoplus_{i=1}^n \mathrm{SG}(x_i)$。

证明仍然类似：

• 终止状态所有 $\mathrm{SG}(x_i)$ 均为 $0$，必败。

• 其他情况我们只关心操作对 $\mathrm{SG}(x_i)$ 的改变，由 $\mathrm{mex}$ 定义知 $x_i$ 可以移动到的状态 $y$ 中，$\mathrm{SG}(y)$ 取遍 $[0,\mathrm{SG}(x_i)-1]$。也可能存在 $\mathrm{SG}(y)>\mathrm{SG}(x_i)$，但由于 $y$ 可以移动到的状态 $z$ 中，一定存在 $\mathrm{SG}(z)=\mathrm{SG}(x_i)$，相当于没有操作，因此只会向更小的部分移动。这就等价于 Nim 游戏取石子了，直接套用 Nim 游戏的证明。

参考资料#

• OI Wiki