【学习笔记】SG 函数与 SG 定理
公平组合游戏
公平组合游戏满足以下条件：
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两个玩家参与游戏，轮流操作。
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游戏以某个玩家不能操作未结束，且不能操作的玩家失败，游戏不含平局。
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游戏的操作与玩家无关，只与当前的状态有关。
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游戏状态不会重复出现，若将状态设为点，将一次操作对状态的改变设为有向边，将得到有向无环图。
博弈图
根据公平组合游戏的最后一个条件，定义没有出边的状态必败状态，有连向必败状态出边的状态为必胜状态，没有连向必败状态出边的状态为必败状态。
可以通过搜索在 \(O(n+m)\) 的复杂度判断每个状态是否必胜或必败。
Nim 游戏
\(n\) 堆石子，第 \(i\) 堆有 \(a_i\) 个，轮流操作，每次操作可以任选一堆石子拿走若干，不能不拿，最终不能操作玩家的失败。
结论：当且仅当 \(\bigoplus_{i=1}^n a_i=0\) 时先手必败，否则先手必胜。
根据上面对状态必胜必败的定义，可以证明：
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最终不能操作时 \(a_i=0\)，有 \(\bigoplus_{i=1}^n a_i=0\)，必败。
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若 \(\bigoplus_{i=1}^n a_i=k\neq 0\)，设 \(k\) 的二进制最高位 \(2^d\)，那么一定存在一个 \(a_i\) 满足 \(a_i\) 在 \(2^d\) 上为 \(1\)，此时一定有 \(a_i>a_i\oplus k\)，令 \(a_i\leftarrow a_i\oplus k\)，就可以到达一个异或和为 \(0\) 的必败状态，必胜。
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若 \(\bigoplus_{i=1}^n a_i=0\)，不难发现修改任意一个 \(a_i\) 一定会改变异或和，因此该状态只能到达异或和不为 \(0\) 的状态，必败。
SG 函数
定义一个状态 \(x\) 的 SG 函数 \(\mathrm{SG}(x)\)，计算方式为：
其中 \(y_i\) 是 \(x\) 连向的状态，\(\mathrm{mex}\) 定义为集合中未出现的最小自然数。
若 \(\mathrm{SG}(x)=0\)，则 \(x\) 状态是必败状态，否则是必胜状态。
证明依旧类似：
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终止状态的 \(\mathrm{SG}(x)=0\)，必败。
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若 \(\mathrm{SG}(x)\neq 0\)，说明存在 \(\mathrm{SG}(y_i)=0\)，即可以到达一个必败状态，必胜。
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若 \(\mathrm{SG}(x)=0\)，说明不存在 \(\mathrm{SG}(y_i)=0\)，即无法到达一个必败状态，必败。
我们发现 \(\mathrm{mex}\) 函数的引入并不突兀，它只是十分契合判断必败必胜的方法。
SG 定理
定义一个局面 \(x\) 由若干互不影响的子游戏状态 \(x_i\) 组成，那么 \(\mathrm{SG}(x)=\bigoplus_{i=1}^n \mathrm{SG}(x_i)\)。
证明仍然类似：
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终止状态所有 \(\mathrm{SG}(x_i)\) 均为 \(0\)，必败。
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其他情况我们只关心操作对 \(\mathrm{SG}(x_i)\) 的改变，由 \(\mathrm{mex}\) 定义知 \(x_i\) 可以移动到的状态 \(y\) 中，\(\mathrm{SG}(y)\) 取遍 \([0,\mathrm{SG}(x_i)-1]\)。也可能存在 \(\mathrm{SG}(y)>\mathrm{SG}(x_i)\)，但由于 \(y\) 可以移动到的状态 \(z\) 中，一定存在 \(\mathrm{SG}(z)=\mathrm{SG}(x_i)\)，相当于没有操作，因此只会向更小的部分移动。这就等价于 Nim 游戏取石子了，直接套用 Nim 游戏的证明。
参考资料
- OI Wiki
