【学习笔记】Prufer 序列

合集 - 学习笔记(42)

1.【学习笔记】Kruskal 重构树2022-11-252.【学习笔记】网络流2022-12-153.【学习笔记】高级数据结构2022-12-214.【学习笔记】线性基2022-12-275.【学习笔记】Link Cut Tree2022-12-286.【学习笔记】字符串后缀算法2022-12-307.【学习笔记】字符串回文算法2023-01-128.【学习笔记】组合数学2023-01-279.【学习笔记】多项式 1：基础操作2023-01-3010.【学习笔记】多项式 2：集合幂级数2023-02-0311.【学习笔记】多项式 3：多项式运算2023-02-11

12.【学习笔记】Prufer 序列2023-02-15

13.【学习笔记】多项式 4：生成函数2023-02-1514.【学习笔记】DP 套 DP2023-02-1915.【学习笔记】图的连通性2023-02-2216.【学习笔记】差分约束2023-03-2017.【学习笔记】长链剖分2023-04-2218.【学习笔记】2-SAT2023-04-2319.【学习笔记】根号算法2023-06-0620.【学习笔记】Primal-Dual 原始对偶算法2023-06-1521.【学习笔记】Bostan-Mori 算法2023-07-0222.【学习笔记】狄利克雷卷积与高级筛法2023-07-0323.【学习笔记】DP 优化 1：基础优化2023-07-0324.【学习笔记】DP 优化 2：动态 DP2023-07-0425.【学习笔记】李超线段树2023-07-0926.【学习笔记】优化建图2023-07-1127.【学习笔记】Segment Tree Beats2023-07-1128.【学习笔记】插头 DP2023-07-1329.【学习笔记】任意模数多项式乘法2023-07-1630.【学习笔记】SG 函数与 SG 定理2023-08-0531.【学习笔记】类欧几里得算法2023-08-0632.【学习笔记】狄利克雷前/后缀和/差分2023-08-1133.【学习笔记】DSU on Tree2023-08-2234.【学习笔记】DP 优化 3：闵可夫斯基和优化 DP2023-09-0135.【学习笔记】笛卡尔树2023-09-0536.【学习笔记】Miller-Rabin 算法2023-10-2437.【学习笔记】DP 优化 4：决策单调性2023-11-1538.【学习笔记】DP 优化 5：wqs 二分优化 DP2023-12-0439.【学习笔记】边分治2023-12-2840.【学习笔记】KMP 相关算法2024-01-1041.【学习笔记】概率生成函数2024-01-1142.【学习笔记】离散对数和剩余2024-01-25

收起

定义与构造#

用于有标号无根树计数。

• 构造：每次选编号最小的叶子结点，删去这个节点并在序列中记录其父亲。直至剩下 $2$ 个节点，其中一定有一个为 $n$。

• 还原：每次选编号最小的在序列中未出现的节点，将其与队首连边，同时删去队首元素。最后剩下两个节点，连起来即可。

容易发现构造与还原过程都是在找最小，只不过一个连边一个断边。

可以用 set 维护最小，复杂度 $O(n\log n)$ 大致够用。

性质#

然而 Prufer 序列大多数是用来给树计数的。

• 有标号无根树计数：序列与树是双射，因此是 $n^{n-2}$。这个东西叫 Cayley 公式。

• 有标号有根树计数：每个无根树有 $n$ 中赋根可能，因此是 $n\times n^{n-2}=n^{n-1}$。

• 一个节点的度数是其在序列中出现次数 $+1$。

• 根据上一性质，给定度数的情况下，有标号无根树个数为： $$\dbinom{n-2}{d_1-1,d_2-1,\cdots,d_n-1}=\dfrac{(n-2)!}{\prod_{i=1}^n (d_i-1)!}$$