【学习笔记】Prufer 序列

定义与构造

用于有标号无根树计数。

• 构造：每次选编号最小的叶子结点，删去这个节点并在序列中记录其父亲。直至剩下 \(2\) 个节点，其中一定有一个为 \(n\)。

• 还原：每次选编号最小的在序列中未出现的节点，将其与队首连边，同时删去队首元素。最后剩下两个节点，连起来即可。

容易发现构造与还原过程都是在找最小，只不过一个连边一个断边。

可以用 set 维护最小，复杂度 \(O(n\log n)\) 大致够用。

性质

然而 Prufer 序列大多数是用来给树计数的。

• 有标号无根树计数：序列与树是双射，因此是 \(n^{n-2}\)。这个东西叫 Cayley 公式。

• 有标号有根树计数：每个无根树有 \(n\) 中赋根可能，因此是 \(n\times n^{n-2}=n^{n-1}\)。

• 一个节点的度数是其在序列中出现次数 \(+1\)。

• 根据上一性质，给定度数的情况下，有标号无根树个数为：$$\dbinom{n-2}{d_1-1,d_2-1,\cdots,d_n-1}=\dfrac{(n-2)!}{\prod_{i=1}^n (d_i-1)!}$$